向量组的线性组合.ppt

1 定义 若干个同维数的列向量 行向量 所组成的集合称为向量组 结论 含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 有限向量组 第三节向量组的线性组合 一 向量组的线性组合 1 向量组 当R A n时 齐次线性方程组Ax 0的全体解组成的向量组含有无穷多个向量 一 向量组的线性组合 1 向量组 2 向量组的线性组合与线性表示 定义1对于向量组a1 a2 am 如果有一组数k1 k2 km 使b k1a1 k2a2 kmam 则称向量b是向量组a1 a2 am的一个线性组合 或称b可由向量组a1 a2 am线性表示 定义 若干个同维数的列向量 行向量 所组成的集合称为向量组 例1 设a1 1 0 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 则 b 2 1 1 是向量组a1 a2 a3的一个线性组合 也就是b可由a1 a2 a3线性表示 b 2a1 a2 a3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 定义1对于向量组a1 a2 am 如果有一组数k1 k2 km 使b k1a1 k2a2 kmam 则称向量b是向量组a1 a2 am的一个线性组合 或称b可由向量组a1 a2 am线性表示 下页 注意 1 向量组a1 a2 a3的线性组合有无穷多个 2 一个向量b有可能可由向量组a1 a2 a3的线性表示 也有可能不能由向量组a1 a2 a3的线性表示 例2 任何一个n维向量a a1 a2 an T都是n维向量组e1 1 0 0 T e2 0 1 0 T en 0 0 1 T的线性组合 这是因为a a1e1 a2e2 anen 向量组e1 e2 en称为n维单位向量组或n维基本向量组 下页 定义1对于向量组a1 a2 am 如果有一组数k1 k2 km 使b k1a1 k2a2 kmam 则称向量b是向量组a1 a2 am的一个线性组合 或称b可由向量组a1 a2 am线性表示 结论 任何一个n维向量a a1 a2 an 都可由n维单位向量组或n维基本向量组线性表示 5 例 设 那么 线性组合的系数 e1 e2 e3的线性组合 一般地 对于任意的n维向量b 必有 6 n阶单位矩阵En的列向量叫做n维单位坐标向量 例3 零向量是任何一组向量的线性组合 下页 定义1对于向量组a1 a2 am 如果有一组数k1 k2 km 使b k1a1 k2a2 kmam 则称向量b是向量组a1 a2 am的一个线性组合 或称b可由向量组a1 a2 am线性表示 例4 向量组a1 a2 am中的任一向量i 1 i m 都是此向量组的线性组合 注意 对k1 k2 km未加任何限制 特别是未限制k1 k2 km不全为零 这是因为o 0 a1 0 a2 0 am 这是因为ai 0 a1 1 ai 0 am 定理n维列向量b可由n维列向量组a1 a2 am线性表示的充分必要条件是 以x1 x2 xm为未知量的线性方程组x1a1 x2a2 xmam b有解 讨论 上述线性方程组在什么情况下有解 提示 线性方程组x1a1 x2a2 xmam b有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩 即矩阵 a1a2 am 与矩阵 a1a2 amb 的秩相等 下页 3 b可由a1 a2 am线性表示的判定方法 x1a1 x2a2 xmam b 定理n维列向量b可由n维列向量组a1 a2 am线性表示的充分必要条件是 以x1 x2 xm为未知量的线性方程组x1a1 x2a2 xmam b有解 推论 下页 3 b可由a1 a2 am线性表示的判定方法 1 n维列向量b可由n维列向量组a1 a2 am线性表示 秩 a1a2 am 秩 a1a2 amb 定理 n维行向量b可由n维行向量组a1 a2 am线性表示的充分必要条件是 以x1 x2 xm为未知量的线性方程组x1a1T x2a2T xmamT bT有解 2 n维行向量b可由n维行向量组a1 a2 am线性表示 秩 a1Ta2T amT 秩 a1Ta2T amTbT 例5 设 判断向量b是否为向量组a1 a2 a 的线性组合 若是 写出表示式 解 设x1a1 x2a2 x a b 由此可得线性方程组 解此线性方程组 增广矩阵 a1a2a b 因为线性方程组有解 所以b可由a1 a2 a 线性表示 又因解为x1 x2 x 所以 b a1 a2 a 例6 判断向量b1 4 3 1 11 T与b2 4 3 0 11 T是否各为向量组a1 1 2 1 5 T a2 2 1 1 1 T的线性组合 若是 写出表示式 解 1 考虑线性方程组x1a1 x2a2 b1 因为 a1a2b1 秩 a1a2b1 秩 a1a2 所以b1可由a1 a2线性表示 因为线性方程组的解为x1 2 x2 1 所以使2a1 a2 b 下页 例6 判断向量b1 4 3 1 11 T与b2 4 3 0 11 T是否各为向量组a1 1 2 1 5 T a2 2 1 1 1 T的线性组合 若是 写出表示式 解 2 考虑线性方程组x1a1 x2a2 b2 因为 a1a2b2 秩 a1a2b2 秩 a1a2 所以b2不能由a1 a2线性表示 下页 例7 设向量a1 1 2 3 a2 0 1 4 a3 2 3 6 b 1 1 5 证明b由向量组a1 a2 a3线性表示并写出具体的表示式 解 考虑线性方程组x1a1T x2a2T x3a3T bT 因为 a1Ta2Ta3TbT 秩 a1Ta2Ta3TbT 秩 a1Ta2Ta3T 所以b可由a1 a2 a3线性表示 因为线性方程组的解为x1 1 x2 2 x3 1 所以b a1 2a2 a3 15 例 设证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求出表示式 解 向量b能由a1 a2 a3线性表示当且仅当R A R A b 因为R A R A b 2 所以向量b能由a1 a2 a3线性表示 16 行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以b 3c 2 a1 2c 1 a2 ca3 17 结论 含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 向量b能由向量组A线性表示 线性方程组Ax b有解 P 83定理1的结论 18 定义 设有向量组A a1 a2 am及B b1 b2 bl 若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组A与向量组B能互相线性表示 则称这两个向量组等价 4 向量组的等价 例1 向量组a1 1 2 T a2 1 1 T a3 2 3 T可以由基本向量组e1 1 0 T e2 0 1 T线性表示 同时因为向量组e1 1 0 T a1T 2a2T e2 0 1 T a1T a2T 即向量组e1 e2可由向量组a1 a2 线性表示 所以向量组a1 a2与向量组e1 e2等价 20 设有向量组A a1 a2 am及B b1 b2 bl 若向量组B能由向量组A线性表示 即 线性表示的系数矩阵 21 设有向量组A a1 a2 am及B b1 b2 bl 若向量组B能由向量组A线性表示 即对于b1 存在一组实数k11 k21 km1 使得b1 k11a1 k21a2 km1am 对于b2 存在一组实数k12 k22 km2 使得b2 k12a1 k22a2 km2am 对于bl 存在一组实数k1l k2l kml 使得bl k1la1 k2la2 kmlam 22 若Cm n Am lBl n 即 则 结论 矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 B为这一线性表示的系数矩阵 23 若Cm n Am lBl n 即 则 结论 矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示 A为这一线性表示的系数矩阵 24 口诀 左行右列 定理 设A是一个m n矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵 结论 若C AB 那么矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示 A为这一线性表示的系数矩阵 A在左边 矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 B为这一线性表示的系数矩阵 B在右边 25 A经过有限次初等列变换变成B存在有限个初等矩阵P1 P2 Pl 使AP1P2 Pl B存在m阶可逆矩阵P 使得AP B矩阵B的列向量组与矩阵A的列向量组等价 矩阵B的行向量组与矩阵A的行向量组等价 同理可得 口诀 左行右列 把P看成是线性表示的系数矩阵 26 向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示存在矩阵K 使得AK B矩阵方程AX B有解R A R A B P 84定理2 R B R A P 85定理3 推论 向量组A a1 a2 am及B b1 b2 bl等价的充分必要条件是R A R B R A B 证明 向量组A和B等价向量组B能由向量组A线性表示向量组A能由向量组B线性表示从而有R A R B R A B 因为R B R A B R A R A B R B R A B 27 n阶单位矩阵的列向量叫做n维单位坐标向量 设有n m矩阵A a1 a2 am 试证 n维单位坐标向量组能由矩阵A的列向量组线性表示的充分必要条件是R A n 分析 n维单位坐标向量组能由矩阵A的列向量组线性表示R A R A E R A n 注意到 R A E n一定成立 28 小结 向量b能由向量组A线性表示 线性方程组Ax b有解 向量组B能由向量组A线性表示 矩阵方程组AX B有解 向量组A与向量组B等价 29 知识结构图 n维向量 向量组 向量组与矩阵的对应 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价 判定定理及必要条件 判定定理