大学高数第一章函数和极限.ppt

医用高等数学 教师 杜晓曦电话 13990856710 1 第1章函数和极限 1 1函数1 1 1函数的概念 2 关于函数定义的几点说明 3 1 函数相同的条件两个函数相同的条件是定义域和对应规则均相同 2 函数定义域的规定函数的定义域必须满足实际意义 在不考虑函数的实际意义时 函数的定义域是使函数表达式有意义的一切实数 3 函数的表示方法函数最常用的表示方法为公式法 图像法 表格法 函数的常用表示方法 例1 1 在出生1 6个月期间内 正常婴儿的体重近似满足以下关系式 例1 2 监护仪记录了某患者一段时间内体温的变化曲线 如图1 1 对于这段时间的任意时刻都能读出患者的体温的值 4 1 公式法 2 图像法 例1 3 表格1 1统计记录了某地区某年1 12月中当地流行性出血热的发病率 5 3 表格法 1 1 2函数的几种特性 6 1 单值性与多值性 对于自变量的每一个取值 函数y有唯一确定的一个值与之对应 这样的函数称为单值函数 否则称为多值函数 单值函数实例 多值函数实例 2 函数的单调性 7 3 函数的奇偶性 8 4 函数的周期性 9 5 函数的有界性 10 1 1 3复合函数 类似地 可以定义多于两重复合关系的复合函数 11 12 邻域的概念 13 1 1 4初等函数 1 基本初等函数 basicelementaryfunction 课后作业 复习基本初等函数的性质 定义域 图像等特征 14 常函数基本性质 15 解析式 定义域 实数集R 幂函数基本性质 16 解析式 定义域 必须视常数的取值而定 若为分数时 通常还要根据其分母的奇偶来决定函数的定义域 图像特征 所有幂函数必经过点 1 1 幂函数图像 17 幂函数图像 18 指数函数基本性质 19 解析式 基本特征 定义域为实数集R 值域为 0 函数图像必经过点 0 1 对数函数基本性质 20 解析式 基本特征 定义域为 0 值域为实数集R 图像必经过点 0 1 正弦 余弦函数基本性质 21 解析式 基本特征 定义域为实数集R 值域为 1 1 最小正周期T为 正切 余切函数基本性质 22 解析式 基本性质 正切函数定义域为 余切函数定义域为 二者周期T均为 值域均为 互为倒数 正切 余切函数基本图像 23 正切函数图像片段 余切函数图像片段 2 初等函数 例如 是初等函数 定义1 3由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数 称为初等函数 24 说明 分段函数是一个函数 而不是两个或几个函数 如以下函数都是分段函数 1 1 5分段函数 定义1 4在自变量的不同变化范围中 对应规律用不同式子来表示的函数 称为分段函数 25 1 2极限 重点 难点 1 2 1极限的概念 26 27 28 实例 29 30 31 也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在 32 33 1 2 2极限的四则运算 34 注意 定理省略了具体的极限过程 包括和且适用于有限个函数的情形 35 例求 解 36 例求 37 38 39 为常数 可作为常用公式直接使用 40 41 为常数 可作为常用公式直接使用 42 1 2 3两个重要极限 43 1 型 2 型 或 两个重要极限应用 44 45 46 47 48 49 1 2 4无穷小量与无穷大量 定义1 7以零为极限的变量称为无穷小量 1 一个变量是不是无穷小量 要看其极限过程 2 无穷小量实质是其绝对值无限小的量 而不是其本身值的无限小 50 51 定义1 8函数在自变量的某个变化过程中 其绝对值无限增大的量称为无穷大 关于无穷小 无穷大的几点说明 52 1 无论是无穷小还是无穷大 都与自变量的变化过程密切相关 同一个函数 自变量的变化过程不同 函数的变化趋势也不一样 如 53 关于无穷小的相关定理 54 55 3 无穷小的比较与阶 56 57 补充 等价无穷小的重要应用 58 59 60 1 3函数的连续性 61 一 函数连续的概念 函数的连续实例 函数的间断实例 函数连续几何特征 函数图像在某点或区间上不间断 二 函数连续性的定义 62 1 函数增量的概念 图1 函数增量表达式 63 2 关于函数连续性的两个定义 64 65 函数在点连续的充要条件是在该点既左连续也右连续 函数连续的等价判定条件 66 67 68 69 函数在区间上的连续 闭区间上连续函数的性质 70 71 72 73 函数的间断点 74 函数间断点的分类 75 76 77