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1 习题二 第二章 一元函数微分学 2 3 设f x 在x x0点处可导 试计算下列极限 3 4 5 讨论下列函数在点是否可导 f x 在x 0处连续 由导数定义有 因此函数f x 在x 0点处可导 5 f x 在x 0处连续 由导数定义有 因此f x 在x 0处不可导 6 6 确定a b的值 使在x 1点处可导 解 f x 在x 1处连续 因此有a b 1x 1处左导数 2x x 1 2右导数 a因此有a 2 b 1 7 7 若函数f x 在x0点可导 且f x0 0 试计算极限 8 8 设曲线y 2x x3 1 求 1 1 点处的切线方程及法线方程 2 x0 y0 点处的切线通过 0 2 点 求 x0 y0 点及该点处的切线方程 法线方程 1 y 2 3x3y x 1 2 3 1切线方程 y 1 x 1 x y 2 0法线方程 y 1 x 1x y 0 9 8 2 解 过 x0 y0 的切线方程 y y0 2 3x02 x x0 因y0 2x0 x03y 2x0 x03 2 3x03 x x0 过 0 2 x 0 y 2代入 2 2x0 x03 2x03 3x03x03 1 x0 1 y0 1切线方程 y 1 x 1即x y 2 0法线方程 y 1 x 1即y x 10 12 5 求导数 11 13 1 y xlnx 5 y x2x 2x xy e2xlnx exln 2x e2xlnx 2xlnx exln 2x xln 2x 2x2x lnx 1 2x x ln 2x 1 y elnxlnx elnxlnx 2lnx 1 x xlnx 2lnx x lny 1 2 lnx lnsinx 1 2ln 1 ex 12 14 求由下列方程确定的隐函数的导数 1 y 1 xeyy ey xeyy 1 xey y ey 2 y tan x y y sec2 x y 1 y 1 sec2 x y y sec2 x y 13 14 3 xy yx两边取对数 ylnx xlny两边求导数 xy ex yy xy ex y 1 y 14 15 试证明曲线上任一点处的切线 截两个坐标的截距之和为a 解 对方程两边求导 切线方程 化为截距式 截距之和为 15 16 求下列函数的二阶导数 3 y xxlny xlnx1 y y lnx 1y xx lnx 1 16 16 4 两边对x求导 17 17 设f x 存在 求下列函数的二阶导数 y f x e x y f x2 2xy 2f x2 f x2 4x2 2 y ln f x 18 19 一质点作直线运动 其运动规律为 其中路程s的单位为米 时间的单位为秒 求质点在第四秒末的速度与加速度 答 4秒末的速度为1 4米 秒 加速度为 1 32米 秒2 19 20 许多肿瘤的生长规律为 其中 v表示t时刻的肿瘤的大小 体积或重量 v0为开始 t 0 观察时肿瘤的大小 a和A为正常数 问肿瘤t时刻的增长速度是多少 20 26 利用L Hospital法则求下列函数极限 1 2 21 26 3 22 26 4 23 26 5 26 6 24 26 7 26 8 25 26 9 设函数f x 存在二阶导数 f 0 0 f 0 1 f 0 2 试求 因函数二阶可导 函数及其导数在x 0处连续 由洛必大法则 26 26 10 设函数有二阶连续导数 且 解 化为指数函数由洛必大法则 由 9 题结果有 因此原式 e2 求 27 27 试确定下列函数的单调区间 3 f x xe x 4 3 f x e x xe x e x 1 x 0驻点 x 1当x0 当x 1时f x 0因此在 1 内单调增加 1 内单调减少 4 驻点 x 1 x0 当x 1时f x 0 0 1 内单调增加 1 内单调减少 28 28 求下列函数的极值 2 0 e 内f x 0 x e为极小值点 极小值f e e 29 28 3 驻点 x 1 x 1 1 内f x 0 1 内f x 0 所以x 1为极小值点 极小值 f 1 3x 1为极大值点 极大值f 1 3 30 28 4 驻点 x 2 x 3处不可导 当x0 x 2时f x 3时f x 0 x 3为极小值点 f极小 3 0 31 29 试问a为何值时 函数f x asinx 1 3 sin3x在x 3处具有极值 它是极大值 还是极小值 并求此极值 解 f x acosx cos3x当x 3时acos 3 cos 0 a 2 1 0 a 2f x 2sinx 3sin3xf 3 2 3 2 0因此x 3处具有极大值 f x 3 2 3 32 31 测量某个量 由于仪器的精度和测量的技术等原因 对量A进行n次测量 其测量的数据分别为x1 x2 xn 取数x为量A的近似值 问x取何值时 才能使其与xi i 1 2 n 之差的平方和最小 解 令 33 32 1 9个月婴儿体重W g 的增长与月龄t的关系有经验公式 lnW ln 341 5 W k t 1 66 问t为何值时 婴儿的体重增长率v最快 两边对t求导 34 代入原式中 35 33 已知口服一定剂量的某种药物后 其血药浓度c与时间t的关系可表示为 问t为何值时 血药浓度最高 并求其最高浓度 36 35 已知半径为R的圆内接矩形 问它的长和宽为多少时矩形的面积最大 解 设矩形的宽和长分别为x y则有 x2 y2 4R2矩形的面积 S x y x R2 x2 37 36 在研究阈值水平时电容放电对神经的刺激关系中 Hoorweg发现引起最小反应 肌肉的收缩 时 电压U与电容器的电容量c有关 其经验公式为 其中R是电阻a b为正常数 若电容的单位为微法 F 电压为伏特 V 由物理学 与负荷相对应的电能为E 5cU2 尔格 erg 从而有 试问 当电容为多少微法时 电能最小 其最小电能为多少 38 37 判别下列曲线的凹凸区间与拐点 y xarctanxy arctanx x 1 x2 y 1 1 x2 1 x2 1 x2 2 2 1 x2 2 0所以曲线在 内是凹的 2 y ln x2 1 曲线在 内是凸的 39 38 求下列曲线的凹凸区间与拐点 1 y 3x4 4x3 1y 12x3 12x2令y 36x2 24x 12x 3x 2 0 x 0 x 2 3 40 38 2 y ln 1 x2 令y 0 x 1 x 1 41 38 3 x 3 x 0 x 3处 42 38 4 y x 5 5 3 2x 1 x 5处函数连续 而二阶导数不存在当x5时 y 0故 5 内函数是凸的 5 内函数是凹的x 5是拐点 43 39 已知曲线y ax3 bx2 cx d在 1 2 点处有水平切线 且原点为该曲线上的拐点 求a b c d之值 并写出此曲线方程 解 y 3ax2 2bx cy 6ax 2b曲线过 1 2 2 a b c d曲线过原点 0 d当x 1时 y 0 3a 2b c 0当x 0时 y 0 2b 0解方程组得 a 1 b 0 c 3 d 0曲线方程 y x3 3x 44 40 1 求下列曲线渐近线 因此曲线有水平渐近线 y 1 因此曲线有垂直渐近线 x 1 45 因此曲线有垂直渐近线 x 0 因此有斜渐近线y x 46 40 3 描绘下列函数的图形 定义域 0 渐近线为x 0 y 0 47 f e 1 e f e3 2 3 2 e 3 2 48 40 4 驻点 x 1 x 3 x 1处不可导 x 1处二阶导数不存在 渐近线 x 1 49 f 1 2f 0 9 4f 3 0 50 练习题 函数在 内可导 则求f 0 2 y sinx2 ln2x 则y 3 y e 2x arctan2 则dy 4 y x3 3在x 1处的切线方程为5 y x exy求y 6 求极限 51 10 投石入水 在水面上产生同心圆形波纹 若最外一圈波纹扩大时 其半径的增加率恒为6米 秒 求第3秒末被扰动水面面积的变化率 11 求曲线在t 0相应的点处的切线方程 7 验证f x arctanx在 0 1 上是否满足拉格朗日中值定理 若满足 8 求函数f x x3 3x2 9x 5在 4 4 的最值9 画函数f x x2 3 x 5 的草图