高中数学异面直线距离(教师用).doc

求异面直线之间距离的常用方法求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。方法一、定义法也叫直接法， 根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。这是求异面直线距离的关键。 该种方法需要考虑两种情况：一是如两条一面直线垂直，一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。若两个直线不垂直，则需要找第三条直线，若第3条直线与两个异面直线都垂直，则平移第3条直线使得与两个异面直线都相交。例1 已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。思路分析：由四边形ABCD和CDEF是正方形，得 A B H D C E F CDAD，CDDE，即CD平面ADE，过D作DHAE于H，可得DHAE，DHCD，所以DH是异面直线AE、CD的公垂线。在ADE中，ADE=1200，AD=DE=a，DH=。即异面直线CD与AE间的距离为。例2 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.例2题图(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；(2)求AB和CD间的距离；(3)求EF和AC所成角的大小. (1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.又因为AE=BE，所以FEAB交AB于E.同理EFDC交DC于点F.所以EF是AB和CD的公垂线. (2)在RtBEF中，BF=,BE=,所以EF2=BF2-BE2=2，即EF=.由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为.(3)过E点作EGAC交BC于G，因为E为AB的中点，所以G为BC的中点.所以FEG即为异面直线EF和AC所成的角.在FEG中，EF=,EG=,FG=,cosFEG=.所以 FEG=45所以异面直线EF与AC所成的角为45例3 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，求异面直线AC与BC1的距离。 取BC的中点P，连结PD，PB1分别交AC，BC1于M，N点， 易证：DB1/MN，DB1AC， DB1BC1， MN为异面直线AC与BC1的公垂线段，易证：MN=B1D=a。 例4、正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(ba)求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离解：作SO面ABCD于O，则点O是正方形ABCD的中心SOAC，BOAC，AC面SOB在SOB中，作OHSB于H，根据、可知OH是AC与SB的距离OHSBSOOB，方法二、转化为线面距离若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线C，记C与b确定的平面。从而，异面直线a、b间的距离等于线面a、间的距离。例1 为直角梯形ABCD所在平面外一点，SA平面AC，SA=AB=BC=，AD=2，求异面直线SC与AB间的距离 解：如图，设是AD的中点,连结SF、CF, 则ABCF.故AB平面CFS故直线AB到平面CFS的距离就是异面直线SC与AB间的距离，在平面SAF内作AESF，垂足为E，易知AB平面SAF，ABCEF图故CF平面SAF.CFAE. 从而AE平面CFS, 故AE为直线AB到平面CFS 的距离,即SC与AB间距离.在中,易得AE=思考，与方法一的思路是否统一？例2 如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成、角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、AE间的距离。 F C P A G B Q E H D 思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，EAB=，FAB=，AB=d，在平面Q内，过B作BHAE，将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离，即为A到平面BCD间的距离，又因二面角P-AB-Q是直二面角，过A作ACAB交BF于C，即AC平面ABD，过A作ADBD交于D，连结CD。设A到平面BCD的距离为h。由体积法VA-BCD=VC-ABD， 得 h=方法三、体积法：体积法实质也为线面法本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高，然后体积公式求之。例1：正方体，求AC与BC1的距离当求AC与BC1的距离转化为求AC与平面A1C1B的距离后，设C点到平面A1C1B的距离为h，则 h(a)2=aa2, h=a，即AC与BC1的距离为a。 例2 设长方体的三边长为AB5, BC4, 3,求AB和之间的距离.C1ABDA1B1D1图解:如图4,由AB,知AB平面.C故要求AB和之间的距离,只要求出AB到平面的距离即可.连结,则三棱锥的高也就是AB到平面的距离.而,即, 可求得.故AB和之间的距离为.评注：等体积法是解决距离问题的常用方法，运用它可避免作一些复杂的辅助线，关键是找到容易计算面积的底面。方法四、转化为面面距离若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面、，且a、b。求a、b两条异面直线的距离转化为平行平面、间的距离。例1棱长为的正方体中，求两对角线与间的距离A1B1C1D1ABC图DE解：连结，平面D平面连结，则，由三垂线定理，知同理，平面同理平面D平面平面D设与平面D、平面的交点分别为、，则MN的长即为平面与平面D的距离，也就是异面直线与间的距离设与的交点为, 连结,在平面中, ,则，同理故与间的距离为评注：把求异面直线间的距离转化为求直线与平面或平面与平面间的距离，是求异面直线间距离时最常用的两种转化手段例2 已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AD与BC的距离。思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体， 设长方形的长、宽、高分别为x、y、z， 则 解得x=3，y=2，z=1。由于平面SA平面BC，平面SA、平面BC间的距离是2，所以异面直线AD与BC的距离是2。例3 正方体，求AC与BC1的距离解法3：（转化法） 平面ACD1/平面A1C1B， AC与BC1的距离等于平面ACD1与平面A1C1B的距离，（如图3所示）， DB1平面ACD1，且被平面ACD1和平面A1C1B三等分； 所求距离为B1D=a。小结：这种解法是将线线距离转化为面面距离。 方法五：构造函数法求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求A1B与D1B1的距离。思路分析：在A1B上任取一点M，作MPA1B1，PNB1D1，则MNB1D1，只要求出MN的最小值即可。设A1M=x，则MP=x，A1P=x。所以PB1=ax，PN=（ax）sin450=（ax），MN=。当x=时，MNmin=。例2 正方体，求AC与BC1的距离。任取点QBC1，作QRBC于R点，作RKAC于K点，如图4所示， 设RC=x，则OK2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2a2, 故QK的最小值，即AC与BC1的距离等于a。 小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离。例3已知正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直，并相交于直线AD这两个正方形的边长均为，求异面直线AE和BD的距离解：是AE上任意一点,过P作PQ垂直AD，垂足为Q，平面ADEF平面ABCD， 且平面ADEF平面ABCDAD，PQ平面ABCD过作QRBD,垂足为,连结PR,则QR是PR在平面ABCD上的射影,由QRBD,知PRBD.PR的长度是AE上任意一点P到BD的距离.设AQ=,则QD=.在中, AQ=,则PQ=.在中,则QR=().PQ平面ABCD,QR平面ABCD, PQQR.ABDEFPQ图C在中,.当=时, PR取最小值,即异面直线AE和BD的距离为评注：因异面直线的距离是异面直线上两点间距离最短的，从而可将异面直线的距离转化为二次函数的最值求解在求异面直线SA与BC间的距离时，可先在SA任取一点D，作DE直径AC于E，则DE底面圆再作EFBC于F，则有DFBC，于是DF的最小值就是SA与BC间的距离方法六：公式法如图，已知异面直线a、b所成的角为q，公垂线段AA=d，AE=m,AF=n, 应用此公式时，要注意正、负号的选择 当DAF=q时，取负号；当点F（或点E）在点A（或A）的另一侧时取正号 例5 已知圆柱的底面半径为3，高为4，A、B两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB与轴OO/之间的距离。思路分析：在圆柱底面上AOOO/，BO/OO/，又OO/是圆柱的高，AB=5，所以d=。即异面直线AB与轴OO/之间的距离为。方法七 射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。例6 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，M、N分别是棱AB、CC1的中点，E是BD的中点。求异面直线D1M、EN间的距离。思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面距离时，可采用射影到同一平面内，把异面直线D1M、EN射影到同一平面BC1内，转化为BC1、QN的距离，显然，易知BC1、QN的距离为。所以异面直线D1M、EN间的距离为。8、用向量求两条异面直线间的距离下面介绍一种利用向量进行计算的简易方法我们先来看看空间向量在轴上的射影设向量AB，那么它在u轴上的投影为从图可以看出，为了作出AB在u轴上的射影，可以过点A、B分别作与u轴垂直的两个平面a、b，那么点A、B在u轴上的射影分别为A、B，且点A、B必定在平面a、b上显然， 就是 在u轴上的射影从另一方面看，线段就是异面直线AA和BB(如果它们不平行的话)的公垂线段，也就是两异面直线间的距离所以，异面直线上任意两点所连接的向量在公垂线方向上射影的模亦即投影的绝对值就是两异面直线间的距离因为所以= 表示两异面直线间的距离由于a| b，它们之间的距离处处相等，所以u轴的选取不一定要是公垂线，而只要同时与两异面直线垂直，也就是说只要与公垂线方向向量共线即可下面看个例子例5正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求异面直线AC与BC1的距离解：如图，以直线DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，D为原点，建立空间直角坐标系则有D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、C1(0,a,a)，且(-a,a,0)，(-a,0,a)，(0,a,0)设(x，y，z)，由 =0 =0，得 -ax+ay+0z=0解得x=y=z(k,k,k)(k0) -ax+0y+az=0d= = = = 答：异面直线AC与BC1的距离是综合题：例如图，已知正方体的棱长为，求两异面直线、的距离解法一（面面平行法）如附图，两异面直线、间的距离两平行平面、面间的距离d,且由三垂线定理知与这两个平行平面垂直。由平面几何知识易证被这两平行平面三等分， 解法二（公垂线段法）由上可知，两异面直线、的公垂线段平行且等于，由这一特殊的比例关系联想到三角形的重心，启发我们去构造重心!故找寻交线的中点，设，易证、分别为和的重心，由=得平行且等于，则即为两异面直线、的公垂线段!思维发散：空间四边形的四个内角中，最多有多少个直角呢? 如附图，在空间四边形中，但对于是否为直角呢？不妨假设，则异面直线、将有两条公垂线段、，这与公垂线段的唯一性矛盾！ 直角最多只能有3个。解法三（最小值法）：在上任取点，在面内作，再在底面内作，连，设 ，则在直角三角形中，有：， 当，即点为的一个三等分点时， 解法四（线面平行、等积法）： / 面,则两异面直线、间的距离直线到面的距离点到面的距离故可由等积法得：即解法五（垂面法即射影法）：面面面，由/得 面, 设， 在面上的射影为,过在面内作,由于/ 面, 则：两异面直线与间的距离直线到面的距离 两异面直线、间的距离 即为所求！在中， 解法六（法向量法）：分别以、为、轴建立空间直角坐标系，则：、，设两异面直线、的法向量为， 取，则，再在、上各取一点、得，解法七（分解定理法）：设 是、的公垂线段上的向量（在空间向量基本定理中不妨取） = = 则-+ d=解法八（向量法）： 、设则 所以