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机械振动与机械波 振动和波动是物质的基本运动形式 是自然界的普遍现象 在力学中有机械振动和机械波 在电磁学中有电磁振荡和电磁波 声是机械波 光是电磁波 近代物理研究表明 一切微观粒子都具有波动性 尽管在物质不同的运动形式中 振动与波动的具体内容不同 本质不同 但在形式上它们具有相似性 都遵循相同的运动规律 都能用相同的数学方法描述 这说明不同的振动与波动之间具有共同的特性 本篇讨论机械振动和机械波的基本规律 它是其它振动与波动的基础 振动和波动 物质的基本运动形式 机械振动和机械波电磁振荡和电磁波声 机械波 光 电磁波 微观粒子的波动性 机械振动 物体在一定的位置附近做来回往复的运动 振动 任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化 波动 振动状态在空间的传播 振动与波 第3章 任一物理量在某一定值附近往复变化 振动 机械振动 物体围绕一固定位置往复运动 例如一切发声体 心脏 海浪起伏 地震以及晶体中原子的振动等 简谐运动 最简单 最基本的振动 本章研究 简谐运动 3 1简谐运动 3 1 1简谐运动 一 何为简谐运动 如果一个物体的运动方程的形式为 二 简谐运动的分析 最典型的简谐运动 弹簧振子的振动 弹簧振子的振动 1 受力特征 线性恢复力 谐振特征力 令 2 动力学方程 3 运动方程 4 速度 5 加速度 6 运动图线 取 一振幅 二周期 频率 周期 3 1 2简谐运动的特征量 弹簧振子周期 周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关 频率 圆频率 固有周期 固有频率 1 存在一一对应的关系 2 相位在内变化 质点无相同的运动状态 三相位 3 初相位描述质点初始时刻的运动状态 相位一定 振动状态唯一确定 四常数和的确定 对给定振动系统 周期由系统本身性质决定 振幅和初相由初始条件决定 取 3 1 3旋转矢量法 例题 例 一弹簧振子作简谐振动 振幅为A 周期为T 其运动方程用余弦函数表示 若t 0时 1 振子在负的最大位移处 则初相为 2 振子在平衡位置向正方向运动 则初相为 振子在位移为A 2处 且向负方向运动 则初相为 振子在位移为 A 2处 且向正方向运动 则初相为 写出以上四种情况的运动方程 6 2 1 时 物体所处的位置和所受的力 2 由起始位置运动到处所需要的最短时间 1 时 物体所处的位置和所受的力 解 1 先求运动方程 设 代入上式得 2 由起始位置运动到处所需要的最短时间 法一设由起始位置运动到处所需要的最短时间为 解法二 由旋转矢量判断 起始时刻 时刻 例1如图 一轻弹簧连着一物体 弹簧的劲度系数 物体的质量 1 把物体从平衡位置拉到处停下再释放 求简谐运动方程 3 如果物体在处时速度不等于零 而是具有向右的初速度 求其运动方程 2 求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度 解 1 由旋转矢量图可知 解 由旋转矢量图可知 负号表示速度沿轴负方向 2 求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度 解 3 如果物体在处时速度不等于零 而是具有向右的初速度 求其运动方程 因为 由旋转矢量图可知 对给定振动系统 周期由系统本身性质决定 振幅和初相由初始条件决定 相位差 两个简谐运动的相位之差 对于两个同频率的简谐运动 相位差表示它们步调上的差异 精析6 8已知两个简谐振动曲线如图所示 x1的相位比x2的相位超前 2 例 两个质点各自作简谐振动 它们的振幅相同 周期相同 第一个质点的振动方程为x1 Acos wt a 当第一个质点从正位移处回到平衡位置时 第二个质点正在最大正位移处 求第二个质点的振动方程 精析6 1 精析6 6一质点沿x轴作简谐振动 振动方程为 SI 从t 0时刻起 到质点位置在x 2cm处 且向x轴正方向运动的最短时间间隔为 例 两个弹簧振子的周期都是0 4s 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动 经过0 5s后 第二个振子才从正方向的端点开始运动 则这两振动的相位差为 线性回复力是保守力 作简谐运动的系统机械能守恒 以弹簧振子为例 振幅的动力学意义 3 1 4简谐运动的能量 简谐运动能量守恒 振幅不变 例质量为的物体 以振幅作简谐运动 其最大加速度为 求 解 1 2 3 由 例1 底面积为S的长方形木块 浮于水面 水下部分高度为a 用手按下b后释放 1 证明若不计阻力 木块的运动为简谐振动2 求振动周期 一个物体的运动形式是由它的受力决定的 关键是看它的受力是否是简谐振动的特征力即线性恢复力 分析 如何判断一个物体是否做简谐振动 对物体进行受力分析 若符合线性恢复力的形式 则物体一定做简谐振动 以物体的平衡位置为坐标原点 沿运动方向建立坐标 列出动力学方程 求出通解x 根据 确定 和T 根据初始条件确定A和 最终确定运动方程 1 证明 平衡时 任意位置x处 合力 以平衡位置为坐标原点建坐标 木块运动为谐振动 2 木块的运动微分方程为 一质点按如下规律沿x轴作简谐振动 SI 求此振动的周期 振幅 初相 速度最大值和加速度最大值 解 周期 振幅A 0 1m 初相 2p 3 vmax wA 0 8pm s 2 5m s amax w2A 6 4p2m s2 63m s2 一质点作简谐振动 周期为T 当它由平衡位置向x轴正方向运动时 从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间是多少 6 19两个同方向简谐振动的振动方程分别为 SI SI 求合振动方程 精析6 19 一质点沿x轴作简谐振动 振动方程为从t 0时刻起 到质点位置在x 2cm处 且向x轴正方向运动的最短时间间隔 6 3一个质点沿X轴做简谐振动 运动学方程为x 0 01cos 8 t 2 3 SI 求此振动的振幅 周期 速度的最大值和加速度的最大值 解