2010年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及答案.doc

2010年全国高中数学联赛湖北省预赛2010年全国高中数学联赛湖北省预赛由湖北省数学竞赛组织委员会主办并具体组织活动，委托华中师范大学数学竞赛与普及研究所命题。试题以高中数学竞赛大纲（2006年修订稿）为依据，所涉及的知识范围不超出现行全日制普通高级中学数学教学大纲和普通高中数学课程标准中所规定的教学内容和要求，在数学思想方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力，适当考虑全国联赛对参赛学生的要求。湖北省预赛按高一、高二年级分开命题，试题包括8道填空题和4道解答题，全卷满分120分，考试时间为120分钟。湖北省预赛于2010年5月16日（星期日）上午8：00至10：00举行，约5万名学生参加，由各地市（州）安排考试并组织阅卷，从中选出约9000人参加全国高中数学联赛。试 题一、填空题（每小题8分，共64分） 1数列满足：，且记前项的和为，则 2在中，已知的平分线交AC于K若BC=2，CK=1，则的面积为 3设，则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数为 4在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 5若均为正实数，且，则的最小值为 6设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为I，则 7对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围为 8将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 二、解答题（本大题共3小题，共56分）9（16分）已知二次函数的图象经过点，且不等式对一切实数都成立（1）求函数的解析式；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围10（20分）设，求使为完全平方数的整数的值11（20分）已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点（1）用表示四边形的面积；（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程解 答189 提示：由已知可得2 提示：由余弦定理可得 又 ，则 由，又由可得，故的面积398 提示：设的展开式中有连续三项的系数分别为，由题意得 依组合数定义展开并整理得故 （1），代入（1），得，由，4327 提示：把这19个数按被3除所得的余数分类可以有三类：3，6，9，12，15，18；：1，4，8，11，14，17；：2，5，7，10，13，14，19这样，满足题设条件的取法有且只有四种情形：（1）在中任取3个数，有种取法；（2）在中任取3个数，有种取法；（3）在中任取3个数，有种取法；（4）在中各取一个数，有种取法因此，取法总数为：（种） 5 提示：因 ，所以 当且仅当时等号成立所以 6 提示：先证明下面的结论：已知ABC的内心为I，则ABACBC2AI证明：设ABC的内切圆与边AB、AC分别切于D、E两点，则ADAE（ABACBC），又AD2AI，所以ABACBC2AI对于本题的，有又中，所以，从而7 提示：记，已知条件即对一切恒成立（1）当时，对一切实数，（2）当时，可化为设，则当时，所以函数在区间上单调递增，从而因此（3）当时，可化为设，则当时；当时；当时所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而因此综合可知：826 提示：设所有放置中的最大数为，则，所以事实上26，6，26，26，6，26，26，6，26，26满足9（1）由已知，对有 ，两边同除以n并整理，得 ，于是，即 ，所以 ，又时也成立，故（2）当，有，所以时，有又时，故对一切，有10所以，当时，是完全平方数 下证没有其它整数满足要求（1）当时，有，又，所以，从而又，所以此时不是完全平方数（2）当时，有令，则，即，所以 ，即 解此不等式，得的整数值为，但它们对应的均不是完全平方数综上所述，使为完全平方数的整数的值为10.11（1）直线的倾斜角为，记，则，而与所成的角为，则四边形面积 而，A点坐标为，且，从而，其中或 （2）记，而只可能在时才可能取到最大值对求导数得到：令，则有 化简得到 所以 而 无实根，则经检验，符合故所求直线的方程为：