初中数学竞赛培训-再论三角形的四颗心.doc

三角形的四颗心一、“四心”分类讨论11、外心12、内心23、垂心34、重心55、外心与内心66、重心与内心67、外心与垂心78、外心与重心89、垂心与内心810、垂心、重心、外心8旁心9二、“四心”的联想91、由内心、重心性质产生的联想92、重心的巧用113、三角形“四心”与一组面积公式12三角形各心间的联系15与三角形的心有关的几何命题的证明16三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC。(2)A=。如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。下面我们举例说明。例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心已知：ABC中，XX，YY，ZZ分别是BC，AC，AB边的垂直平分线，求证：XX，YY，ZZ相交于一点(图3111)分析先证XX，YY交于一点O，再证O点必在ZZ上即可证因为XX，YY分别是ABC的BC边与AC边的中垂线，所以XX，YY必相交于一点，设为O(否则，XXYY，那么C必等于180，这是不可能的)因为OB=OC，OC=OA，所以OB=OA，所以O点必在AB的垂直平分线ZZ上，所以XX，YY，ZZ相交于一点说明由于O点与ABC的三个顶点A，B，C距离相等，所以以O点为圆心，以OA长为半径作圆，此圆必过A，B，C三点，所以称此圆为三角形的外接圆，O点称为三角形的外心例1、如图9-1所示，在ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆。分析一、O是外心，作ABC的外接圆O，并作OEAB于E，OFAC于F，连接OP、OQ。易知OE=OF，BE=AF，从而RtOPFRtOQE，于是P=Q，从而O、A、P、Q四点共圆。分析二、延长BA至G，使AG=AP，连接OP、OA、OG、OQ，并作OEAB于E(图略)。利用PAOPGO和QEOGEO也可证得结论。例2、如图9-2所示，在ABC的大边AB上取AN=AC，BM=BC，点P为ABC 的内心，求证：MPN=A+B。 分析、连接PA、PB、PC及PM、PN。由已知易证APCAPN，BPCBPM。从而PC=PN，PC=PM，即PM=PN=PC。故P为CMN的外心，此时有MPN=2MCN。而CAN=90A，BCM=90B，故ACN+BCM=180(A+B)，即 MCN+ACB=180(A+B)，则MCN=(180ACB)(A+B) = (A+B)。故MPN=2MCN=A+B。例3、AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQAB。分析、延长EP到K，使PK=PE，连KF、AE、EF、BF，直线PQ交AB于H(图9-3)。因EQF=AQB=(901)+(90+2)=ABF+BAE=QFP+QEP，又由PK=PE=PF知K=PFK，故EQF+K=QFK+QEK=180，从而E、Q、F、K四点共圆。由PK=PF=PE知，P为EFK的外心，显然PQ=PE=PF。于是1+AQH=1+PQF=1+PFQ=1+AFP=1+ABF=90。由此知QHAH，即PQAB。2、内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。(2)A的平分线和ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等距(即D为BCI的外心)。(3)BIC=90+A，CIA=90+B，AIB=90+C。例1证明：三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的内心已知：ABC中，AX，BY，CZ分别是A，B，C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点(图3110)证因为AX，BY是A，B的平分线，所以AX，BY必相交于一点，设此点为I(不然的话，AX，BY必平行，则BAX+YBA=180，这是不可能的)，所以I与AB，AC边等距，I与AB，BC边等距，所以I与AC，BC边等距，所以I必在CZ上，所以AX，BY，CZ相交于一点说明若证明几条直线共点，可先证其中两条直线相交，再证这个交点分别在其余各条直线上，则这几条直线必共点于此交点由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等，所以以此交点为圆心，以此点到各边的距离为半径作圆，此圆必与三角形三边内切，所以称此交点为三角形内切圆圆心，简称内心例1、如图9-4所示，在ABC中，AB=AC，有一个圆内切于ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是ABC的内心。分析、设小圆圆心为，与ABC的外接圆切于D，连A，显然APQ，且ABC为等腰三角形，所以A过ABC的外接圆，D在A的延长线上，从而O为ABC的顶角BAC的平分线的点，下面只需证OB平分ABC。为此，连接OB、PD、QD，由对称性易知，OD平分PDQ，而APQ=PDQ，PQBC，故APQ=ABC，PDQ=ABC，由P、B、D、O四点共圆得PBO=PDO=PDQ。所以PBO=ABC。于是O为ABC的内心。说明：本题还可证明O到ABC的三边距离相等，得到O为ABC的内心。例2、如图9-5所示，I为ABC的内心，求证：BIC的外心O与A、B、C四点共圆。分析、如图，连接OB、OI、OC，由O是外心知ABC=2IBC。由I是内心知ABC=2IBC。从而IOC=ABC。同理IOB=ACB。而A+ABC+ACB=180，故BOC+A=180，于是O、B、A、C四点共圆。例3、在圆内接四边形ABCD中，顺次取ABD，ABC，CDB、CDA的内心。求证：四边形是一个矩形。分析、顺次连接(图9-6)。则：AO1B=90+ADB，AO2B=90+ACB。但ADB=ACB，AO1B=AO2B，从而A、B、O2、O1四点共圆，则AO1O2=180ABO2=180-ABC。同理有：AO1O4=180ADC。故AO1O2+AO1O4=360(ABC+ADC)=270，故O2O1O4=90。同理有O1O2O3=90，O2O3O4=90。因此四边形O1O2O3O4J 是矩形。3ABC中，I是内心，过I作DE直线交AB于D，交AC于E求证：DE=DB+EC3、垂心三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。ABC的垂心一般用字母H 表示，它具有如下的性质：(1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC，BHAC，CHAB。(2)若H在ABC内，且AH、BH、CH分别与对边相交于D、E、F，则A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六组四点共圆。(3)ABH的垂心为C，BHC的垂心为A，ACH的垂心为B。(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。例4证明：三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心已知：如图3114，ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点分析要证AX，BY，CZ相交于一点，可以利用前面的证明方法去证，也可以转化成前面几例的条件利用已证的结论来证明为此，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证，只须构造出一个新三角形ABC，使AX，BY，CZ恰好是ABC的三边上的垂直平分线，则AX，BY，CZ必然相交于一点证分别过A，B，C作对边的平行线，则得到ABC(图3114)由于四边形ABAC、四边形ACBC、四边形ABCB均为平行四边形，所以AC=BC=AB由于AXBC于X，且BCBC，所以AXBC于A，那么AX即为BC之垂直平分线同理，BY，CZ分别为AC，AB的垂直平分线，所以AX，BY，CZ相交于一点H(例2)例1、设H是等腰三角形ABC的垂心。在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小，问这时乘积的值变大？变小？还是不变？证明你的结论。分析、构造以垂心为顶点的菱形HBGC(图9-7)，并借助于四点共圆是完成本题的一条捷径。延长HD至G，使DG=HD，连BH、CH、BG、CG，易证四边形HBGC是菱形，则3=1。因H是垂心，故A、B、D、E四点共圆，1=2，从而2=3，A、B、G、C四点共圆，ADDG=BDCD，又DG=HG，故ADHD=。从而=ADBCHDBC=(定值)。例2、设H为锐角ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC=a，AC=b，AB=c，则AHAD+BHBE+CHCF等于( )(A)(ab+bc+ca)； (B)；(C)(ab+bc+ca)； (D)。分析、因H为ABC垂心，故H、D、C、E四点共圆，从而AHAD=ACAE=ACABcosBAE=。同理BHBE=，CHCF=。故AHAD+BHBE+CHCF=。例3、求证：锐角三角形的垂心H必为其垂足三角形的内心。分析、由性质不难得到证明。由本例结论，可得到下述命题的简捷证明：已知ABC中，H为垂心，AD、BE、CF是高，EF交AD于G，求证：。例4、如图9-8所示，已知ABC的高AD、BE交于H，ABC、ABH的外接圆分别为O和O1，求证：O与O1的半径相等。分析、过A作O和O1的直径AP、AQ，连接PB、QB，则ABP=ABQ=90。故P、B、Q三点共线。因H是ABC的垂心，故D、C、E、H四点共圆，AHE=C。而AHE=Q，C=P，故P=Q，AP=AQ。因此O与O1的半径相等。说明：由本题结论，可得垂心的另一个性质：若H是ABC的垂心，则ABH=BCH=CAH=ABC。4设G为ABC的垂心，D，E分别为AB，AC边的中点，如果SABC=1，那么SGDE=？4、重心三角形三条中线的交点叫三角形的重心。ABC的重心一般用字母G表示，它有如下的性质：(1)顶点与重心G的连线必平分对边。(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。(3)。例3证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心重心到顶点与到对边中点的距离之比为21已知：ABC中，AX，BY，CZ分别是BC，AC，AB边上的中线，求证：AX，BY，CZ相交于一点G，并且AGGX=21(图3112)证设AX，BY交于一点G，作AG，BG中点D，E由于X，Y分别是BC，AC的中点，所以XY平等且等于DE，所以，四边形DEXY为平行四边形，所以GD=DA=GX，GY=GE=EB，所以AGGX=21，BGGY=21同理，若BY与CZ相交于一点G，必有BGGY=21，GCGZ=21，所以G与G重合所以三角形三条中线相交于一点明为什么称G点为ABC的重心呢？这可以从力学得到解释设ABC为一个质量均匀的三角形薄片，并设其重量均匀集中于A，B，C三点，如果把B，C两点的重量集中于BC边中点X时，那么ABC的三顶点A，B，C的集中重量作了重新分配若A点为1，则X点为2，因此在AX上的重心支撑点必在AGGX=21处的G点这样一来，如果在G点支起三角形，那么ABC必保持平衡，所以G点为三角形的重心(图3113)例1、已知G是ABC的中心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：。分析、构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积。延长GP至F，使PF=PG，边FB、FC、AD(图9-9)。因G是重心，故AG=2GP。因GBFC是平行四边形，故GF=2GP。从而AG=GF。又1=2=3=D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GCGD。于是。例2、设G是等腰ABC底边上的高、AD与腰AC上的中线BE的交点。若AD=18，BE=15，则这个等腰三角形的面积为多少？分析、由等腰三角形“三线合一“性质知，AD为中线，从而G为ABC的重心，故DG=AD=6，BG=BE=10。在RtBDG中，BD=8。因此。AD=144。例3、平行四边形ABCD的面积是60，E、F分别是AB、BC的中点，AF分别与ED、BD交于G、H，则四边形BHGE的面积是_。解：连接AC交BD于O，分别延长AF和DC相交于M，则点H是ABC的重心。又ABDM，可得AGEAGD，从而EGGD=AEMD=14。于是。例7如图3118设G为ABC的重心，从各顶点及G向形外一直线l引垂线AA，BB，CC，GG(其中A，B，C，G为垂足)求证：AA+BB+CC=3GG分析由于图中有许多可以利用的梯形，故可考虑利用梯形中位线定理来证明 证设M为AC的中点，N为BG的中点，作MMl于M，NNl于N，则由已知条件可知，MM是梯形AACC的中位线，NN是梯形BBGG的中位线，所以又MM+NN=2GG，所以所以，所以说明当本题中AA，BB，CC，GG不垂直于l，但仍保持互相平行时，本题结论是否还成立？试作出你的猜想，并加以证明5、外心与内心例1、已知ABC中，O为外心，I为内心，且AB+AC=2BC。求证：OIAI(图9-10)。分析、因I是内心，故，。又因AC+BC=2BC，故AB=2BE。由ABEADC知AD=2DC。又DC=DI(内心性质)，故AD=2DI。而O是外心，从而OIAI。2如图3119在ABC中，O为外心，I为内心，且ABBCCA求证：(1)OAIOBI；(2)OAIOCI6、重心与内心例1、如图9-11所示，已知ABC的重心G与内心I的连线GIBC。求证：AB、BC、CA成等差数列。分析一、(利用内角平分线定理)连接AG、AI且延长分别交BC于D、E，连接IC，则AD为中线，AE、CI为角平分线。因GIBC，故GIBC，。在CAE中，有，即AC=2CE，同理AB=2BE。AB+AC=2(BE+CE)=2BC。证毕。分析二、(利用面积公式)，连接AG交BC于D，作IEBC于E，AHBC于H，则IE为内切圆I的半径，设IE=r。因IGBC，故，即AH=3r。因，即2BC=AB+CA。证毕。7、外心与垂心例1、如图9-12所示，在ABC中，H为垂心，O为外心，BAC=60，求证：AH=AO。分析、结合外心，构造以垂心H为顶点的平行四边行AHCE是解决问题的关键。因O是外心，CEBC，又H是垂心。故AHBC，从而AHCE。同理CHAE。于是AHCE为平行四边形，AH=CE。又BEC=BAC=60，从而EBC=30。所以EC=BE=OA，故AH=CE=OA。例2、证明：三角形任一顶点至垂心的距离等于外心到它的对边的距离的2倍。把条件改写一下：已知AD、BE为ABC的两高线，其交点为H，OM、ON分别为BC、CA的中垂线且交于O。须证：AH=2OM，BH=2ON。分析一、(中线定理)取AH、BH中点F、G，连接FG(图9-13)，则FGAB，FG=AB。连接MN，则MNFG，MN=AB。故MNFG，MNFG。因FDBC，OMBC，故FHOM。从而HFG=OMN。同理HCF=ONM。于是HFGOMN。OM=FH=AN，ON=GH=BH。即AH=2OM，BH=2ON。分析二、(中线定理)连接CH，取CH中点F，连接NF、MF。(图略)，则NFAH，同理MFBH，但BEON(因BE、ON同垂直于BC)。故MFON。同理NF=OM。从而OMFN是平行四边形。于是OM=NF=AH。即AH=2OM，BH=2ON。分析三、(利用相似)，连接MN(图同分析一)，则MNAB，MN=AB。因ADOM(AD、OM同垂直于BC)，BEON。故ABHMNO，。于是AH=20M，BH=20N。例6如图3116已知H是ABC的垂心，O是外心，OLBC于L求证：AH=2OL分析1：要证，由中的中位线，转而证明MK=OL即可由于OLAH，MKAH，所以OLMK，因此，只需证明LKOM即可由已知，这是显然的证法1作OMAC于M，取CH的中点K，连结MK，LK，则有MKAHOL，LKBHOM，所以四边形为平行四边形，所以。又，所以AH=2OL分析2因为O为ABC的外心，故可作其外接圆，为了证明AH=2OL，可证AH等于另一线段a，而a=2OL，则AH=2OL为此，需添加一些辅助线，见证明2(图3117)证法2连接BO并延长交O于D，连结CD，AD，则CD=2OL又CDBC，AHBC，所以AHCD同理，ADHC，所以四边形AHCD为平行四边形，所以AH=CD，所以AH=2OL8、外心与重心例1、如图9-14所示，已知RtABC中，AH为斜边BC上的高，M为BC 中点，O为ABC外心，OB交AH于D。求证：AD=2DH。 分析、因O为外心，则连接CE(直径)后，易知B、A、E三点共线，连接EM交OB于G，显然G为EBC重心。又O为外心，故EMBC，AHBC，从而AHEM。又G为重心，故。从而，于是AD=2DH。5在ABC中，A=60，O是外心，H是垂心求证：AOAH9、垂心与内心例1、如图9-15所示，已知O为正三角形ABC 的高AD、BE、CF的交点，P是ABC所在平面上的任一点，作PLAD于L，PMBE于M，PNCF于N。试证：PL、PM、PN中较大的一条线段等于其它两条线段的和。分析、题设中有正三角形和垂直的条件，由PLAD，PNCF知P、L、O、N、四点共圆。同理P、L、N、M四点共圆，因此P、L、O、N、M五点共圆。要证PN=PL+PM。可以联想到“如果G是正三角形RST的外接圆劣弧弧上一点，那么GR=GS+GT”这一基本问题，只须证LMN为正三角形，亦只需证MNL=MLN=60。事实上O既是正ABC的垂心，又是ABC的内心，易求出AOE=COE=60，再由共圆的条件得到MNL=LON=60，MLN=MON=60。故MNL=MLN=60。10、垂心、重心、外心例题、证明：ABC的垂心H、重心G和外心O在同一条直线上。分析一、(从三角形重心的唯一性入手)主证HO与中线BE的交点与重心G重合。连接中位线DE(图9-16)则DEAB，又AHOD，BHOE(BH、OE同垂直于AC)故DEOABH，从而OE：HB=DE：AB=1：2。连接OH交中线BE于。因BHOE，故。因此，：=OE：HB=1：2。这说明点即为ABC的重心G。从而H、G、O三点共线。分析二、(从三点边线组成平角入手)。如图9-17所示，因G为重心，BE为中线，故G在BE上，连接GO、GH，则GE：GB=1：2。又OE：HB=1：2(同分析一所证)，BHOE，故1=2。OEGHBG，EGO=EGH。EGO+EGH=BGH+EGH=180H、G、O三点共线。分析三、为避免添辅助线的困难，这命题还可采用解析法证明，只要选取适当的坐标系，分别求出G、H、O的坐标，而依三点共线的条件进行推证。如图9-18所示，选取直角坐标系，设A(a，0)，B(b，0)，C(0，C)，且ADBC于D、E、F分别是AB、BC的中点，则E，于是CH的直线方程x=0。AD直线方程：y=，从而CH、AD交点坐标为H()。又OE的方程：，OF的方程：，从而OE、OF的交点O。由重心公式得G 。由H、G、O坐标得斜率：，。，又知它们都通过G点，从而H、G、O三点共线。旁心例5证明：三角形两外角平分线和另一内角平分线交于一点，此点称为三角形的旁心已知：BX，CY分别是ABC的外角DBC和ECB的平分线，AZ为BAC的平分线(图3115)，求证：AZ，BX，CY相交于一点分析先证明BX，CY必交于一点M，然后证明M点在AZ上，则AZ，BX，CY必交于一点以下请读者写出证明，并思考，为什么把点M叫作旁心，一个三角形有几个旁心？二、“四心”的联想1、由内心、重心性质产生的联想内心性质：在ABC中，AD是角平分线，I是内心，则。重心性质：在ABC中，AD是一条中线，G是重心，则。联想：若P是ABC内的任意一点，是否有通用的类似性质？性质：设P为ABC内任意一点(称P为ABC 的内点)，AP交BC于D，令BPC，CPA，APB的面积分别为，则。()证明：如图9-19所示，作BC于，BC于，并设ABC面积为S。则，从而，即。()式中，当P为内心时，(r为内切圆半径)，于是；当P为重心时，于是。故()式是三角形内心。重心性质的推广，我们不妨称之为三角形内点性质。利用它，许多数学竞赛题都可求解。例1、已知R为锐角ABC外接圆半径，O是外心，AO、BO、CO分别交对边于 (图9-20)。求证：。证明：由()式知，于是，则。同理。因此，从而。于是。即。注意到OA=OB=OC=R，从而OA1+OB2+OC2。例2、设OABC内任意一点，AO，BO，CO分别交对边于A1，B1，C1，令。求证：W12。证明：(同图9-20)由()式及基本不等式，得。再由平均值不等式得。即W12，当且仅当O为三角形的重心时取等号。2、重心的巧用重心，在物理学中指质点的重心，所谓“他山之石可以攻玉”，这一概念在解决数学问题，尤其是比值问题上，也大有“用武之地”。关于质点重心，我们结合图形给出几个真命题(证明过程略去)。命题1：设质点的质量分别为，它们的重心为G，则G在的连线上，且满足(这里指质点G的质量)。命题2：在如图9-21所示的ABC中，若E为质点B、A的重心，F为质点B、C的重心，EC与AF相交于G，则G必为三个质点A、B、C的重心。连接BG，延长交AC于H，则H必为质点A、C的重心。命题3：如果平面上有n个质点，它们的质量为，则这些质点的重心G的坐标为。这几个命题看似简单，但它却为解平面几何问题提供了一种崭新的思路。例1、三只苍蝇沿ABC的三边爬行，使由这三只苍蝇构成的三角形的与ABC的重心保持不变，求证：如果某只苍蝇爬过了三角形的三条边，那么三只苍蝇构成的三角形的重心与原三角形的重心重合。分析、如图9-22所示，若一只苍蝇在顶点A，那么由三只苍蝇构成的三角形重心在ADE中，其中DE：BC=2：3(P为三角形的重心)，因其中有一只苍蝇到过所有的顶点，则苍蝇三角形的重心应在这三个三角形ADE，BGF，CKH内，这些三角形有唯一一个公共点P，且为三角形重心。命题得证。例2、如图9-23所示，已知P1P2P3和其内任一点P，直线P1P、P2P和P3P分别与对边交于Q1，Q2，Q3。证明：在比值中至少有一个不大于2。分析、在P1、P2、P3上放置质量分别为的质点，使得P恰为P1，P2，P3三点的重心，则Q1为P2、P3的重心，Q2为P1、P3的重心，Q3为P1、P2的重心，它们的质量分别为。不妨设。即，证毕。例3、从三角形的一个顶点到对三等分点作线段，过第二顶点的中线被这些线段分成边比xyz，设xyz，求xyz (图9-24)。分析、放置适当质点，使得F为A、C的重心，D为B、C重心，则G为A、B、C三点的重心，此时有：，从而；，从而=2mc。不妨设，从而x=y+z。重新放置质点，使F为A、C的重心，E为B、C的重心，则H为A、B、C三点的重心，此时有，从而；。不妨设。由、可得xyz=532。例4、如图9-25所示，在ABC中D、E分别为BC、CA上一点，且BDDC= m1，CEEA=n1，AD与BE相交于F，求的几倍？分析：连接CF，并延长交AB于G。则。在A、B、C上放置适当质点，使F恰为A、B、C的重心，此时有：，即。不妨设，即。以上几例，以质量为过渡，利用重心的性质，使问题得以简化，并巧妙地加以解决。3、三角形“四心”与一组面积公式有这样一道竞赛题：ABC为锐角三角形，过A、B、C分别作此三角形外接圆三条直径，求证：。该题中，三直径之交点即为ABC的外心，若就外心这一条件进行一些联想和变化，经探索可得一系列与面积有关的结果。我们归纳如下(证明略去)。定理：设P为ABC平面内的点，AP、BP、CP所在直线分别交ABC的外接圆于，那么(1)若P为ABC的外心，则对锐角三角形，有。对非锐角三角形(不妨设A90，下同)，有。(2)若P为ABC的垂心，则对锐角三角形，有式成立，对非锐角三角形，有式成立。(3)若P为ABC的重心，则有。当且仅当ABC为正三角形的时等号成立。(4)若P为ABC的内心，则有式成立，当且仅当ABC为正三角形时等号成立。据以上定理，可得以下若干推论：推论1、已知O的内接锐角三角形ABC，是O的三角条直径，且BC=a，CA=b，AB=c，=，则有。若，则又可得，它等于三角恒等tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC。推论2、设ABC的重心为G，AG、BG、CG的延长线分别交三边BC、CA、AB于D、E、F，交ABC的外接圆于，则。(若将“重心”改为“内心”，其他条件不变，可知该结论仍成立)。例1、已知锐角ABC内接于圆O，作ABC的BC边上的高，CA边上的中线，C的平分线并延长，分别交圆O于A1、B2、C2。求证：。证明：如图9-26所示，设ABC中，CA，AB上的高的延线分别交ABC外接圆于B1、C1，则据定理(2)有又由定理(3)、(4)可知其中，当且仅当ABC为正三角形时等号成立。例2、如图9-27所示，锐角ABC中，A的平分线与三角形的外接圆交于另一点A1，点B1，C1与此类似，直线AA1与B、C两角的外角平分线相交于A0，点B0、C0与此类似。求证：A0B0C0的面积是六边形AC1BA1CB1面积的2倍；A0B0C0的面积至少是ABC面积的4倍。证明：因AA0、BB0的交点I是ABC的内心，易知A1I=A1B。又BB0，BA0分别是B的内角和外角平分线，则BB0BA0，A1BA0=90A1BI=90BIA0=BA0I。故A1B=A1A0=A1I，故。同理，还有类似的这样五个等式，将此六式相加，即有。(2)据定理(4)可知，。即。即 A0B0C0的面积至少是ABC面积的4倍。练习题1、在ABC中，A=20，AB=AC，在AB、AC上各取一点D、E，满足BD=BC，AE=BE，求BED的度数。2、如图9-28所示，已知ACE=CDE=90，点B在CE上，CA=BC=CD，过A、C、D三点的圆交AB于F，求证：F为CDE的内心。3、在ABC中，C=90，A和B的平分线相交于P点，又PEAB于E点。若BC=2，AC=3，则AEBE=_。4、ABC中，G 为重心，l是过G的一条动直线，且分别交AB、AC于点E、F，设，问l在何处时，所截得的AEF面积取到最大值或最小值。5、锐角三角形ABC的三边长满足不等式ABACBC，如果I为ABC的内心，O为外心，求证：直线IO与线段AB及BC相交。6、已知ABC中，A=60，H为垂心，O为外心，I是内心，直线AI交O于F，交BH于G。求证：(1)AO=AH；(2)OAG=HAG；(3)B、O、I、H、C五点共圆。7、(同图9-11)已知重心G，内心I，且AB+AC=2BC，求证：GIBC。8、已知ABC中，H为垂心，AD、BE、CF是高，EF交ADG，求证：。9、ABC的A、B、C的内角平分线分别与外接圆交于A1，B1，C1，证明：。10、已知BDEF，B、D分别在AE、AF上，DE、BF交于点C，AC交EF于点M，求证：EM=MF。11、设H是ABC的垂心，求证：。12、设O是ABC的外心，AB=AC，D为AB的中点，E是ACD的重心。证明：OECD。答案1、作CBG=A=20交AC于G，连DG、BG。易知BCGABC，BG=BC=BD；又DBG=ABCCBG=60，故BDG为一正三角形，GB=GD。由AE=BE，得ABE=A=20，EBG=ABCABECBG=40，而BEG=A+ABE=40，故BEG=EBG，GE=GB。于是GE=GB=DG，从而G为BDE的外心，BED=BGD=302、AC=BE、ACB为直角，故CAB=CBA=45。又A、C、F、D四点共圆，故CDF=CAF=45，CDE=90，因而EDF=CDECDF=45=CDF，于是DF平分CDE。又CB=CD，故CBD=CDB，又FBD=CBD45，FDB=CDB45，故FBD=FDB，因而FB=FD。于是BCFDCF，由此得BCF=DCF，故CF平分DCE。因此F为CDE的内心 。3、易知P为ABC的内心，于是P到AC、BC的距离PD、PE都等于PE，且CD=CF=(AC+BCAB)=(5)，AD=ACCD=，BF=BCCF=(1)，从而AEBE=ADBF=3。4、如附图-9所示，连接AG并延长交BC于D，分别过A、B、D、C作l的垂线，垂足分别为H、K、P、Q，则。又。同理。又G为ABC的重心。故BD=DC。从而BK+CQ=2DP，。设(0x1)，则。而2(当时，右边取等号；当x=0或1时，左边取等号)，从而。5、连接AO、CO并延长分别交对边于D、E，现证I在AOE内，从而直线IO与线段AE及CD相交。因AOC=2B，故OAC=90BBC)，但90B+90C=A，从而OAC90A，同理有OCAC。故I在ACE内部，即I在AOE内，从而I与线段AB及BC相交。8、易证ABC的垂心H必为DEF的内心，由H是DEF的内心知。又不难证明EA是GED的外角平分线，故。从而。9、(图参见二、3中例2图，由例2(1)可知)A0A1=A1I，C0C1=C1I，从而A1C1A0C0。又，从而。同理，AA0B1C，故I为A1B1C1的垂心。由二、中定理(2)可得。就是。再据例2的结论知。此即。10、在A、E、F上放置适当质点，使得C为它们的重心，则B、D、M分别为相应二顶点的重心。故。因BDEF，故，从而，于是，从而。EM=MF。11、作ABC的外接圆及直径AP。连接BP。高AD的延长线交外接圆于G，连接CG。易证HCB=BCG，从而HCDGCD。故CH=GC。又显然有BAP=DAC，从而GC=BP。从而又有。同理可证12、设AM为中线，与CD交于G，则G为ABC重心。取AC中点F，则E在DF上，且DEDF=21。设MF交CD于K，则DGGK=CDCD=21。故DEEF=DGGK，从而GEMF。又ODAB，而MFAB，故ODGE，又OGDE。于是G为ODE的垂心。从而OECD。三角形各心间的联系四心定理的证明具有统一性利用塞瓦定理可以简便地证明重心定理、内心定理和垂心定理：如果AD，BE，CF是ABC的中线，则BD=DC，CE=AE，AF=FB。，因此AD，BE，CF三条中线交于一点。如果AD，BE，CF是ABC的内角平分线，则。，因此AD，BE，CF三条内角平分线交于一点。如果AD，BE，CF是ABC的三条高线，则ABCBCF，有，ACDBCE，有，ABEACF，有。1，因此AD，BE，CF三条高线或延长线交于一点。外心、垂心、内心之间具有变通性如图7-127，对于非直角三角形ABC，三边垂直平分线交于一点O，则O是ABC的外心。由于D，E，F是各边中点，我们称由三角形三边中点所组成的三角形叫中位三角形，则DEF是ABC的中位三角形，因此，O是中位三角形DEF的垂心，而MNP是DEF的垂足三角形，所以O是MNP的内心。垂心、外心，重心的共线性(欧拉线)如图7-128，H是ABC的垂心，O是ABC的外心，连OH与中线AM交于G。由OGMAGH得。作MFCH交BH于F，作FEHA交AB于E，连OE，则E是AB的中点，四边形EFMO是平行四边形，所以EF=OM。EF=AH，OM=AH，即，G是ABC的重心。因此，O，G，H三点共线。与三角形的心有关的几何命题的证明首先根据命题条件确定某特殊点是一个三角形的心，然后使用三角形的心的有关定理，证明命题成立。例1、已知正方形ABCD，E为BC上任一点延长AB至F，使BF=BE，连AE并延长交CF于G，求证AGCF。证明：如图7-129，BE=BF，CAB=45，FHAC，又CBAF，E是的垂心，因此AGCF。请读者按图7-130的辅助线，KLCF，LHAC，自己完成例1的证明。例2、如图7-131，在正方形ABCD的对角线OB上任取一点E，过D作AE的垂线与OA交于F。求证OE=OF。证明：OADE，DFAE，F是ADE的垂心。EFAD，即EFAB。由OA=OB得OE=OF。例3、在ABC中AB=AC，底角B的三等分线交高线AD于M，N，连CN并延长交AB于E。求证EMBN。证明：如图7-132。1=2=3，4=5=6。又7=8，M是ABC的内心，EM是AEN的平分线。因此。又EBN=2NBD，ENB=NBD+4=2NBD，EB=EN，即，EMBN。例4、已知两直线于交Q点，A，B，C是一直线上的三个点，L，M，N是另一直线上的三个点，且QA=AB=BC，LQ=QM=MN。求证AL，BN，CM三线共点。证明：如图7-133，连MA，LC。设BN和CM交于P。在QBN中，QM=MN，QA=AB，MABN。在CMA中，AB=BC，BPMA，P为CM的中点。在CML中，LQ=QM，QA=CQ，A为CML的重心，即LA过点P。因此BN，CM，AL三线共点。