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例说中考中的“运动型”试题贵州省凤冈县龙潭中学 冉启飞 564200近几年，全国各地的中考试卷中出现了“运动型”的题型，这主要是考察学生分析和解决运动变化中的几何问题，常见的有动点型、动线型和动面型三类，动点型就是点在直线、圆弧或抛物线等图形上运动；动线型就是直线或线段等沿某方向移动或按一定的条件运动等；动面型就是一个面按一定的方向运动或翻折等。这些试题具有一定的深度，设计别出心裁，目标要求较高，考查的知识点及数学思想方法较多，有利于学生空间想象力培养，受到各地中考的青睐。本文以2005年各地中考的典型试题为例，整理成文，共同人参考。一、动点型问题例1、（宿迁市05）已知：如图，ABC中，C90，AC3厘米，CB4厘米两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿ABC的边运动当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为（秒） （1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化设PQ与ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由第1题分析：这是一道动点平动问题。随着动点P、Q的运动，阴影部分的形状由三角形转化为四边形再转化为三角形，阴影部分面积也随之发生改变；但问题1可定格为求图1-1的静态情况中的面积；问题2要注意三种临界状态：=2，=3，=4.5，所以要分02，23，34.5三种情况讨论；问题3只需转化为求问题2三个解析式的极值并进行比较。解：（1）PCCQ2，解得1，2 当时间为1秒或2秒时，2厘米2； （2）当02时， ； 当23时， ； 当34.5时， ；（3）由在02时，当，S有最大值，； 在23时，当3，S有最大值，； 在34.5时，当，S有最大值，； S1S2S3时，S有最大值，图1-1图1-2图1-3二、动线型问题例2、（河北课改05）图31至37中的网格图均是2020的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长）。侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况。当5个单位长的列车（图中的 ）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）。设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）。 在区域MNCD内，请你针对图31，图32，图33，图34中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影。 只考虑在区域ABCD内开成的盲区。设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）。如图35，当5t10时，请你求出用t表示y的函数关系式；如图36，当10t15时，请你求出用t表示y的函数关系式；如图37，当15t20时，请你求出用t表示y的函数关系式；根据中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况。 根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想（问题是额外加分，加分幅度为14分）。图31图32图33图34图35图36图37 分析：本题是一道线动平移问题。可把运动状态定格为满足对应条件的某种静止状态，化动为静，以静制动， 然后利用中位线定理可较轻松求解。解： 略 如图6，当5t10时，盲区是梯形AA1D1DO是PQ中点，且OAQD，A1，A分别是PD1和PD中点 A1A是PD1D的中位线。又A1A，D1D 而梯形AA1D1D的高OQ=10， 如图7，当10t15时，盲区是梯形A2B22C22D22，易知A2B2是PC2D2的中位线，且A2B2=5， C2D2=10又梯形A2B2C2D2的高OQ=10， 如图8，当15t20时，盲区是梯形B3BCC3易知BB3是PCC3的中位线且BB3又梯形B3BCC3的高OQ=10， 当5t10时，由一次函数的性质可知，盲区的面积由0逐渐增大到75；当10t15时，盲区的面积y为定值75；当15t20时，由一次函数的性质可知，盲区的面积由75逐渐减小到0；通过上述研究可知，列车从M点向N点方向运行的过程中，在区域MNCD内盲区面积大小的变化是：在0t10时段内，盲区面积从0逐渐增大到75；在10t15时段内，盲区的面积为定值75；在15t20时段内，盲区面积从75逐渐减小到0三、动面型问题 例3、（无锡市05）已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.图1（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.图2（2）若k=2，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）.分析：这是一道面动滚动型问题，正PAE在滚动的过程中，第1次以点E为圆心，第2次以点P为圆心，第3次以点A为圆心第4次又以点E为圆心，每3次成循环，而半径始终为1。而把四边形展开顶点A、B、C、D、A，每4个成循环。故问题1转化为求3与4的最小公倍数即12；问题2中，三角形每转2次，顶点才会重合一次，故需24次；问题3中，三角形每转3，顶点A便会与四边形的下一个顶点重合，故仅需12次；总结一、二两题的规律，可归纳得出第3题的结论。解：（1）12次（2）24次；12次（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k.解决动态几何问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系；在求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解。解决动态几何问题常采取三种策略，“变中求不变，不变求特殊，形数求转换”。