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2010年全国高中数学联赛四川省预赛2010年全国高中数学联赛四川赛区预赛由四川省数学会普及工作委员会及四川省数学竞赛委员会主办，由四川省数学竞赛委员会组织及负责命题，命题负责人：柳斌. 预赛命题范围以现行高中数学教学大纲为准，主要考察学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力. 试题相当于高考数学试题的中、难度水平，有利于广大学生拓宽视野，促进素质教育. 学生自愿报名参加. 全省在同一时间由各市、州统一组织竞赛(不在县级以下单位设置考场). 试卷答题时间120分钟，试题总分140分，其中包括：6道选择题（每道5分，共30分）、6道填空题（每道5分，共30分）；4道解答题（每道20分，共80分）. 命题难度大体相当于普通高考试题. 预赛时间定在5月1 6日(星期日)下午14:3016:30. 竞赛完后先由各市、州集中评卷，然后将其中10的优秀试卷上报四川省数学竞赛委员会(原则上每个参赛学校均应有试卷上报)，由四川省数学竞赛委员会组织专人复查. 从中评出一等奖300名、二等奖500名、三等奖700名，由四川省数学竞赛委员会颁发获奖证书. 经四川省数学竞赛委员会研究决定，为确保全国高中数学联赛的安全保密工作，自2007年起，四川省只在成都市设立一个考场，全省参赛人数控制在1000人左右，参赛学生为预赛的一、二等奖获得者及个别优秀学生(初赛人数较多的市、州可酌情增加决赛名额). 考场设在成都七中，个别边远地区的优秀考生经济确有困难者提出申请，经批准可由省数学竟赛委员会给予适当资助. 试 题一、选择题（本题满分40分，每小题5分）1、已知： 和：则是的（ ）. A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、在5件产品中有4件正品、1件次品从中任取2件，记其中含正品的个数个数为随机变量，则的数学期望是（ ）. A、 B、 C、 D、 3、设正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则侧棱与底面所成的角的大小是（ ）. A、 B、 C、 D、 4、已知函数的最小值是0，则非零实数的值是（ ）. A、 B、 C、2 D、4 5、长方体的八个顶点都在球的球面上，其中，则经过两点的球面距离是（ ）. A、 B、 C、 D、 6、对任意实数，过函数图象上的点的切线恒过一定点，则点的坐标为（ ）. A、 B、 C、 D、 7、设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）. A、 B、 C、 D、 8、记，则的最小值是（ ）. A、 B、 C、 D、4 二、填空题（本题满分20分，每小题5分）9、是定义在上的奇函数，且，则 10、实数满足，则的最大值是 11、在数列中，当时，成等比数列，则 12、集合的容量是指集合中元素的和则满足条件“，且若时，必有”的所有非空集合的容量的总和是 （用具体数字作答）三、解答题（本题满分80分，每小题20分）13、已知函数（1）试判断函数的奇偶性，并给出证明；（2）求在上的最小值与最大值14、已知为抛物线的焦点，M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线的斜率为（1）求的值； （2）求直线AB与直线CD夹角的取值范围15、已知函数，其中为实数（1）求函数的单调区间；（2）若对一切的实数，有成立，其中为的导函数求实数的取值范围16、已知是数列的前项的和，对任意的正整数，都有成立，其中 （1）求数列的通项公式；（2）设 ，若，求实数的取值范围解 答1、C 提示：因为，故是的充要条件故选C2、C 提示：数学期望是：故选C.3、A 提示：设顶点在底面的射影是，则为的外心从而，于是可得故选A4、B 提示：，因为，故 . 当时，不合题意；当时，由条件知，解得或0（舍去）故选B. 5、C 提示：球的半径，在中，则，从而所以，经过两点的球面距离是故选C6、 B 提示：因为，故于是过的切线方程是：，即，因此切线方程恒过故选B7、D 提示：由题设知OPA2=90，设P(x,y)(x0)，以OA2为直径的圆方程为，与椭圆方程联立得由题设知，要求此方程在(0, a )上有实根由此得化简得，所以e的取值范围为故选D8、C 提示：设动点与，则，点的轨迹为直线，点的轨迹为双曲线，双曲线上的任一点到直线的距离，当时等号成立故的最小值为故选C9、0 提示：由条件知，于是，即是以2为周期的周期函数所以，故填010、4 提示：由确定的图形是以四边形及其内部，其中、由线性规划知识知，的最大值是4，当时可取到故填411、 提示：由条件知当时，从而，于是 ，所以于是. 所以，故填12、224 提示：先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：，将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求，则所有符合条件的集合A中元素的总和是 ：故填224.13、（I） ， . 所以，为偶函数 （II） . 因为 ，故，所以，当时，有最小值；当时，有最大值 14、（I）由条件知，设、，不妨设直线的方程为，与联立得，所以， 当时，则，故，即直线的方程为，从而；直线的方程为：，与联立得，得，即于是，所以 当时，直线AM方程为与抛物线方程. 联立得，又由，化简上述方程得. 此方程有一根为x1，所以另一根，即，同理，所以，即由、可知 （II） ，故所以，直线AB与直线CD夹角的取值范围是 15、（I）因为，所以有两个不等实根：，显然 当时，即单调递减； 当或时，即单调递增；综上所述，有的单调递减区间为：，；单调递增区间为：、 （II）由条件有：. 当时，即在时恒成立. 因为，当时等号成立所以，即. 当时，即在时恒成立，因为，当时等号成立所以，即.当时，综上所述，实数的取值范围是 16、（I）当时，有，故 当时，及 . 于是 ，即 若，则，于是. 从而 ，所以， . 若，则于是从而 所以， 综上所述， （II）若时，显然不满足条件，故当时，若时， ，故当时，不符合条件，舍去若时，故从而为单调递减数列，且所以，只须即可，显然成立故符合条件； 若时，显然也满足条件故符合条件；若时，从而为单调递增数列，因为故，要使成立，只须即可于是故符合条件综上所述，所求的实数的范围是
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