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2014年高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1. 设，是实数，若（是虚数单位），则的值是 2. 若全集，集合，则 3. 平行四边形中，为的中点若在平行四边形内部随机取一点，则点取自内部的概率为 4. 为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这名学生中体重值在区间56.5，64.5）的人数是 （第4题图）（第5题图）5. 运行如图语句，则输出的结果 6. 设等比数列的前项和为，若，则 7. 若关于的不等式的解集为，则实数 8. 已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，则棱锥的体积为 9. 已知锐角，满足,则的最大值为 10. 已知双曲线 的渐近线与圆相交，则双曲线离心率的取值范围是 11. 设函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于另外两点、.是坐标原点，则 12. 当对数函数且的图像至少经过区域内的一个点时，实数的取值范围为 13. 设等差数列满足，公差. 若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是 14. 从轴上一点分别向函数与函数引不是水平方向的切线和，两切线、分别与轴相交于点和点，为坐标原点，记的面积为，的面积为，则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知，且（1）求证：；（2）若，求的值16.（本小题满分14分）如图，在四面体中，点是的中点，点在线段上， 且（1）若平面，求实数的值； （2）求证：平面平面 （第16题图）EABCDF17.（本小题满分14分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为个单位的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）且不高于（毫克/升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂质量为，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为，为了使在天（从投放药剂算起包括第天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的取值范围.18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点为，且椭圆上的点到点距离的最小值为（1）求，的值；（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆及直线分别相交于点 当过三点的圆半径最小时，求这个圆的方程； 若，求的面积19.（本小题满分16分）已知函数，其中是自然对数的底数 （1）若，求函数的单调区间； （2）设，求证：；（3）对于定义域为D的函数，如果存在区间，使得时，的值域是，则称是该函数的“保值区间”设，问函数是否存在“保值区间”？若存在，请求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由20.（本小题满分16分）已知数列的各项均为正数，数列，满足， （1）若数列为等比数列，求证：数列为等比数列；（2）若数列为等比数列，且，求证：数列为等比数列第卷（附加题，共40分）21选做题本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 A（选修：几何证明选讲）在中，已知，是的平分线，的外接圆交边于点，求证：B（选修：矩阵与变换）已知二阶矩阵的特征值所对应的一个特征向量（1）求矩阵；高 考 资 源 网（2）设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为，求曲线的方程C（选修：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，设是椭圆上在第一象限的点，和是椭圆的两个顶点，求四边形的面积的最大值.D（选修：不等式选讲）设，求证：，等号当且仅当时成立.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下： 该福利彩票中奖率为；每张中奖彩票的中奖奖金有元，元和元三种；顾客购买一张彩票获得元奖金的概率为，获得元奖金的概率为.（1）假设某顾客一次性花元购买张彩票,求该顾客中奖的概率；（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为元，求的概率分布（用表示）；（3）为了能够筹得资金资助福利事业, 求的取值范围.23（1）设，试比较与的大小；（2）是否存在常数，使得对任意大于的自然数都成立？若存在，试求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由2014年高考模拟试卷(1)参考答案南通市数学学科基地命题第卷（必做题，共160分）一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. ；8. ； 9. ； 10； 11. ； 12.； 13.； 14. .二、解答题15（1）证明：， ， ， ， ， 若，则由与矛盾， 两边同除以得：；（2）解：由（1）得， ， ，从而16 解：（1）因为平面，（第16题图）EABCDF易得平面， 平面平面， 所以， 又点是的中点，点在线段上， 所以点为的中点， 由得； （2）因为，点E是BC的中点， 所以， 又，平面， 所以平面， 而平面， 所以平面平面AED 17解：（1）由题设：投放的药剂质量为，自来水达到有效净化 或 或，即， 亦即，如果投放的药剂质量为，自来水达到有效净化一共可持续天； （2）由题设， ， ，且， 且， ， 亦即，投放的药剂质量的取值范围为. 18解：（1）由已知，且，所以，所以，所以，.（2）由，设设圆的方程为，将点的坐标代入，得解得 所以圆的方程为，即，因为，当且仅当时，圆的半径最小，故所求圆的方程为由对称性不妨设直线的方程为由得， ，化简，得， 解得，或，即，或，此时总有，所以的面积为 19解：（1）， 由表知道：时，时，函数的单调增区间为； 时，时，时， 函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）证明： ， 由表知：时， 时， 时，即； （3）， ， 时， 在上是增函数， 函数存在“保值区间” 关于的方程在有两个不相等的实数根， 令， 则， 时， 在上是增函数， ，且在图象不间断， 使得， 时，时， 函数在上是减函数，在上是增函数， ， 函数在至多有一个零点， 即关于的方程在至多有一个实数根， 函数是不存在“保值区间” 20解：（1）因为数列为等比数列，所以（为常数）， 所以为常数，所以数列为等比数列；（2）因为数列是等比数列，所以（为常数）， 所以则 所以，即 因为，所以，则 所以； 所以，即因为数列是等比数列，所以，即，把代入化简得，所以数列为等比数列 第卷（附加题，共40分）21. A. 证明：如图，在中，因为是的平分线，所以 又，所以 因为与是圆过同一点的弦，所以，即 由、可知 ，所以 B解：（1）依题意,得， 即，解得，； （2）设曲线上一点在矩阵的作用下得到曲线上一点， 则，即， ，整理得曲线的方程为 C. 解：已知椭圆的参数方程为.由题设,可令，其中. 所以， .所以，当时，四边形的面积的最大值为. D. 证明：由柯西不等式，得将上式两边同时乘以，再将两边同时加上，有 ，即，所以，由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知，原不等式中等号当且仅当时成立22. 解: （1）设至少一张中奖为事件，则顾客中奖的概率；（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为元，则可以取，的分布列为：（3）由（2）的期望为 ， 福彩中心能够筹得资金，即，所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业. 23. 解：（1）设，则，当时，单调递减；当时，单调递增；故函数有最小值，则恒成立；（2）取进行验算：，猜测：，存在，使得恒成立证明一：对，且，有又因，故，从而有成立，即所以存在，使得恒成立证明二：由（1）知：当时，设，则，所以，当时，再由二项式定理得：，即对任意大于的自然数恒成立， 从而有成立，即所以存在，使得恒成立
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