概率论与数理统计复习总结.doc

概率论与数理统计内容指导一、概率部分1概率论的基本概念及预备知识 随机现象，随机试验E，样本空间，样本点，随机事件A，基本事件 必然事件，不可能事件，随机变量X，随机向量（X,Y ） 排列：从n个元素中任取m个元素的排列数： 组合：从n个元素中任取m个元素的组合数：2事件间的关系与运算规律 相互关系：1 事件B包含A：AB（指事件A发生必导致B发生） A与B相等：AB（指AB且BA） 2 A与B的和事件：AB（指A, B中至少有一个发生） A与B的直和：ABAB（A与B互不相容时） 3 A与B的积事件：AB 或AB（指A与B同时发生）， 4 A与B的差事件：AB（指A发生而B不发生） 5 A与B互不相容或互斥：AB 6 A的对立事件：UA 运算规律：(1) 交换律：ABBA, ABBA (2) 结合律：A(BC)(AB)C ，A(BC)(AB)C (3) 分配律：A(BC)ABAC3频率的定义与性质 事件A发生的频率：（nA为n次试验中A发生的次数） 频率的基本性质：1（非负性） 对于任一随机事件A，有fn(A)0 2（规范性） 对于必然事件，有fn()1 3（有限可加性）若A1, A2, Ak两两互斥，则4概率的定义与性质 概率的公理化定义：称实值函数P(A)为事件A的概率，如果P(A)满足下述公理： 公理1（非负性） 对于任一随机事件A，有P(A)0 公理2（规范性） 对于必然事件，有P()1 公理3（完全可加性） 对两两互不相容的事件A1, A2, ,有 概率的基本性质：1 P()0； 0P(A)1； 2（有限可加性）若A1,A2, Ak两两互斥，则 3 若AB, 则P(BA)P(B)P(A)，P(B)P(A)5概率计算公式 三种典型概率：古典概率计算公式 几何概率计算公式 条件概率计算公式 加法定理：P(AB)P(A)P(B)P(AB) 概率乘法定理：P(AB)P(A)P(B | A) 全概率公式： 贝叶斯公式：6等价定理 等价定理1 对事件A与B，下面四个命题等价 (1) A与B相互独立； (2) A与相互独立； (3) B与相互独立； (4) 与相互独立 等价定理2 在时，下面四个命题等价 (1) A与B相互独立 (2) (3) (4) 7随机变量的概率分布（分布函数、分布律、分布密度） 分布函数： 分布律： 分布密度：（在f(x)的连续点）常用分布： 1）0-1分布（1次试验中A发生的次数为k，） 2）二项分布（n重伯努利试验中A发生的次数为k，） 3）泊松分布（时二项分布的逼近分布，） 4）均匀分布 5）指数分布 6）正态分布（常用分布的分布律、分布密度、数学期望及方差见概率统计附表1）8随机向量的概率分布（分布函数、分布律、分布密度）分布函数：联合分布函数： 边缘分布函数：FX ( x )P X x F ( x, + ) FY ( y )P Y y F ( + , y ) 分布律： 联合分布律：P Xx i ,Yyjp i j, i, j1, 2, 边缘分布律： 条件分布律： 分布密度：联合分布密度：（在f的连续点） 边缘分布密度： 条件分布密度：（在fX (x)大于0的连续点） （在fY ( y )大于0的连续点）9构成分布函数、分布律、分布密度的充要条件 F(x)为分布函数 F(x)单调不减右连续且F(-)0，F(+)1 F(x, y)为分布函数 F(x, y) 关于x和y均单调不减右连续且 F(-, y)F(x,-)F(-,-)0 , F(+,+)1 pk为分布律 p ij为分布律 f (x)为分布密度 f (x, y)为分布密度 10连续型随机变量的性质 1 连续型随机变量的分布函数必连续，但分布函数连续的随机变量未必是连续型的 2 一维（二维）连续型随机变量在任意一点（任意曲线上）取值的概率必为零3 PaXbPaXbPaXbPaXbF(b)F(a) 4 对平面区域G, 有 11随机变量相互独立的等价定理 随机变量相互独立的等价定理 对于随机向量(X , Y ), 下面五个命题等价 (1) X 与 Y 相互独立； (2) 所有可能的条件分布律与相应的边缘分布律一致 或 所有可能的条件分布密度与相应的边缘分布密度几乎处处相等（几乎处处相等）（几乎处处相等） (3) 或 (4) 对于任意二实数集S, T，有PXS,YT = PXS PYT (5) 对于任意二实数x, y, 有F(x, y) = FX(x) FY( y)12随机变量函数的重要结论 1）Yg(X )的分布函数 FY(y)PYyPg(X)y 2）Zg(X,Y)的分布函数 FZ (z)PZzPg(X ,Y)z 3）ZXY 的分布密度 （当X 与Y 相互独立时） 4）当 X1, X2,X n相互独立时，max(X1, X2,Xn) 和min(X1, X2,Xn) 的分布函数 13有关正态分布的重要结论若（正态分布），则 （标准正态分布）N(m,s 2)与N(0,1)的分布密度分别为：，N(m,s 2) 的分布函数与N(0,1)的分布函数满足，F(-x)1F(x) 以m1, m2, s1, s2, r 为参数的二维正态随机变量X ,Y的密度函数为 其中的随机变量X 与Y 相互独立的充要条件是 r0 14随机变量的数字特征 数学期望的性质与计算： 1 2 3 4 若X1, X2,Xn是随机变量，ak是常数，则 5 若X1, X2,Xn是相互独立的随机变量，则 方差的性质与计算：1 DXCov(X ,X)E(XEX )2EX 2(EX)2, D(C)0, D(CX )C2DX 2 D(XY)DXDY2 Cov(X ,Y) DXDY（X, Y 是相互独立） 3 DX0的充要条件是 X以概率1取常数CEX 协方差的性质与计算：1 Cov(X ,Y)Cov(Y, X )E(XEX)(YEY)E(XY)(EX )(EY )2 Cov(a ,X)0，Cov(aX ,bY)abCov(X , Y) 3 Cov(XY, Z )Cov(X ,Z )Cov(Y,Z ) 相关系数与矩： 相关系数（当 rXY0时称X 与Y 不相关）， k阶原点矩：EX k ， kl阶混合原点矩：E(X kY l)， k阶中心矩：E(XEX )k ， kl阶混合中心矩：E(XEX )k(YEY )l 15大数定律与中心极限定理 切比雪夫不等式 设X 具有数学期望EX 与方差DX，则对于任意的正数e , 有P|XEX|e 或 P|XEX|e 1 辛钦大数定律 设X1,X2, 相互独立同分布，则, 有 或 伯努利大数定律 设nA是n重伯努利试验中A发生的次数, p=P(A), 则, 有 或 林德伯格-列维（Linderberg-levi）中心极限定理 设 X1,X2,独立同分布且EXk =m, ，则的极限分布是标准正态分布N(0,1)，即对于任意的x，有 或 即 棣莫佛 -拉普拉斯（De Moivre-Laplace）中心极限定理 设X B(n, p)则对于任意的x，有或即 二、统计部分1数理统计的基本概念总体（母体）：所研究对象（取实数值）的全体个体： 组成总体的元素样本（子样）：（为样本容量）样本均值： 样本方差： 样本k阶原点矩：1,2,样本k阶中心矩：1,2,频率直方图： 2基本分布1）标准正态分布 若, 则,上侧分位数 ：2）分布 设相互独立且,则上侧分位数 ：3）t分布 设与相互独立，且, ，则上侧分位数 ：4）F分布 设与独立，且,则()上侧分位数 ：=3正态总体的抽样分布一个正态总体的抽样分布设总体，为样本容量、样本均值、样本方差，那么（1）且（2）与相互独立，且（3）两个正态总体的抽样分布设, ，且它们相互独立，并设分别为他们的样本容量、样本均值、样本方差，那么（1）（2）当时，其中（3）4参数的点估计抽取子样：（样本值为）1）矩估计法（无需知道总体分布）矩估计方程： 解之得矩估计量：2）最大似然法(1) 对总体(未知)构造似然函数：（离散型总体的分布律）（连续型总体的分布密度）令 （对数似然方程）即可解出（使似然函数取最大值的）最大似然估计值，从而得最大似然估计值量3）估计量的评价标准（1）无偏性 设=()是的估计，若, 则称是的无偏估计 （2）有效性 设估计量与是参数的两个无偏估计量，若，则称较有效（3）一致性 设()为参数的一个估计量，若则称()是的一致估计（相合估计）5参数的区间估计(1) 选择包含待估参数的正态总体抽样(2) 根据正态总体抽样构造大概率事件(3) 根据大概率事件构造估计区间，正态总体均值与方差（或均值差与方差比）的区间估计表见附表76参数的假设检验1）假设检验的一般原理(1) 选择包含检验参数的正态总体抽样(2) 根据正态总体抽样构造小概率事件(3) 根据小概率事件确定拒绝域2）假设检验可能犯的两类错误（1）第一类错误（弃真错误）：原假设正确，但我们却错误地拒绝了它。犯这类错误的概率不超过显著性水平（2）第二类错误（纳伪错误）：原假设不正确，但我们却错误地接受了它，犯这类错误的概率记为