高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.2 直线的交点坐标与距离公式课件(理).ppt

第二节直线的交点坐标与距离公式 知识梳理 1 两条直线的交点 唯一解 无解 有无数组解 2 三种距离 特别提醒 1 求点到直线的距离若给出的直线不是一般式 则应化为一般式 2 求两平行线间的距离在运用两平行直线间的距离公式d 时 一定要注意把两方程中x y的系数化为相等 小题快练 链接教材练一练1 必修2P110B组T1改编 直线2x y 10 y x 1 y ax 2交于一点 则a的值为 解析 解方程组可得所以直线2x y 10与y x 1的交点坐标为 9 8 代入y ax 2 得 8 a 9 2 所以a 答案 2 必修2P110B组T4改编 已知点A 3 2 和B 1 4 到直线ax y 1 0的距离相等 则a的值为 解析 由点到直线的距离公式可知解得a 4或答案 4或 感悟考题试一试3 2016 福州模拟 点 1 1 到直线x y 1 0的距离是 解析 选D 由点到直线的距离公式可知 点 1 1 到直线x y 1 0的距离d 4 2016 深圳模拟 直线l1的斜率为2 l1 l2 直线l2过点 1 1 且与y轴交于点P 则P点坐标为 A 3 0 B 3 0 C 0 3 D 0 3 解析 选D 因为l1 l2 且l1的斜率为2 所以l2的斜率为2 又l2过点 1 1 所以l2的方程为y 1 2 x 1 整理即得 y 2x 3 令x 0 得y 3 所以P点坐标为 0 3 5 2016 西安模拟 点P 1 3 到直线l y k x 2 的距离的最大值等于 解析 点P 1 3 到直线l y k x 2 的距离为d 由于当且仅当k 1时取等号 所以d 即距离的最大值等于答案 考向一直线的交点 典例1 1 当0 k 时 直线l1 kx y k 1与直线l2 ky x 2k的交点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 已知直线l经过点P 3 1 且被两条平行直线l1 x y 1 0和l2 x y 6 0截得的线段长为5 求直线l的方程 解题导引 1 可由两直线方程求出交点坐标 再判断其横坐标和纵坐标的符号即可 2 先求出交点坐标 再利用交点间的距离即可确定直线方程 规范解答 1 选B 解方程组得两直线的交点坐标为因为0 k 所以故交点在第二象限 2 若直线l的斜率不存在 则直线l的方程为x 3 此时与l1 l2的交点分别为A 3 4 B 3 9 截得的线段A B 的长 A B 4 9 5 符合题意 若直线l的斜率存在 则设直线l的方程为y k x 3 1 解方程组 解之 得k 0 即所求的直线方程为y 1 综上可知 所求直线l的方程为x 3或y 1 一题多解 解答本题 2 还有以下两种解法 解析 方法一 由题意 直线l1 l2之间的距离为d 且直线l被平行直线l1 l2所截得的线段AB的长为5 如图 设直线l与直线l1的夹角为 则sin 故 45 由直线l1 x y 1 0的倾斜角为135 知直线l的倾斜角为0 或90 又直线l过点P 3 1 故直线l的方程为x 3或y 1 方法二 设直线l与l1 l2分别相交于点A x1 y1 B x2 y2 则x1 y1 1 0 x2 y2 6 0 两式相减 得 x1 x2 y1 y2 5 又 x1 x2 2 y1 y2 2 25 联立 可得 由上可知 直线l的倾斜角分别为90 或0 故所求直线l的方程为x 3或y 1 规律方法 1 两直线交点的求法求两直线的交点坐标 就是解由两直线方程组成的方程组 以方程组的解为坐标的点即为交点 2 求过两直线交点的直线方程的方法 1 直接法 先求出两直线的交点坐标 结合题设中的其他条件 写出直线方程 将直线方程化为一般式 2 直线系法 设过两直线A1x B1y C1 0 A2x B2y C2 0交点的直线方程为A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 利用题设条件 求 的值 得出直线方程 验证A2x B2y C2 0是否符合题意 得出结论 易错提醒 利用点斜式求直线方程 不要忽略斜率不存在的情况 变式训练 2016 大连模拟 过点A 3 1 作直线l交x轴于点B 交直线l1 y 2x于点C 若 BC 2 AB 求直线l的方程 解析 当斜率不存在时 B 3 0 C 3 6 此时 BC 6 AB 1 BC 2 AB 所以直线l的斜率存在 所以设直线l的方程为y 1 k x 3 令y 0 得由得C点横坐标xC 若 BC 2 AB 则 xC xB 2 xA xB 所以所以或解得所以所求直线l的方程为3x 2y 7 0或x 4y 7 0 加固训练 1 已知两条直线l1 x y 1 0 l2 3x ay 2 0且l1 l2 则a等于 A B C 3D 3 解析 选C 由l1 l2 可得1 3 1 a 0 所以a 3 2 已知P x0 y0 是直线l Ax By C 0外一点 则方程Ax By C Ax0 By0 C 0表示 A 过点P且与l垂直的直线B 过点P且与l平行的直线C 不过点P且与l垂直的直线D 不过点P且与l平行的直线 解析 选D 因为P x0 y0 是直线l Ax By C 0外一点 所以Ax0 By0 C k k 0 所以方程Ax By C Ax0 By0 C 0 即Ax By C k 0 因为直线Ax By C k 0和直线l斜率相等 但在y轴上的截距不相等 故直线Ax By C k 0和直线l平行 由Ax0 By0 C k 而k 0 所以Ax0 By0 C k 0 所以直线Ax By C k 0不过点P 3 若直线5x 4y 2m 1与直线2x 3y m的交点在第四象限 则m的取值范围是 解析 选D 解方程组得因为其交点在第四象限 所以 0 且 0 解得 m 2 4 已知平面上三条直线x 2y 1 0 x 1 0 x ky 0 如果这三条直线将平面划分为六部分 则实数k的所有取值为 解析 若三条直线有两条平行 另外一条与这两条直线相交 则符合要求 此时k 0或2 若三条直线交于一点 也符合要求 此时k 1 故实数k的所有取值为0 1 2 答案 0 1 2 考向二对称问题 典例2 1 若直线l1 y k x 4 与直线l2关于点 2 1 对称 则直线l2恒过定点 A 0 4 B 0 2 C 2 4 D 4 2 2 2015 广州模拟 直线x 2y 1 0关于直线x 1对称的直线方程是 A x 2y 1 0B 2x y 1 0C 2x y 3 0D x 2y 3 0 解题导引 1 先求出直线l1所过的定点 该点关于点 2 1 的对称点即为所求的点 2 可先求已知两条直线的交点 再求另外一个点关于直线x 1的对称点 利用两点式即可求直线方程 规范解答 1 选B 由于直线l1 y k x 4 恒过定点 4 0 其关于点 2 1 对称的点为 0 2 又由于直线l1 y k x 4 与直线l2关于点 2 1 对称 所以直线l2恒过定点 0 2 2 选D 由题意得直线x 2y 1 0与直线x 1的交点坐标为 1 1 又直线x 2y 1 0上的点 1 0 关于直线x 1的对称点为 3 0 所以由直线方程的两点式 得即x 2y 3 0 母题变式 1 若本题 2 条件 直线x 1 改为 直线y 1 结果如何 解析 选D 由题意得直线x 2y 1 0与直线y 1的交点坐标为 1 1 又直线x 2y 1 0上的点 1 0 关于直线y 1的对称点为 1 2 所以由直线方程的两点式 得即x 2y 3 0 2 若本题 2 条件 直线x 1 改为 直线x y 2 0 求其对称直线的方程 解析 由题意得直线x 2y 1 0与直线x y 2 0的交点坐标为 1 1 在直线x 2y 1 0上取点A 1 0 设A点关于直线x y 2 0的对称点为B m n 则有解上式得 所以由直线方程的两点式 得即2x y 1 0 规律方法 1 中心对称问题的两个类型及求解方法 1 点关于点对称 若点M x1 y1 及N x y 关于P a b 对称 则由中点坐标公式得进而求解 2 直线关于点的对称 主要求解方法是 在已知直线上取两点 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标 再由两点式求出直线方程 求出一个对称点 再利用两对称直线平行 由点斜式得到所求直线方程 2 轴对称问题的两个类型及求解方法 1 点关于直线的对称 若两点P1 x1 y1 与P2 x2 y2 关于直线l Ax By C 0对称 由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标 x2 y2 其中B 0 x1 x2 2 直线关于直线对称 若直线与对称轴平行 则在直线上取一点 求出该点关于轴的对称点 然后用点斜式求解 若直线与对称轴相交 则先求出交点 然后再取直线上一点 求该点关于轴的对称点 最后由两点式求解 变式训练 已知 ABC的两个顶点A 1 5 和B 0 1 又知 C的平分线所在的直线方程为2x 3y 6 0 求三角形各边所在直线的方程 解析 设A点关于直线2x 3y 6 0的对称点为A x1 y1 同理 点B关于直线2x 3y 6 0的对称点为因为角平分线是角的两边的对称轴 所以A 点在直线BC上 所以直线BC的方程为y 整理得12x 31y 31 0 同理 直线AC的方程为y 5 整理得24x 23y 139 0 直线AB的方程为y 整理得6x y 1 0 加固训练 1 与直线3x 4y 5 0关于x轴对称的直线方程为 解析 与直线3x 4y 5 0关于x轴对称的直线方程是3x 4 y 5 0 即3x 4y 5 0 答案 3x 4y 5 0 2 已知直线l 2x 3y 1 0 点A 1 2 求 1 点A关于直线l的对称点A 的坐标 2 直线m 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m 的方程 3 直线l关于点A 1 2 对称的直线l 的方程 解析 1 设A x y 再由已知解得所以 2 在直线m上取一点 如M 2 0 则M 2 0 关于直线l的对称点必在m 上 设对称点为M a b 则解得 设m与l的交点为N 则由得N 4 3 又因为m 经过点N 4 3 所以由两点式得直线m 的方程为9x 46y 102 0 3 设P x y 为l 上任意一点 则P x y 关于点A 1 2 的对称点为P 2 x 4 y 因为P 在直线l上 所以2 2 x 3 4 y 1 0 即2x 3y 9 0 考向三三种距离公式的应用 考情快递 考题例析 命题方向1 两点间距离公式及应用 典例3 2016 昆明模拟 已知A B两点分别在两条互相垂直的直线2x y 0和x ay 0上 且线段AB的中点为则线段AB的长为 解题导引 可由两直线垂直求出a的值 再利用中点坐标及A B两点在直线上 求出A B两点的坐标 最后求出线段AB的长 规范解答 依题意 a 2 P 0 5 设A x 2x B 2y y 由中点坐标公式得解得x 4 y 2 所以A 4 8 B 4 2 AB 答案 10 命题方向2 点到直线 两平行线间的距离公式及应用 典例4 1 2016 广州模拟 已知点 m 1 m 0 到直线l x y 2 0的距离为1 则实数m的值为 2 2016 长沙模拟 已知点A 0 2 B 2 0 若点C在函数y x2的图象上 则使得 ABC的面积为2的点C的个数为 A 4B 3C 2D 1 解题导引 1 利用点到直线的距离公式 得出关于m的方程 解方程即得m的值 2 设出点C的坐标 依据三角形的面积 即可求出点C的个数 规范解答 1 选C 由d 解得m 1或m 1 舍 2 选A 设点C t t2 直线AB的方程是x y 2 0 AB 由于 ABC的面积为2 则这个三角形中AB边上的高h满足方程即h 由点到直线的距离公式得即 t2 t 2 2 即t2 t 2 2或者t2 t 2 2 因为这两个方程各有两个不相等的实数根 故这样的点C有4个 技法感悟 距离的求解思路1 两点间距离公式的应用类型 1 直接应用公式求距离 2 根据距离求相关参量的值 3 常用距离公式构造函数 解决最值 范围等问题 2 点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求 但要注意此时直线方程必须为一般式 3 两平行直线间的距离 1 利用 化归 法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离 2 利用两平行线间的距离公式 题组通关 1 2016 贵阳模拟 在复平面内 复数对应的点到直线y x 1的距离是 解析 选A 所以该复数对应的点为 1 1 该点到直线y x 1的距离为 2 2016 新乡模拟 已知平面内两点A 1 2 B 3 1 到直线l的距离分别是则满足条件的直线l的条数为 A 1B 2C 3D 4 解析 选C 由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条 又因为 AB 所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线 故共3条 3 2016 厦门模拟 已知直线l1与l2 x y 1 0平行 且l1与l2的距离是则直线l1的方程为 解析 因为l1与l2 x y 1 0平行 所以可设l1的方程为x y b 0 b 1 又因为l1与l2的距离是 所以解得b 1或b 3 即l1的方程为x y 1 0或x y 3 0 答案 x y 1 0或x y 3 0 4 2016 昆明模拟 已知直线l 2a b x a b y a b 0及点P 3 4 1 证明直线l过某定点 并求该定点的坐标 2 当点P到直线l的距离最大时 求直线l的方程 解析 1 直线l的方程可化为a 2x y 1 b x y 1 0 由得所以直线l恒过定点 2 3 2 由 1 知直线l恒过定点A 2 3 当直线l垂直于直线PA时 点P到直线l的距离最大 又直线PA的斜率kPA 所以直线l的斜率kl 5 故直线l的方程为y 3 5 x 2 即5x y 7 0