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江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题2 函数的性质及应用()高考中考查函数性质的形式不一，时而填空题，时而解答题，时而与其他章节综合，在解决问题的某一步骤中出现.在二轮复习中要注重知识点之间的联系，同时还要注意结合函数图象解决问题.,此外，函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是近年来新增的一个考点，也要引起足够的重视.1已知函数F(x)f1是R上的奇函数，anf(0)ffff(1)(nN*)，则数列an的通项an_.解析：由题意知F(x)F(x)，即f1f1，ff2.令tx，则f(t)f(1t)2.分别令t0，得f(0)f(1)ff2.anf(0)ffff(1)，由倒序相加法得2an2(n1)，故ann1.答案：n12(2012徐州期末)设函数f(x)x|x|bxc，给出下列四个命题当c0，yf(x)是奇函数；当b0，c0时，方程f(x)0只有一个实数根；yf(x)的图象关于点(0，c)对称；方程f(x)0至多有两个实数根其中命题正确的是_解析：当c0时f(x)x|x|bxf(x)，正确；当b0，ca的解集为M，且2M，则a的取值范围是；定义域为R的函数f(x)满足f(x1)f(x)1，则f(x)是周期函数；已知f(x)满足对xR都有ff2成立，则fff7.其中正确结论的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)解析：由|k|3x3xlog3|k|(k0)知正确；由2M得a，即a，故不正确；由f(x1)得f(x2)f(x)，故正确；由ff2得f(x)f(1x)2且f1，故fff7正确答案：5给出定义：若mc.称f(x)为“平底型”函数判断f1(x)|x1|x2|，f2(x)x|x2|是否是“平底型”函数？简要说明理由解：f1(x)|x1|x2|是“平底型”函数，存在区间1,2使得x1,2时，f(x)1，当x2时，f(x)1恒成立；f2(x)x|x2|不是“平底型”函数，不存在a，bR使得任取xa，b，都有f(x)常数(2012南京一模)对于函数f(x)，若存在实数对(a，b)，使得等式f(ax)f(ax)b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f(x)是“(a，b)型函数”(1)判断函数f(x)4x是否为“(a，b)型函数”，并说明理由；(2)已知函数g(x)是“(1,4)型函数”，当x0,2时，都有1g(x)3成立，且当x0,1时，g(x)x2m(x1)1(m0)，试求m的取值范围解(1)函数f(x)4x是“(a，b)型函数”，因为由f(ax)f(ax)b，得16ab，所以存在这样的实数对，如a1，b16.(2)由题意得，g(1x)g(1x)4，所以当x1,2时，g(x)，其中2x0,1而x0,1时，g(x)x2m(1x)1x2mxm10，且其对称轴方程为x.当1，即m2时，g(x)在0,1上的值域为g(1)，g(0)，即2，m1则g(x)在0,2上的值域为2，m1，由题意得此时无解；当1，即1m2时，g(x)的值域为，即，所以g(x)在0,2上的值域为，由题意得且解得1m2；当0，即0m1时，g(x)的值域为，即，则g(x)在0,2上的值域为，则解得2m1.综上所述，所求m的取值范围是.本题主要考查函数的综合性质，分类讨论思想，第一问比较容易，好入手，第二问转化有点困难，应先把函数在1,2上的解析式求出来，然后求值域并转化为子集关系解题求值域实质就是二次函数中轴动区间定的类型，并且同时研究两个二次函数，要进行比较(2012金陵中学期末)已知函数f(x)的图象在a，b上连续不断，定义：f1(x)minf(t)|atx(xa，b)，f2(x)maxf(t)|atx(xa，b)其中，minf(x)|xD表示函数f(x)在区间上的最小值，maxf(x)|xD表示函数f(x)在区间上的最大值若存在最小正整数k，使得f2(x)f1(x)k(xa)对任意的xa，b成立，则称函数为区间a，b上的“k阶收缩函数”(1)若f(x)cos x，x0，试写出f1(x)，f2(x)的表达式；(2)已知函数f(x)x2，x1,4，试判断f(x)是否为1,4上的“k阶收缩函数”，如果是，求出相应的k；如果不是，请说明理由；(3)已知b0，函数f(x)x33x2是0，b上的2阶收缩函数，求b的取值范围解：(1)f1(x)cos x，x0，f2(x)1，x0，(2)f1(x)f2(x)f2(x)f1(x)当x1,0时，1x2k(x1)，k1x，即k2；当x(0,1)时，1k(x1)，k，即k1；当x1,4时，x2k(x1)，k，即k.综上，存在k4，使得f(x)是1,4上的4阶收缩函数(3)f(x)3x26x3x(x2)，在(0,2)上f(x)0，f(x)递增，在(2，)上f(x)0，f(x)递减当0(x0)成立即存在x0，b，使得x(x23x1)0成立即x0或x.综上3时，f(x)在0,2上递增，在2，b上递减，f2(x)f(2)4，f1(x)f(b)4，x0x.当x0时，f2(x)f1(x)2(x0)也不成立综上b1.(2012栟茶模拟)已知函数f(x)axx2xln a(a0，a1)(1)当a1时，求证：函数f(x)在(0，)上单调递增；(2)若函数y|f(x)t|1有三个零点，求t的值；(3)若存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1，试求a的取值范围解(1)证明：f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a，由于a1，故当x(0，)时，ln a0，ax10，所以f(x)0.故函数f(x)在(0，)上单调递增(2)当a0，a1时，因为f(0)0，且f(x)在R上单调递增，故f(x)0有惟一解x0.所以x，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)递减极小值递增又函数y|f(x)t|1有三个零点，所以方程f(x)t1有三个根，而t1t1，所以t1(f(x)minf(0)1，解得t2.(3)因为存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1，所以当x1,1时，|f(x)maxf(x)min|f(x)maxf(x)mine1.由(2)知，f(x)在1,0上递减，在0,1上递增，所以当x1,1时，f(x)minf(0)1，f(x)maxmaxf(1)，f(1)而f(1)f(1)(a1ln a)a2ln a，记g(t)t2ln t(t0)，因为g(t)120(当且仅当t1时取等号)，所以g(t)t2ln t在t(0，)上单调递增，而g(1)0，所以当t1时，g(t)0；当0t1时，g(t)1时，f(1)f(1)；当0a1时，f(1)1时，由f(1)f(0)e1aln ae1ae，当0a0)(1)求g(x)的表达式；(2)若x0使f(x)0成立，求实数m的取值范围；(3)设1me，H(x)f(x)(m1)x，证明：对x1，x21，m，恒有|H(x1)H(x2)|0)当m0时，由对数函数性质，f(x)的值域为R；当m0时，f(x)0对x0，f(x)0恒成立；当m0em0，f(x)0恒成立，则实数m的取值范围是(e,0故x0，使f(x)0成立，实数m的取值范围(，e(0，)(3)证明：因为对x1，m，H(x)0，所以H(x)在1，m内单调递减于是|H(x1)H(x2)|H(1)H(m)m2m ln m.|H(x1)H(x2)|1m2m ln m1mln m0，所以函数h(m)mln m在(1，e上是单调增函数所以h(m)h(e)10，故命题成立(1)对复杂函数的对称性应注意利用最根本的定义解决，奇偶性只是对称性中最特殊的一种(2)对于形如：x1，x21，m，恒有|H(x1)H(x2)|1的问题，要注意转化成最值问题处理同时在利用导数的正负探究函数的单调性时，为判断导函数的正负，有时还需要设计成研究导函数的最值问题1定义域为R的函数f(x)则关于x的方程f2(x)bf(x)c0有5个不同的实数根x1，x2，x3，x4，x5，求f(x1x2x3x4x5)_.解析：作出函数f(x)的图象可以得到x1x2x3x4x59.f(9)|lg 7|lg 7.答案：lg 72若函数f(x)满足：f(x3)f(5x)且方程f(x)0恰有5个不同实根，求这些实根之和为_解析：由题意可得到图象关于x4对称，所以和为20.答案：203已知函数f(x)x3bx2cxd在区间1,2上是减函数，则bc的最大值是_解析：由题意f(x)3x22bxc在区间1,2上满足f(x)0恒成立，则即此问题相当于在约束条件下求目标函数zbc的最大值作出可行域(图略)，由图可知，当直线l：bcz过2bc30与4bc120的交点M时，z最大，zmax6.答案：4某同学在研究函数f(x)(xR)时，分别给出下面几个结论：等式f(x)f(x)0在xR时恒成立；函数f(x)的值域为(1,1)；若x1x2，则一定有f(x1)f(x2)；函数g(x)f(x)x在R上有三个零点其中正确结论的序号有_(请将你认为正确的结论的序号都填上)解析：显然正确；由|f(x)|1知正确；可以证明f(x)在(，)上是增函数，故正确；由f(x)x0得x，此方程只有一根x0，故不正确答案：5若关于x的方程x22|xt|至少有一个负数解，则实数t的取值范围是_解析：方程等价于|xt|2x2，结合y|xt|与y2x2图象，如图，找出两边临界值，可得t2.答案：6已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_解析：f(x)(x2)单调递减且值域为(0,1，f(x)(x1)3(x2)单调递增且值域为(，1)，f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(0,1)答案：(0,1)7对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程为f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_解析：由定义运算“*”可知f(x)画出该函数图象可知满足条件的取值范围是.答案：8定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 012)_.解析：由f(x6)f(x)，可知函数的周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)33513353338.答案：3389(2012南师附中)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当xbc，且f(1)0，是否存在mR，使得f(m)a成立时，f(m3)为正数？若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由；(2)若对x1，x2R，且x1bc，所以a0且c0且c0，0bc，bac，2.假设存在这样的m，由题意，则a(m1)a0，m3231.f(x)在(1，)单调递增，f(m3)f(1)0，即存在这样的m使f(m3)0.(2)令g(x)f(x)f(x1)f(x2)，则g(x)是二次函数g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)20，又f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)0，g(x)0有两个不等实根，且方程g(x)0的根必有一个属于(x1，x2)(3)由f(0)0得c0，f(x)ax2bx.来源:教学资源网由f(x)x，得方程ax2(b1)x0，解得x10，x2，又由ff(x)x得af(x)2bf(x)x.af(x)xx2bf(x)xxx.af(x)x22axf(x)xax2bf(x)xbxx0.f(x)xaf(x)ax2axb10，即f(x)xa2x2a(b1)xb10.f(x)x0或a2x2a(b1)xb10.(*)由题意(*)式的解为0或或无解，当(*)式的解为0时，可解得b1，经检验符合题意；当(*)式的解为时，可解得b3，经检验符合题意；当(*)式无解时，a2(b1)24a2(b1)0，即a2(b1)(b3)0，1b0，故2a1a.xa时，f1(x)ex(2a1)exa1f2(x)，g(x)f2(x)e|xa|1；x2a1时，f1(x)ex(2a1)exa1f2(x)，g(x)f1(x)e|x2a1|；ax2a1时，由f1(x)ex(2a1)exa1f2(x)，得x，其中a2a1，故x2a1时，g(x)f1(x)e|x2a1|，ax时，g(x)f2(x)e|xa|1.因此，2a6时，g(x)令f1(x)e|x2a1|e，得x12a2，x22a，且2a2，如右图()当a62a2，即4a6时，g(x)minf2(a)e；()当2a262a1，即a4时，g(x)minf1(6)e|62a1|e2a7；()当2a16，即2a时，g(x)minf1(2a1)1，g(x)min
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