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初中数学竞赛专题选讲三角形的边角性质一、内容提要三角形边角性质主要的有：1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：a,b,c是ABC的边长推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。推广到任意多边形：四边形内角和=2180， 五边形内角和=3180六边形内角和=4180 n边形内角和=(n2) 1803. 边与角的关系 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。 在直角三角形中，ABC中C=Rt(勾股定理及逆定理)ABC中a：b：c=1：2ABC中 a：b：c=1：1：二、例题例1.要使三条线段3a1,4a+1,12a能组成一个三角形求a的取值范围。 (1988年泉州市初二数学双基赛题)解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 解得 1.5a5答当1.5a5时，三条线段3a1,4a+1,12a能组成一个三角形例2.如图 A B C DAB=x，AC=y, AD=z 若以AB和CD分别绕着点B和点C旋转，使点A和D重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？ x,yx+,y解由已知AB=x, BC=yx, CD=zx要使AB，BC，CD组成三角形，必须满足下列不等式组： 即答yx+和y必须满足。例3.已知ABC的三边都是正整数，a=5,bac,符合条件的三角形共有几个？试写出它们的边长。解：由已知a=5，1b5，ca+b, 5c 9符合条件的三角形共有15个，(按b,a,c排列)它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458；555，556，557，558，559。例4. 如图求角A，B，C，D，E，F的度数和 解：四边形EFMN 的内角和=360度 1=A+B，2=C+D 12EF 360度 A+B+C+D+E+F=360度 例5.ABC中，ABC，2C=5A，求B的取值范围 (1989年泉州市初二数学双基赛题)解：根据题意，得得C=(180B)，A(180B)(180B)B(180B)40B75例6.在凸四边形ABCD中，ABBCCD，A：B：C1：1：2求各内角的度数解：作BCD的平分线交AD于E，BCEDCE（SAS）DCBEBCEBAE（SSS）CBEABED设DX度，则2X2X4XX360X40（度）答DABABC80，BD160，D40三、练习1. ABC中，a=5,b=7,则第三边c和第三边上的高hc的取值范围是2. a,b,c是ABC的三边长，化简得3. 已知ABC的两边长a和b（abc,那么C的度数是范围（1987年泉州市初二数学双基赛题）10.ABC中，C、B的平分线相交于O，BOC120，则A11.ABC中，ABAC，A40，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，CEBD，BFDC，则EDF（1986年泉州市初二数学双基赛题）12.如图ABCDEF度（1986年泉州市初二数学双基赛题）13.如图ABCDEFH度14.如图ADE中，ADE140且ABBCCDDE，则A 15.如图ABCAED度（1988年泉州市初二数学双基赛题）（这里AED是指射线EA绕端点E按逆时针方向旋转到ED所成的角）16.ABC的ABACCD，ADBD，则BAC度（1988年泉州市初二数学双基赛题）17.ABC中，ARt，B60B的平分线交AC于D，点D到边BC的距离为2cm,则边AC的长是cm(1988年泉州市初二数学双基赛题)CBAEBCDDA18.ABC中，ABAC，M是AC的中点，则的值是（）（A） 大于（B）大于（C）大于（D）大于19不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，则这样的三角形共有个，它们的边长是：。（1989年泉州市初二数学双基赛题）20.菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AEF为等边三角形，求C的度数。练习题参考答案1.2c12, hc5 2.2c 3. 2bL2a+2b 4. 31个5. 3个15个 6.x 7. 1AD138. 2个9.0C6010.6011.7012.36013.54014.1015.54016.10817. 618.（B）19.3个20.100文章来源：教师之家 http:/www.teacher910.com/ 转载请保留出处相关优质课视频请访问：教学视频网 http:/www.sp910.com/
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