《高二数学二次曲线复习》PPT课件.ppt

二次曲线小结 曹杨职校 授课人 陈开运 二次曲线小结 二次曲线小结 附录 二次曲线发展史 目标诊断题 纲要信号图表 学习导航与要求 概念的精细化 曲线的个性与共性 技巧与题型归类 圆 椭圆 双曲线 双曲线 抛物线 双曲线定义的盲点 双曲线的渐近线 离心率分析 直线与双曲线关系 几种曲线定义 一般二次方程的讨论 曲线与方程 Excel作图 曲线的切线 观看网上动态曲线 圆的学习要求和导航 学习要求 掌握由圆的定义推导圆的标准方程 理解参数a br的几何意义 掌握一般方程和标准方程的互化 用圆方程解决有关问题 解决直线与圆 圆与圆的位置关系 学习导航 圆的定义与标准方程圆的几何定义几何量间的关系d P M r代数等式 x a 2 y b 2 r2 a b r的意义 由 x a 2 y b 2 r2x2 y2 Dx Ey F 0且与Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0比较 得出圆方程A C 0 B 0 且D2 E2 4F 0 x2 y2 Dx Ey F 0的圆心 D 2 E 2 半径r 圆与直线的关系 圆心M a b 半径r直线Ax By C 0 d r相离 d r相切 d r相交圆与圆关系两圆的圆心 a1 b1 a2 b2 两圆的半径r1 r1两圆的圆心距关于相切 1 过圆上一点 x0 y0 公式法 x0 a x a y0 b y b r2判别式法 设切线y y0 k x x0 代入圆方程 消去y得相应x的二次方程 由判别式 0可求得k从而得切线 几何法 由圆心到切线距离r确定k而得切线 2 圆外一点 x0 y0 的切线可仿上述判别式法 几何法处理 继续 圆的公式 椭圆的学习要求与导航 学习要求知道椭圆定义并推出椭圆标准方程 理解参数a b c e的相互关系和几何意义 能灵活应用椭圆定义 方程及性质解决问题 椭圆作图 学习导航椭圆方程的定义及参数a b c e 是椭圆所特有的 与坐标无关 a b 0 c2 a2 b2 e c a 必须牢固掌握 椭圆的性质 有心 封闭的曲线 椭圆曲线的范围 掌握曲线 椭圆 对称性的判别 与坐标轴的交点 特别 1 椭圆的焦点一定在长轴上 2 a b c三个参数的关系是满足以a为斜边的直角三角形勾股定理a2 b2 c2 3 标准方程中a对应的变量x 或y 表明焦点就在x轴 或y轴 直线与椭圆的位置关系 把直线与椭圆的方程组消元后得一元二次方程 它的判别式 0直线与椭圆相交 0直线与椭圆相切 0直线与椭圆相离 椭圆的标准方程与性质 双曲线的学习要求和学习导航 学习要求知道双曲线的定义 理解双曲线标准方程的参数a b c e的几何意义和相互关系 根据条件熟练写出双曲线的标准方程 灵活应用双曲线的定义 方程及性质解有关问题 学习导航学习时 要与椭圆的标准方程进行比较 加深这两种曲线之间的区别和联系 必须理解双曲线参数a b c e是双曲线所固有的 与坐标的建立无关 双曲线有心但不封闭 所以存在这样的特殊情况 直线平行 双曲线的渐进线但与双曲线仅有一个交点 而并不相切 因此 直线与双曲线只有一个交点 是直线与双曲线相切的必要而非充分条件 什么时候直线与双曲线有一个交点 两个交点 没有交点 双曲线的标准方程与性质 双曲线定义的三个 盲点 双曲线定义 平面内与两个定点F1F2的距离之差的绝对值是常量 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 定义内有三个盲点 小于 F1F2 绝对值 常数 稍有不慎 就回出错 盲点1 小于 F1F2 将 小于 F1F2 改成 大于 F1F2 经过演示 点的轨迹不存在 将 小于 F1F2 改成 等于 F1F2 经过演示 点的轨迹不再是双曲线 而是以F1F2为起点的两条射线 盲点2 绝对值 若将 绝对值 去掉 经过演示点的轨迹不再是两支曲线 只有一支 即左支或右支 盲点3 常数 若常数等于零 点的轨迹是什么 经过演示 不难发现点的轨迹是线段F1F2的中垂线 思考题 学习椭圆 抛物线的定义要注意什么 双曲线与它的渐近线 双曲线方程可得可以看出 随着x无限变大 y也无限变大所以双曲线是无界的 为了更好研究它无限伸展的趋势 把上式改为当x无限变大时 趋近于0这时 y就渐近于 b ax 说明当x无限增大 双曲线愈来愈接近直线y b ax 并且不论x有多大 在第一象限内总有 X无限变大 双曲线无限逼近渐近线 但永远不会相连接 设在第一象限内取x0 渐近线对应y1 双曲线对应y0 有 说明了 在第一象限内 对同样的x渐近线的值大于双曲线的值 x无限增大 y1 y0也无限趋向于0思考题 你能说说离心率e与双曲线渐近线开口大小的关系吗 你能举出其他已学的函数或方程的曲线的渐近线的例子吗 抛物线的学习要求和学习导航 学习要求掌握抛物线的定义 熟记四种标准方程 了解焦参数p的几何意义 掌握抛物线的几何性质并能运用解决有关问题 学习导航掌握抛物线的定义 推导和建立抛物线的标准方程 用定义解题有时更简洁 虽然抛物线只一个参数 只须一个条件就可以求出 但有四个标准方程 所以必须掌握它的特征和对应的抛物线的开口方向 对称轴 焦点位置和准线的关系 了解二次曲线的几种定义 对提高解题能力是有帮助的 直线与抛物线的位置关系 特别注意相切的情况 由于抛物线与对称轴只一个交点 而它不是抛物线的切线 所以直线与抛物线相切并不是直线与抛物线只有一个公共点的充要条件 坐标平移 二次曲线Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0通过坐标平移可以消去一次项 简化方程的表达式 坐标系的改变 曲线的位置形状和大小都没有改变 点的坐标和方程也随之改变 坐标的平移公式 x x hx x hy y ky y k主要题目类型 1 已知原坐标系 新坐标原点 求一些点和方程的在新坐标系中的表达式 2 已知新坐标系 原坐标的原点 求一些点和方程的在原坐标系中的表达式 3 二次曲线方程经过配方成完全平方式 用平移公式简化 4 把x x h y y k代入曲线方程 使一次项系数为0 简化曲线方程 你还想学点吗 除了书本上二次曲线的定义外 还有一种统一的定义 平面上 一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比是一个常数 动点的轨迹叫做圆锥曲线 这一定点叫做焦点 定直线叫做准线 这个常数叫做离心率 离心率小于1时叫做椭圆 离心率大于1时叫做双曲线 离心率等于1时叫做抛物线 以焦点F为原点 经过焦点作准线l的垂线为x轴 取垂足到焦点的方向为正方向 建立直角坐标系 设焦点到准线的距离为p 离心率为e 可得到直角坐标系中圆锥曲线的统一方程 1 e2 x2 y2 2e2px e2p2 0 又以焦点F为极点 经过焦点作准线l的垂线为极轴 取垂足到焦点的方向为正方向 建立极坐标系 得到极坐标系中圆锥曲线的统一方程思考题1 一个动点到两个定点 3 0 3 0 的斜率的积为 1 这轨迹是什么曲线 若斜率的积为 1 4 是什么曲线 若斜率的积为1 4 是什么曲线 2 一个动点到两个定点 3 0 3 0 的距离的平方差为常量 这轨迹是什么曲线 圆锥截线 你还想学点吗 离心率概念分析 离心率是反映了二次曲线的形态及性质的重要概念 引入定义 椭圆的焦距2c与长轴2a的比叫做椭圆的离心率 类似的给出了双曲线 抛物线的离心率定义 离心率定义有两个要点 一个距离与长度有序之比 e c a 0离心率取值范围 椭圆 2c2a 得e 1 按抛物线定义 e 1 离心率与圆周率是几何中的两大比率 它们的共同特点 均为两个定量的有序之比 区别在于前者适用于二次曲线 后者只适用于圆 e值有相对的任意性 可变 却具有唯一性 无理常数 离心率深刻揭示了二次曲线的实质 沟通了它们的关系 椭圆 双曲线 抛物线三者关系密切 是同一定义 下的不同表现 三种曲线可统一定义为 平面内到一定点和一定直线的距离之比等于常数e的动点轨迹叫二次曲线 建立适当的坐标 轨迹上任一点M x y 定点F p 0 所以整理即得 1 e2 x2 y2 2px p2 0当01方程分别是椭圆 抛物线 双曲线 对立统一 量变到质变 e0椭圆圆 e1 椭圆变得愈来愈扁 e 1为抛物线 e 1为双曲线 e增大 则b a 也变大 双曲线开口变大 反之 开口变小 E趋向于1时 渐近线倾斜角近于0 圆锥曲线 圆锥截线 点 点圆 圆 椭圆 双曲线 抛物线 圆锥曲线退化为两条直线 一条直线 你能说出截面的条件吗 圆锥的顶角影响曲线形状吗 二次曲线的发展史 公元前四世纪 古希腊学者梅纳科莫斯最早通过截割圆锥的方法得到三种不同类型的曲线 椭圆 圆 双曲线 抛物线 统称圆锥曲线 许多学者继续研究这一课题 最有成就的是生于小亚细亚佩加城的阿波罗尼 他将自已的成果写成八大卷的 圆锥曲线论 成为这一课题的经典文献 十六世纪 著名天文学家开普勒发现行星按椭圆形轨道运行 著名天文学家伽里略证明了不计阻力的斜抛运动的轨迹是抛物线 这说明了圆锥曲线并不是附生于圆锥之上的静态曲线 而是自然界中物体常见的运动形式 1629年 法国数学家费马在 平面和立体轨迹引论 一书中 运用斜角坐标研究圆锥曲线 证明了圆锥曲线的方程都是含有二个未知数且最高次幂是二次的方程 反之 一般二元二次方程点的轨迹是圆锥曲线 1655年 英国数学家沃利斯在 圆锥截线论 中 干脆把圆锥曲线叫作二次曲线 1748年 著名数学家欧拉在 无穷小分析引论 一文中 详细讨论了形如 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0的一般二次方程 证明经过平移 转轴变换 任何一个二次方程可以化为椭圆 圆 双曲线 抛物线及它们的退化形式 所以二次曲线就是圆锥曲线 椭圆双曲线抛物线基本性质 一些常用技能技巧的梳理 在巩固求曲线方程 应用曲线方程的基础上 练习常用的技能技巧 提高解题能力 建立适当的坐标系应用解几方法解题 必须建立坐标系 而且选定恰当的坐标系 一般是以原点 坐标轴对称的 或以原点为起点 简化曲线方程 2 充分利用圆锥曲线特有的几何性质 例如 m为何值时 直线2x y m 0和圆x2 y2 5 无公共点 截得弦长为2 交点处两条半径互相垂直 解 圆心 0 0 到直线距离d 圆半径r 时即m5时圆和直线无公共点 弦过中点的半径垂直于弦 r2 d2 1即5 m2 5 1 当m 时圆在直线上截得弦长为2 此时弦与过 弦两端的半径组成等腰直角三角形 时过弦两端的半径互相垂直 3 圆锥曲线定义的应用有些题目从表象上看较难 但用圆锥曲线定义解题 问题迎刃而解 一些常用技能技巧的梳理 如图双曲线方程的左焦点作弦交曲线于A B 连接AF2和BF2 求 AF2 BF2 AB 的值解 AF2 AF1 2a 8 BF2 BF1 2a 8 AF2 BF2 AB 的值为16 曲线系方程的应用方程f1 x y f2 x y 0表示的曲线经过曲线f1 x y 0和曲线f2 x y 0的交点 A1x B1y C1 A2x B2y C2 0表示过直线A1x B1y C1 0 A2x B2y C2 0的交点的一系列直线 你能写出圆系列方程和双曲线系列方程吗 例题 一个圆经过已知圆x2 y2 x y 2 0和x2 y2 5的交点 且圆心在直线3x 4y 1 0上求圆方程 解 设所求圆方程为 x2 y2 x y 2 x2 y2 5 0即 1 x2 1 y2 x y 2 0其圆心为 1 2 2 1 2 2 在已知直线上 得 1 5 所求方程为 X2 y2 2x 2y 11 0 一些常用技能技巧的梳理 韦达定理的应用 例题1 已知直线l过 1 0 点 倾斜角为 4 求l在椭圆x2 2y2 4上截得的长 解 直线方程为y x 1代入椭圆方程x2 2y2 4 得3x2 4x 2 0设所截交点为AB AB 2 x2 x1 2 y2 y1 2 2 x2 x1 2 2 x2 x1 2 4x2x1 80 9 AB 一般二次方程的讨论 一般二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0经过旋转变换 适当选取 角 化成A x 2 C y 2 D x E y F 0关键看A C 是否有一个为零 都不为零时它们是同号还是异号来决定 经过变换 4A C B2 4AC B2 4AC为二次方程判别式 课堂训练题 选择题1 如果方程x2 ky2 2表示焦点在y轴上的椭圆 那么实数k的取值范围是 A 0 B 0 2 C 1 D 0 1 2 焦点在 1 0 顶点在 1 0 的抛物线方程是 A y2 8 x 1 B y2 8 x 1 C y2 8 x 1 D y2 8 x 1 3 椭圆x2 9 5y2 36的离心率为 A 1 3B 2 3C 1 2D 3 44 设椭圆的两个焦点分别是F1和F2 短轴的一个端点是B 则 BF1F2的周长是 A B C D 5 若抛物线y2 2x上一点到焦点距离为5 则该 点的坐标是 A 4 2 或 4 2 B 5 或 5 C 4 5 3 或 4 5 3 D 6 2 或 6 2 6 以坐标轴为对称轴 中心在原点 实轴长为10 焦距为12的双曲线方程是 A x2 25 y2 11 1或 y2 25 x2 61 1B x2 25 y2 11 1或y2 25 x2 11 1C x2 61 y2 25 1或y2 25 x2 61 1D x2 61 y2 25 1或y2 25 x2 11 17 若方程表示双曲线 则k的值的范围是 A k25C 1625 你能做对多少题 圆的目标诊断题 1 写出圆心在 0 3 半径是的圆方程 A1 2 下列方程表示社么图形 1 x 3 2 y2 0 2 x2 y2 2x 2y 2 0 3 x2 y2 2ab 0 B1 3 写出过圆x2 y2 25 0上一点M 2 1 的切线的方程 B2 4 求下列条件所决定的圆的方程 1 圆心在 3 4 且与直线6x 8y 15 0相切 C1 2 经过点A 2 1 与直线x y 1相切 且圆心在直线y 2x上 3 经过A 5 1 B 1 2 C 1 3 三点 5 求经过点P 0 10 且与x轴切于原点的圆的方程 并判断点A 5 5 B 6 C 3 10 在圆内 在圆外 还是在圆上 6 判断直线3x 4y 24 0与圆x2 y2 6x 4y 12 0的位置关系 7 求证 两圆x2 y2 4x 4 0与x2 y2 6x 10y 16 0互相外切 8 求圆的切线方程 1 与圆 x 1 2 y 3 2 25切于点A 3 6 的切线方程 2 若圆x2 y2 13的切线平行于直线4x 6y 5 0 求这切线的方程 3 过点A 4 0 向圆x2 y2 1引切线 求这切线的方程 9 一圆拱桥跨度长12米 拱高3米 以拱弦所在的直线为x轴 弦的中点为原点建立直角坐标系 求这圆拱曲线的方程 圆的目标诊断题答案 1 x2 y 3 2 32 1 点 3 0 2 以 1 1 为圆心 2为半径的圆 3 x2 y b 2 b23 4 1 x 3 2 y 4 2 49 4 2 x 1 2 y 2 2 2或 x 9 2 y 18 2 338 3 7x2 7y2 25x 3y 54 05 x2 y 5 2 25 A点在圆上 B点在圆内 C点在圆外6 直线与圆相切7 故两圆外切8 1 4x 3y 30 0 2 2x 3y 13 0 3 9 x2 y 9 2 2 225 4 y 0 椭圆目标诊断题 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a b 1 焦点在x轴上 2 a 5 c 焦点在y轴上 3 a 6 e 1 3 焦点在x轴上 4 b 4 e 3 5 焦点在y轴上2 利用椭圆的面积公式S ab 求下列椭圆的面积 1 9x2 25y2 225 2 36x2 5y2 1803 求下列椭圆长轴和短轴的长 离心率 焦点坐标 顶点坐标和准线方程 并画出草图 1 4x2 9y2 36 2 9x2 y2 814 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 长轴是短轴的5倍 且过点 7 2 焦点在x轴上 焦点坐标是 0 4 0 4 且经过点 5 求直线x y 0和椭圆x2 4 y2 1的交点6 点P与一定点F 4 0 的距离和它到一定直线x 25 4的距离之比是4 5 求点P的轨迹方程 7 地球的子午线是一个椭圆 两个半轴之比是299 300 求地球子午线的离心率 椭圆目标诊断题的答案 1 1 x2 3 y2 1 2 x2 8 y2 25 1 3 x2 36 y2 32 1 4 x2 16 y2 25 12 1 15 2 3 1 2a 6 2b 4 e F 0 顶点 3 0 0 2 准线方程 2 2a 18 2b 6 e F 0 顶点 3 0 0 9 准线方程 4 1 x2 149 25y2 149 1 2 x2 20 y2 36 15 6 x2 25 y2 9 17 双曲线目标诊断题 1 求适合下列条件的双曲线标准方程 1 a 3 b 4 焦点在x轴上 2 a c 3 焦点在y轴上 3 a 6 e 3 2 焦点在x轴上 4 b e 3 2 焦点在x轴上2 求下列双曲线的实轴和虚轴长 顶点和焦点坐标 离心率 渐近线和准线方程 并画出草图 1 x2 4y2 4 2 9x2 16y2 1443 求双曲线的标准方程 1 实半轴是 经过点焦点在y轴上 2 两渐近线方程是y 3 2x 经过点 4 求直线3x y 3 0和双曲线x2 y2 4 1的交点5 点P与定点 6 0 及定直线x 16 3的距离之比是求点P的轨迹方程6 求以椭圆x2 25 y2 9 1的焦点为顶点 顶点为焦点的双曲线方程 7 两个观察点的坐标分别是A 200 0 B 200 0 单位是米 A点听到爆炸声比B点早1 08秒 求炮弹爆炸点的曲线方程 8 求证 当k 9 k 4时 方程所表示的圆锥曲线有共同的焦点 双曲线目标诊断题答案 1 1 x2 9 y2 16 1 2 y2 5 x2 4 1 3 x2 36 y2 45 1 4 y2 2 x2 14 12 1 2a 4 2b 2 顶点 2 0 F 0 e 渐近线方程y 1 2x 准线方程x 2 2a 6 2b 8 顶点 0 3 F 0 5 e 5 3 渐近线方程 Y 3 4x 准线方程y 9 53 1 y2 20 5x2 16 1 2 9x2 4y2 24 1 0 和 13 5 24 5 5 x2 8y2 326 x2 16 y2 9 17 8 1 当k 4时 方程表示椭圆 焦点在x轴 此a2 9 k b2 4 k c2 a2 b2 5 F 0 2 当4 k 9时 方程表示双曲线 焦点在x轴 a2 9 k b2 k 4 c2 a2 b2 5 F 0 所以方程表示的椭圆和双曲线有共同的焦点 抛物线目标诊断题 1 抛物线y2 2px p 0 上一点M到焦点的距离是4 求点M到准线的距离 2 写出适合下列条件的抛物线方程 1 焦点是F 3 0 2 准线方程是x 1 2 3 焦点到准线的距离是1 23 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 4x 0 2 2x2 3y 04 推导抛物线的标准方程y2 2px p 0 5 根据下列条件 求抛物线的方程 并描点画出图形 1 顶点在原点 对称轴是y轴 且顶点与焦点的距离等于2 2 顶点在原点 对称轴是x轴 且经过 3 2 点 6 已知一等边三角形内接于抛物线y2 2x 且一个顶点在原点 求其他两个顶点的坐标 7 已知抛物线型的拱桥的顶点距水面2米时 量得水面宽为8米 当水面升高1米后 求水面的宽 8 抛物线顶点是椭圆16x2 25y2 400的中心 焦点是椭圆的右焦点 求这抛物线的方程9 把抛物线通径的两端分别与准线和抛物线轴的交点连接 证明这两条直线互相垂直 抛物线目标诊断题答案 1 42 1 y2 12x 2 y2 2x 3 y2 x 或x2 y3 1 F 1 0 准线方程 x 1 2 F 0 3 8 准线方程y 3 85 1 x2 8y 2 y2 4 3x6 7 8 y2 12x 9 通径两端为 p 2 p p 2 p 准线与抛物线轴的交点 p 2 0 kAC kBC 1 椭圆 双曲线 抛物线 除课本的定义外还有准线定点 极坐标 圆锥截线等定义 范围对称性顶点 定义 范围对称性顶点 范围对称性顶点 性质 共性 都是二次曲线圆锥截线对称性准线定点离心率极坐标都有焦点 概念精细化 直线与双曲线的位置关系双曲线与渐近线的定量分析再说说曲线与方程的两句话曲线方程与函数的关系 Excel画曲线图形 请你探索网络上的二次曲线图形 归纳为几句话 纲要信号图表 竞争又合作 实际应用1 力学结构拱桥散热塔网络结构储槽容器2 光学性质卫星天线雷达激光器光学器件3 运动轨迹弹道天体轨道4 测量定位卫星定位GPSB超声纳 JAVA 学生小结 求曲线轨迹椭圆 双曲线 抛物线定义和参数的题目点 直线与曲线的位置关系曲线作图曲线的切线二次曲线的实际应用 概念的精细化 在 曲线的方程 方程的曲线 的定义中为什么要作两条规定 我们可以从集合的观点来认识这个问题 大家知道 一条曲线和一个方程f x y 0可以是同一个点集在 形 和 数 两方面的反映 只有当曲线所表示的点集C与方程f x y 0的解所表示的点集F是同一个点集 也就是C F时 曲线才叫做方程的曲线 方程叫曲线的方程 而两个集合C F 必须从两个方面说明 1 C中的任何一点属于F 记曲线上任一点的坐标是f x y 0的解2 F中的任何一点也属于C 即以f x y 0的解为坐标的点在曲线上 说明了 曲线上的点与方程的解满足一一对应的关系 求曲线方程的依据 适合方程的解一定在曲线上 不适合条件的点一定不在曲线上 直线视作曲线的特殊情况 曲线方程与函数的关系 曲线方程与函数的主要不同在于 1 曲线方程反映了x y的数量上的相互制约关系 无 依从 关系 取定一个x y不一定唯一确定 同样取定一个y后x也不一定唯一确定 x与y无 自变量 应变量 的 主从 关系 2 函数则反之 取定义域中每一个x 都有唯一的y与之对应 就曲线而言 称x y的取值范围 对函数而言 分别趁x y的定义域和值域 3 函数表达式y f x 曲线方程表达式为f x y 0 二次曲线题型之一 1 曲线与方程1 判断已知点是否在曲线上2 已知方程可分解为f1 x y 0 f2 x y 0 fn x y 0 那么这方程的曲线由n个f1 x y 0 f2 x y 0 fn x y 0来确定 2 求两条曲线交点代入或加减法消元 用 判别几个解 3 点 直线 圆与圆的位置关系点与圆点在圆上 圆外 圆内 点与圆心距离和半径比较或点坐标代入方程 0 0 0直线与圆直线方程代入圆方程 判别 特别是切线 圆上点和圆外点的切线例题1从点P 2 3 向圆 x 1 2 y 1 2 1引切线 求切线方程 解 设切线斜率k 切线方程y kx 2k 3 0 圆方程的圆心 1 1 r 1 圆心到直线的距离等于半径 K 3 4 切线方程3x 4y 6 0还有一条切线x 2例题2 判断直线ax by 0与圆x2 y2 ax by 0的位置关系 解 圆x2 y2 ax by 0即 x a 2 2 y b 2 2 a2 b2 4圆心 a 2 b 2 r 圆心到直线的距离为d 直线ax by 0与圆x2 y2 ax by 0相切 有关曲线的切线详情 二次曲线题型之二 例题3 已知圆的方程为 x 1 2 y 2 2 13求过A 1 1 且与已知圆相切的切线方程 解 以A 1 1 代入圆方程得 1 1 2 1 2 2 13 即A 1 1 在圆上 可用切线公式 x0 a x a y0 b y b r2写出切线方程 1 1 x 1 1 2 y 2 13即2x 3y 5 0 例题4 求圆心为 2 1 且与已知圆x2 y2 3x 0的公共弦所在的直线过点 5 2 的圆方程 解 设所求的圆方程为 x 2 2 y 1 2 r2即 x2 y2 4x 2y 5 r2 0 已知圆方程为 x2 y2 3x 0 由 得公共弦所在的直线方程为x 2y 5 r2 0又直线过 5 2 点 r2 4所求的圆方程 x 2 2 y 1 2 4圆与圆的位置关系判断方法 一般是两圆心距离与两圆半径和或差作比较 略 当两圆方程联立成方程组 消去x2 y2项得一次方程 当两圆相交 则表示为两圆的公共弦所在的直线 当两圆外切时 则表示两圆外公切线方程 当两圆内切时 则表示两圆的内公切线方程 例题5 求以相交的两圆x2 y2 4x y 1 0及x2 y2 2x 2y 1 0的公共弦为直径的圆方程 解 联立两圆方程x2 y2 4x y 1 0 x2 y2 2x 2y 1 0 y 2x 代入 x2 2x 2 4x 2x 1 0解之 x1 1 5x2 1y1 2 5y2 2两圆的交点 1 5 2 5 1 2 所求圆心是两圆交点的中点 3 5 6 5 所求圆方程 x 3 5 2 y 6 5 2 4 5 二次曲线题型之三 椭圆 双曲线 抛物线的题型例题6 已知椭圆的焦距为6 长轴为10 求椭圆的标准方程解 因为椭圆的焦点位置未定 所以分步讨论 1 焦点在x轴椭圆的标准为2a 10 a 5 2c 6 c 3 b2 a2 c2 16 b 4所以椭圆的标准方程是2 焦点在y轴椭圆的标准为A 5 c 3 b 4所求椭圆方程例题6 若抛物线的焦点为 2 2 准线方程为x y 1 0 求此抛物线 解 设抛物线上任一点p x y 焦点F 2 2 由抛物线定义 PF d d为P到准线的距离 整理得x2 2xy y2 6x 6y 15 0椭圆双曲线混合题例题7 当k在什么范围内 下面的方程表示的是椭圆或双曲线 解 1 若表示椭圆9 k 0k0k0或9 k0解之4 x 9 方程表示是双曲线 二次曲线题型之四 作图题1 用课本介绍的列表 描点 对称的方法2 用Excel作图法坐标平移题例题1 平移坐标轴 把原点移到o 3 4 求曲线x2 y2 6x 8y 0在新坐标系的方程解 x x 3代入方程x2 y2 6x 8y 0得y y 4 x 3 2 y 4 2 6 x 3 8 y 4 0化简x 2 y 2 25例题2 已知双曲线虚轴为8 顶点坐标 1 2 5 2 求双曲线的方程和渐近线方程解 顶点 1 2 5 2 曲线中心 2 2 焦点在y 2上 x x 2 y y 2 2a 6 2b 8A 3 b 4 双曲线方程是新坐标系中的渐近线方程 求轨迹方程1 直接法求轨迹方程例题9 动点P与二定点F1 F2的连线互相垂直 试求动点P的轨迹方程解 1 建系取F1 F2所在的直线为x轴 F1 F2的中点为原点 建立直角坐标系 F1 a 0 F2 a 0 2 设动点P x y 为所求轨迹上任意点3 kPF1 KPF2 1 4 化简整理x2 y2 a2 x a 2 间接法求轨迹方程例题10 已知圆方程x2 y2 22及点N 6 6 求圆上的点与N点连线中点的轨迹 解 设圆方程x2 y2 22上一点M a b 有a2 b2 22 设P x y 为轨迹上任意一点动点坐标 a 2x 6 b 2y 6代入圆方程得 x2 y2 6x 6y 68 0 3 参数方程 二次曲线题型之五 二次曲线的实际应用问题1 选择适当的标准方程和坐标系一般曲线顶点在原点 与x y轴对称2 输入已知坐标点 或其他条件 求出曲线方程 3 输入要求的一点f x0 y0 的值 解决问题 一般应用有 力学结构 拱桥 散热塔 储槽容器 建筑结构等 光学性质 会聚和发散电磁波 卫星天线 激光器 雷达抛物线 双曲线 椭圆的光学性质 学生简叙 运动轨迹 弹道 天体轨道 物理运动 测量定位 卫星定位GPS 声纳等检测仪器 二次曲线的应用 直线与双曲线的位置关系 我们举例说明直线与双曲线的位置关系 双曲线1 当y 3 4x时 直线与双曲线不相交 y 3 4x代入双曲线方程 判别式为0 2 当y kx b时 3 43 4时 y kx b代入双曲线方程 判别式为0 直线与双曲线的两支曲线各有一个切点 判别式 0 直线与双曲线的一支有两个交点 4 当y kx b k 3 4时 b不等于0 直线与双曲线的一支有一个交点 但并不相切 直线与双曲线只有一个交点 是直线与双曲线相切的必要而非充分条件 用Excel绘制二次曲线 用Excel绘制二次曲线图形直观 有益于熟悉二次曲线标准方程 你想学学吗 二次曲线的切线 切点 x0 y0 在曲线上圆 x a x0 a y b y0 b r椭圆 xx0 a2 yy0 b2 1双曲线 xx0 a2 yy0 b2 1抛物线 yy0 p x x0 或xx0 p y y0 焦点在y轴的曲线的切线依此类推 过已知曲线外一点 x0 y0 与曲线相切的切线方程设切线斜率为k 切线方程为y y0 k x x0 代入二次曲线 成为关于x的一元二次方程 令判别式 0 求得k 获得切线方程 一般判别式 0能推得直线与曲线相切 反依然 但对双曲线而言 这是充分而不必要条件 已知切线的斜率k 求切线方程椭圆x2 a2 y2 b2 1的切线方程 椭圆x2 b2 y2 a2 1的切线双曲线x2 a2 y2 b2 1的切线双曲线x2 b2 y2 a2 1的切线抛物线y2 2px的切线y kx p 2k抛物线x2 2pyd的切线y kx k2p 2一般求已知切点的切线方程 把原二次曲线的x2项用xx0代替 y2项用yy0代替 x项用1 2 x x0 y用1 2 y y0 即可 上述内容由汪槛同学提供 浏览网上动态曲线 用引导探索法让学生们观察英国UniversityofStAndrewsMT网站的二次曲线 改变a b值可观看动态的二次曲线的变化 街拍