“离散型随机变量”教学设计.docx

“离散型随机变量”教学设计 转载一、内容和内容解析 概率是研究随机现象的数量规律的。认识随机现象就是指：知道这个随机现象中所有可能出现的结果，以及每一个结果出现的概率。而对于给定的随机现象，首先要描述所有可能出现的结果。在数学上处理时，一个常用的、也很自然的做法就是用数来表示结果，即把随机试验的结果数量化，使得每个结果对应一个数，这样就可以通过实数空间（定量的角度）来刻画随机现象，从而就可以利用数学工具、数学分析的方法来研究所感兴趣的随机现象。简言之，随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，这便是为什么要引入随机变量的缘由.随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中。随机变量就是建立了一个从随机试验结果的集合到实数集合的映射，这与函数概念在本质上（一种对应关系）是一致的，随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。离散型随机变量是最简单的随机变量，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系。本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。本节课的重点是怎样用数学的方法来研究随机事件(先把随机事件映射成随机变量，建立随机变量X与随机事件发生的概率P之间的函数关系，用研究函数的方法来研究随机变量),并在此过程中深刻体会和领悟随机变量在研究随机现象中的工具和桥梁作用。二、目标和目标解析1在对具体实例的分析中，认识和体会随机变量对刻画随机现象的重要性和建立随机变量概念的必要性；2初步学会恰当地定义随机变量来描述所感兴趣的随机现象（实际问题），能叙述随机变量可能取的值及其所表示的随机试验的结果；3在列举的随机试验中，通过对随机变量取值的辨析和讨论，形成离散型随机变量概念，并会利用离散型随机变量刻画随机试验的结果；4在举例、观察、思考、发现中经历将实际问题数学化，将随机试验结果数量化的过程，感悟怎样用数学的方法来研究随机事件，感悟辨证思维和归纳等数学思考的基本方法，进一步形成用随机观念观察和分析问题的意识。三、教学问题诊断分析本节课学生学习的难点是对引入随机变量目的与作用的认识，了解什么样的随机变量便于研究。随机变量这个概念其实早已存在于学生的意识之中，而且在不少场合都已不自觉的“实际使用”，只是没有明朗化。学生学习这一概念就是把这些“实际使用的”规则、程序、步骤等进一步加以明确。所以，教师的责任就是为学生建立随机变量这个概念修通渠道。可通过学生熟悉的掷骰子的随机试验让学生体会随机变量概念的发生，在师生举例中来体会随机变量概念的发展，特别是诸如抛掷一枚硬币等试验，其结果不具有数量性质，怎么让学生自然地想到用数来表示其试验结果，并且所用的数又尽量简单，便于研究。教学中需多举试验结果本身已具有数值意义的实例，来发挥正迁移作用。通过多举例让学生理解：一旦给出了随机变量，即把每个结果都用一个数表示后，认识随机现象就变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每个值时的概率。另外，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系，从学习的认知方式看，下位学习依靠的主要是同化，上位学习依靠的主要是顺应，上位学习一般采用的思维方法主要是概括和综合，它主要通过改造（归纳和综合）原有认知结构中的有关内容而建立新的认知结构。因此，从这一角度来分析，学生对随机变量概念的学习和真正理解比离散型随机变量的学习要困难一些。故在随机变量的教学中，要特别重视学生举例，让学生在充分的自主活动中体验数学化的过程，体验将随机试验结果数量化的过程，从而来把握随机变量的内涵，并在两个对应（试验的结果到对应的随机变量、随机变量的取值到对应的概率值）的感悟中不断体会随机变量对刻画随机现象的重要性和研究随机现象的工具性作用。四、教学支持条件分析学生在必修3概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括。五、教学过程设计1.理解随机变量概念问题1：抛掷一枚骰子，可能出现的结果有哪些？概率分别是多少？设计意图 以学生熟悉的随机试验为例，在复习旧知中孕育新知。师生活动 画表一，指出“1点朝上”、“2点朝上”、“3点朝上”等都是随机事件，并自然地提出：我们为了研究这些随机事件，常常把它们分别与一个数字对应起来。比如，用数字1与“1点朝上”这个随机事件对应，用数字2与“2点朝上”这个随机事件对应，等等。边说边填写数字，形成表二。表一：抛掷一枚骰子试验结果（随机事件）标志1点的面朝上标志2点的面朝上标志3点的面朝上标志4点的面朝上标志5点的面朝上标志6点的面朝上概率1/61/61/61/61/61/6表二：抛掷一枚骰子试验结果（随机事件）标志1点的面朝上标志2点的面朝上标志3点的面朝上标志4点的面朝上标志5点的面朝上标志6点的面朝上用数字表示随机事件123456概率1/61/61/61/61/61/6引导学生分析，像这样“用数字表示随机事件”的量用X来表示，它可以取集合1，2，3，4，5，6的值，X是个变量，也就是，它的取值随着试验结果的变化而变化。从而“形成”随机变量概念。让学生感受概念的从无到有、自然形成的过程。设计意图 “在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一。”把试验结果数字化，要让学生自己想出来是十分困难的。因为，这要求对数学本质有很好的认识才行。而“用数字来表示随机事件”实际上早已存在于学生的意识之中，而且在不少场合都已不自觉地“实际使用”，如射击比赛中会用“环数”去表示射击成绩，掷骰子时会用“点数”去表示掷出结果，抽奖时会对奖券“编号”，随机抽取一部分学生时会用“学号”去代替等等，只是没有明朗化。因而，随机变量的概念主要靠教师有启发地提问，有意义地讲授。让学生觉得问题的提出，概念的发生、发展过程较为自然，能够从教师的讲授中感受数学是怎样一步步研究现实世界的。2对随机变量的认识(对对应思想映射、函数的体验)问题2：对于随机变量的每一个取值都有唯一确定的概率值与它对应。这种对应关系是什么？设计意图体会随机变量的取值（X）与它所对应的概率值（P）建立了一个函数关系。师生活动启发诱导，形成下表。并引导学生分析此函数的三要素.投掷骰子标志1点的面朝上标志2点的面朝上标志3点的面朝上标志4点的面朝上标志5点的面朝上标志6点的面朝上随机变量123456函数概率1/61/61/61/61/61/6问题3：（指着上表第二行）问：每一个随机事件用唯一确定的数字与它对应，这个对应是函数关系吗？设计意图借机强调函数是实数集与实数集间的对应。感受把随机试验的结果数字化（成为实数）的必要性，体会引入随机变量的必要性。师生活动师生分析，这个对应关系是映射，不能说是函数关系。启发诱导，形成下表投掷骰子标志1点的面朝上标志2点的面朝上标志3点的面朝上标志4点的面朝上标志5点的面朝上标志6点的面朝上映射随机变量123456函数概率1/61/61/61/61/61/6引导学生“类比”函数概念（三要素），领悟两种对应关系的差异（明白此处映射对应关系是人为建立的）。同时指出：通过映射把随机事件与实数进行对应，也就是，把随机试验的结果数量化，用随机变量表示随机试验的结果，这样就可以用数学的工具、数学的方法来研究随机现象（这就是新概念产生的必要性为什么要引入随机变量？）。接着，进一步指出：在学习数学（必修3）时我们曾经学习过概率、方差等概念，学过简单概率模型，在今后的学习中，我们将利用随机变量，进一步运用概率思想思考和研究一些实际问题。问题4：你能再举些例子吗？设计意图 让学生参与举例，体验将实际问题数学化（把实际问题数学化是学习数学极其重要的数学方法）和将随机试验结果数量化的过程.其意义在于两个方面:其一,学生通过寻找(寻找本身就是一个甄别随机与非随机的过程),选择自己感兴趣的随机现象,并学会用随机变量表示随机事件;其二,在映射与函数的辨认中体会随机变量在研究随机现象中的工具与桥梁作用.同时进一步深刻理解随机变量的概念,领悟随机变量学习的重要性，进一步形成用随机观念观察和分析问题的意识。师生活动教师关注学生的举例，关注其关键过程：哪三个集合；哪里是映射；哪里是函数。要求学生画表，体会映射的过程，随机变量X是什么？定义域是什么，对应的函数值（概率）Y是什么？教师给学生充分展示和交流所举例子的时间。同时，教师也参与举例，深刻体会将实际问题（随机现象）数学化（数字化）的过程，感受建立随机变量概念的重要意义。对学生列举的试验结果没有数量标志的随机事件，诸如投掷一枚硬币的试验等，要引导学生分析比较，让学生体会对于同一个随机试验，可以用不同的随机变量来表示。但用哪两个数字来表示，主要是要尽量简单，合理，便于研究。（在学生举例中学习如何用随机变量去定义试验结果没有数量标志的随机事件）3形成离散型随机变量概念问题5：随机变量的取值都是整数吗？你能否举个（些）例子，而随机变量的取值不是整数呢？设计意图 关注学生的举例，借学生举出的例子，引导分析数学化之后的随机变量取值的集合的特征（一个新概念产生之后，我们应该端详它一番），分辨随机变量的类型，即某些随机变量的取值是离散的，而有些不是,从而给出离散型随机变量的概念。如果学生列举的都是离散型随机变量，则提出该问，引导再让学生举例，如果学生还是无法举出，则可以给出以下问题6。问题6：请仿照刚才的例子，分析下列随机现象中的随机变量，它可以取哪些值？（教师给出以下两个随机现象，问学生）（1）某公交车站每隔10分钟有1辆汽车到站，某人到达该车站的时刻是随机的,他等车的时间；（2）检测一批灯泡（相同型号）的使用寿命。设计意图通过与前面列举例子的比较，引导学生发现这两个试验结果中，表示随机事件的随机变量的取值是一个区间，其值无法一一列出，以此形成离散型随机变量的概念。同时明晰在随机现象中随机变量的取值是丰富多样的，这也是对随机变量概念（外延）的进一步认识。问题7：如果我们仅仅关心某人等车的时间多于5分钟或不多于5分钟，那该怎样定义随机变量呢? 设计意图 在研究随机现象时，为研究方便，有时需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量。让学生明白恰当定义随机变量可以转化问题（即非离散型随机变量可以构造成离散型随机变量），给我们研究问题带来方便。问（1）师生共同完成后，问（2）让学生尝试构造出离散型随机变量。4练习反馈下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果。（见教科书第45页）（1）抛掷两枚骰子,所得点数之和；（2）某足球队在5次点球中射进的球数；（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料,其实际量与规定量之差。对于（3），你能根据所关心的问题恰当地定义随机变量吗？设计意图在应用中巩固离散型随机变量的概念，并能熟练利用离散型随机变量刻画随机试验的结果。5小结回授问题8：通过这节课的学习，你能说说我们是怎样用数学的方法来研究随机事件的吗？(学生回答后再问:你还有其他什么收获吗？)师生活动先把随机事件映射成随机变量，建立随机变量X与随机事件发生的概率P之间的函数关系，用研究函数的方法来研究随机变量。反复强调本课的重点。设计意图 学生用自己的语言来概括本节课学到的知识，是一种“主动建构”，也真正体现知识学到了手。六、目标检测设计教科书第49页习题2.1中A组,第1,2,3题.