2019春九年级数学下册第三章圆小结与复习教学课件（新版）北师大版.ppt

小结与复习 第三章圆 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 一 圆的基本概念及性质 1 定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 2 有关概念 1 弦 直径 圆中最长的弦 2 弧 优弧 劣弧 等弧 3 弦心距 要点梳理 3 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 二 点与圆的位置关系 A B C O d r d r d r d r 三 圆的对称性 1 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 圆有无数条对称轴 2 圆是中心对称图形 并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合 即圆具有旋转不变性 3 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 4 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 AM BM 若 CD是直径 CD AB 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 四 垂径定理及推论 垂径定理的逆定理 CD AB 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 M 定义 顶点在圆周上 两边和圆相交的角 叫做圆周角 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半 五 圆周角和圆心角的关系 BAC BOC 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 ADB与 AEB ACB是同弧所对的圆周角 ADB AEB ACB 推论 直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是圆的直径 推论 圆的内接四边形的对角互补 六 直线和圆的位置关系 l d r 0 切线 d r 2 d r d r 1 割线 七 切线的判定与性质 1 切线的判定一般有三种方法 a 定义法 和圆有唯一的一个公共点b 距离法 d rc 判定定理 过半径的外端且垂直于半径 2 切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 切线长 从圆外一点引圆的切线 这个点与切点间的线段的长称为切线长 3 切线长及切线长定理 八 三角形的内切圆及内心 1 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 2 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心 3 三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点 三角形的内心到三角形的三边的距离相等 重要结论 问题1 O C D A B M 半径R 圆心角 弦心距r 弦a 圆心 中心角 A B C D E F O 半径R 边心距r 中心 类比学习 圆内接正多边形 外接圆的圆心 正多边形的中心 外接圆的半径 正多边形的半径 每一条边所对的圆心角 正多边形的中心角 弦心距 正多边形的边心距 M 九 圆内接正多边形 1 正n边形的中心角 3 正n边形的边长a 半径R 边心距r之间的关系 a R r 4 边长a 边心距r的正n边形面积的计算 其中l为正n边形的周长 2 正多边形的内角 1 弧长公式 2 扇形面积公式 十 弧长及扇形的面积 例1如图 在 O中 ABC 50 则 CAO等于 A 30 B 40 C 50 D 60 B 例2在图中 BC是 O的直径 AD BC 若 D 36 则 BAD的度数是 A 72 B 54 C 45 D 36 B 例3 O的半径为R 圆心到点A的距离为d 且R d分别是方程x2 6x 8 0的两根 则点A与 O的位置关系是 A 点A在 O内部B 点A在 O上C 点A在 O外部D 点A不在 O上 解析 此题需先计算出一元二次方程x2 6x 8 0的两个根 然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与 O的关系 D 1 如图所示 在圆O中弦AB CD 若 ABC 50 则 BOD等于 A 50 B 40 C 100 D 80 C 针对训练 135 2 如图a 四边形ABCD为 O的内接正方形 点P为劣弧BC上的任意一点 不与B C重合 则 BPC的度数是 例4工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口 假设钢珠的直径是10mm 测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm 如图所示 则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm 8 C D O 解析设圆心为O 连接AO 作出过点O的弓形高CD 垂足为D 可知AO 5mm OD 3mm 利用勾股定理进行计算 AD 4mm 所以AB 8mm 针对训练 D P 例5如图 在Rt ABC中 ABC 90 以AB为直径的 O交AC于点D 连接BD 解 1 AB是直径 ADB 90 AD 3 BD 4 AB 5 CDB ABC A A ADB ABC 即 BC 1 若AD 3 BD 4 求边BC的长 又 OBD DBC 90 C DBC 90 C OBD BDO CDE AB是直径 ADB 90 BDC 90 即 BDE CDE 90 BDE BDO 90 即 ODE 90 ED与 O相切 2 证明 连接OD 在Rt BDC中 E是BC的中点 CE DE C CDE 又OD OB ODB OBD 2 取BC的中点E 连接ED 试证明ED与 O相切 例6 多解题 如图 直线AB CD相交于点O AOD 30 半径为1cm的 P的圆心在射线OA上 且与点O的距离为6cm 如果 P以1cm s的速度沿由A向B的方向移动 那么秒钟后 P与直线CD相切 4或8 解析 根本题应分为两种情况 1 P在直线CD下面与直线CD相切 2 P在直线CD上面与直线CD相切 A B D C P P2 P1 E o 解析 连接BD 则在Rt BCD中 BE DE 利用角的互余证明 C EDC 例7如图 在Rt ABC中 ABC 90 以AB为直径的 O交AC于点D 过点D的切线交BC于E 1 求证 BC 2DE 解 1 证明 连接BD AB为直径 ABC 90 BE切 O于点B 又 DE切 O于点D DE BE EBD EDB ADB 90 EBD C 90 BDE CDE 90 C CDE DE CE BC BE CE 2DE 2 DE 2 BC 2DE 4 在Rt ABC中 AB BC 在Rt ABC中 又 ABD ACB 即 2 若tanC DE 2 求AD的长 例8如图 已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁 一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60 的方向 向东航行8海里到达C处后 又测得该灯塔在北偏东30 的方向 如果渔轮不改变航向 继续向东航行 有没有触礁的危险 请通过计算说明理由 参考数据 1 732 解析 灯塔A的周围7海里都是暗礁 即表示以A为圆心 7海里为半径的圆中 都是暗礁 渔轮是否会触礁 关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系 D 解 如图 作AD垂直于BC于D 根据题意 得BC 8 设AD为x ABC 30 AB 2x BD x ACD 90 30 60 AD CD tan60 CD BC BD CD 8 解得x 即渔船继续往东行驶 有触礁的危险 5 如图b 线段AB是直径 点D是 O上一点 CDB 20 过点C作 O的切线交AB的延长线于点E 则 E等于 50 针对训练 6 如图 以 ABC的边AB为直径的 O交边AC于点D 且过点D的切线DE平分边BC 问 BC与 O是否相切 解 BC与 O相切 理由 连接OD BD DE切 O于D AB为直径 EDO ADB 90 又DE平分CB DE BC BE EDB EBD 又 ODB OBD ODB EDB 90 OBD DBE 90 即 ABC 90 BC与 O相切 例9如图 四边形OABC为菱形 点B C在以点O为圆心的圆上 OA 1 AOC 120 1 2 求扇形OEF的面积 解 四边形OABC为菱形 OC OA 1 AOC 120 1 2 FOE 120 又 点C在以点O为圆心的圆上 8 一条弧所对的圆心角为135 弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍 则这条弧的半径为 40cm 针对训练 9 如图 在正方形ABCD内有一条折线段 其中AE EF EF FC 已知AE 6 EF 8 FC 10 求图中阴影部分的面积 解 将线段FC平移到直线AE上 此时点F与点E重合 点C到达点C 的位置 连接AC 如图所示 根据平移的方法可知 四边形EFCC 是矩形 AC AE EC AE FC 16 CC EF 8 在Rt AC C中 得 正方形ABCD外接圆的半径为 正方形ABCD的边长为 例10若一个正六边形的周长为24 则该正六边形的面积为 10 如图 正六边形ABCDEF内接于半径为5的 O 四边形EFGH是正方形 求正方形EFGH的面积 解 正六边形的边长与其半径相等 EF OF 5 四边形EFGH是正方形 FG EF 5 正方形EFGH的面积是25 针对训练 正六边形的边长与其半径相等 OFE 600 正方形的内角是900 OFG OFE EFG 600 900 1500 由 得OF FG OGF 1800 OFG 1800 1500 150 连接OF OG 求 OGF的度数 例11如图 在平面直角坐标系中 P经过x轴上一点C 与y轴分别交于A B两点 连接AP并延长分别交 P x轴于点D E 连接DC并延长交y轴于点F 若点F的坐标为 0 1 点D的坐标为 6 1 1 求证 CD CF 2 判断 P与x轴的位置关系 并说明理由 3 求直线AD的函数表达式 解 1 证明 过点D作DH x轴于H 则 CHD COF 90 如图所示 点F 0 1 点D 6 1 DH OF 1 FCO DCH FOC DHC CD CF 2 P与x轴相切 理由如下 连接CP 如图所示 AP PD CD CF CP AF PCE AOC 90 P与x轴相切 3 由 2 可知CP是 ADF的中位线 AF 2CP AD 2CP AD AF 连接BD 如图所示 AD为 P的直径 ABD 90 BD OH 6 OB DH OF 1 设AD x 则AB AF BF AD BF AD OB OF x 2 在Rt ABD中 由勾股定理 得AD2 AB2 BD2 即x2 x 2 2 62 解得x 10 OA AB OB 8 1 9 点A 0 9 设直线AD的函数表达式为y kx b 把点A 0 9 D 6 1 代入 得解得 直线AD的函数表达式为 圆 圆的有关性质 与圆有关的位置关系 与圆有关的计算 垂径定理 添加辅助线 连半径 作弦心距 构造直角三角形 圆周角定理 添加辅助线 作弦 构造直径所对的圆周角 点与圆的位置关系 点在圆环内 r d R 直线与圆的位置的关系 添加辅助线证切线 有公共点 连半径 证垂直 无公共点 作垂直 证半径 见切点 连半径 得垂直 正多边形和圆 转化 直角三角形 弧长和扇形 灵活使用公式 课堂小结