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高一同步第四讲 不等式教学目标：掌握比较法，分析法综合法，均值定理。类型一、比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。例1、（1）、（因式分解）a、b为不等的正数，nN，则(anb+abn)(an1+bn1)的符号是（ C ）A、恒正 B、恒负 C、与a、b的大小有关 D、与n是奇数或偶数有关（2）、（函数思想）若0lg2xlg(lgx)） 类型二、不等式的基本性质对称性：a bb a传递性: a b, b ca c可加性: a b a + c b + c 可积性: a b, c 0ac bc；a b, c 0ac b, c d a + c b + d 乘法法则：a b 0, c d 0 ac bd乘方法则：a b 0, an bn (nN)开方法则：a b 0, 例1、利用不等式性质，判断其它不等式是否成立1、a、bR,则下列命题中的真命题是（C ）A、若ab，则|a|b| B、若ab，则1/ab，则a3b3 D、若ab，则a/b12、已知a0.1babab2 B、ab2aba C、abaab2 D、abab2a3、当0ab(1a)b B、(1+a)a(1+b)b C、(1a)b (1a)b/2 D、(1a)a(1b)b4、若loga3logb30，则a、b的关系是（ B ）A、0aba1 C、0ba1 D、1bb0，则下列不等式1/ab2；lg(a2+1)lg(b2+1)；2a2b中成立的是（A ） A、 B、 C、 D、类型三、算术平均数与几何平均数定理：（1）如果a、bR,那么a2 + b2 2ab（当且仅当a=b时等号）（2）如果a、bR,那么（当且仅当a=b时等号）推广： 如果为实数，则重要结论（1）如果积xy是定值P，那么当xy时，和xy有最小值2；（2）如果和xy是定值S，那么当xy时，和xy有最大值S2/4。均值定理使用条件“一正二定三存在”当等号不成立时，使用“对勾函数”例1、（1）若实数a、b满足（C）A8 B 4 C D（2）、设，则下列不等式成立的是（B）A BC D（3）、下列函数中，最小值为2的是（C）ABCD（4）、若x4,函数（5、大、6）（5）、下列各式中最小值等于2的是（ ）DA、x/y+y/x B、 C、tan+cot D、2x+2x（6）、已知x0,y0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。（3+2）（7）、若lgxlgy2，则的最小值为 .例2、求函数y的最小值，其中a0.解：a0 （1）当0a1时，y2，当且仅当x时，y最小值2.（这是均值定理的存在条件成立时的情况）(2)当a1时，令t（t），则有yf（t）t ，设t2t11，则f（t2）f（t1）0f（t）在，上是增函数y最小值f（），此时x0. 综合(1)(2)可知：当0a1，x时，y最小值2，当a1，x0时，y最小值.例3、已知直角ABC中，周长为L，面积为S，求证：4S（32）L2.解：设直角AB的两直角边为x、y，则斜边为则Sxy24S，故4S（32）L2.例4、 某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126米2的厂房，工程条件是：建1米新墙的费用为a元；修1米旧墙的费用为a/4元；拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：利用旧墙的一段x(x14)米为矩形厂房的一面边长；矩形厂房的一面长为x(x14).问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？两种方案哪种方案最好？解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，则另一边长为126/x米。若利用旧墙的一段x米(xx114，则f(x2)f(x1)= x2+126/x2(x1+126/x1)=(x2x1)(1126/x1x2)0f(x)=x+126/x在14，)上递增，f(x)f(14)x=14时ymin=7a/2+2a(14+126/147)=35.5a综上所述，采用方案，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。类型四、不等式的解法（1）不等式ax b的解法当a0时不等式的解集是x|xb/a；当a0时不等式的解集是x|xb/a；当a=0时,b0,其解集是R；b0, 其解集是。（2）一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系例1十字相乘法练习（1）解方程解：因为 1 -2 1 6 所以m+4m-12=（m-2）（m+6）（2） 解： 因为 1 2 5 -4 所以5x+6x-8=（x+2）（5x-4）（3）解关于x的方程解： 因为 1 -3 所以原方程可变形（x-3a）（x-5a）=0 1 -5 所以x1=3a x2=5a （4）解关于x的方程 6x-5ax-25a=0 解： 因为 2 -5 所以 原方程可变形成（2x-5a）（3x+5a）=0 3 5 所以 x1=5a/2 x2=-5a/3 （5）解关于x的方程。 答案：（6）解关于x的方程。 (3)一元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(x)0（或0）的形式（首项系数化为正），然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。例、解关于x的不等式分析：当a1时，原不等式的解集为x|xa或1x1 当1a时，原不等式的解集为x|x1或ax1当a1时，原不等式的解集为x|x1或1xa当a1时，原不等式的解集为x|x1 当a1时，原不等式的解集为x|x1且x1类型四、含参范围问题例1、（区间上有解）方程在（1,1）上有实根，求k的取值范围。方法1：设，依题意分两种情况：在（1,1）上有两解（含相等两解）和有一解f(-1)f(1)m(x2-1)对满足2m2的所有m都成立，求x的取值范围。解：原不等式化为 (x21)m(2x1)0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解：设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m0时，f(x)在0,1上是增函数，因此f(0)是最小值，解 得 m1时，f(x)在0,1 上是减函数，因此f(1)是最小值解 得 m1 综合(1)(2)(3) 得 3 分离参数法在题目中分离出参数，化成af(x) （afmax(x) （a0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax恒成立，则a的取值范围解：不等式x2-ax x2-画出y1= ax,y2= x2-的图像。由图可看出 a1或1a2
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