2019年春七年级数学下册 第三章 变量之间的关系 3 用图像表示的变量间关系同步课件（新版）北师大版.ppt

知识点一用图象表示两个变量之间的关系1 用图象来表示两个变量之间关系的方法叫做图象法 图象法是我们表示变量之间关系的又一种方法 它的特点是非常直观 2 在利用图象表示两个变量之间的关系时 通常用水平方向的数轴 称为横轴 上的点表示自变量 用竖直方向的数轴 称为纵轴 上的点表示因变量 3 借助图象 过某点分别向横轴 纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时 因变量取什么值 4 观察图象的关键是要抓住图象的最高点与最低点以及这些点所对应的自变量与因变量的值 利用图象可判断因变量的变化趋势 图象呈 斜向上 的形状 表示因变量随自变量的增大而增大 图象呈 斜向下 的形状 表示因变量随自变量的增大而减小 5 表示两个变量之间关系的方法 1 何时血液中的含药量最高 是多少微克 2 A点表示什么意义 3 每毫升血液中含药量为2微克以上时治疗疾病有效 那么这个有效时间多长 解析 1 2时时血液中的含药量最高 为4微克 2 A点表示体内的含药量衰减到0微克 3 服药后达到2微克的时间是1时 衰减到2微克的时间是6时 因此有效时间是5时 知识点二行程问题 路程与时间 图象和 速度与时间 图象 1 在路程与时间关系的图象中 通常用横轴表示时间 用纵轴表示路程 水平线 表示停止 2 在速度与时间关系的图象中 通常用横轴表示时间 用纵轴表示速度 水平线 表示匀速运动 3 在行程问题中 速度与时间 图象和 路程与时间 图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系 它们既有区别又有联系 现将 速度与时间 图象和 路程与时间 图象各部分所表示的意义作如下对比 要注意区别 防止混淆出错 例2小明 爸爸和爷爷同时从家里出发到达同一目的地后立即返回 小明去时骑自行车 返回时步行 爷爷去时是步行 返回时骑自行车 爸爸往返都是步行 三人的步行速度不等 小明和爷爷骑自行车的速度相等 每个人的行走路程与时间的关系用如图3 3 2所示的三个图象表示 根据图象回答下列问题 图3 3 2 1 三个图象中哪个对应小明 哪个对应爸爸 哪个对应爷爷 2 小明家距离目的地多远 3 小明与爷爷骑自行车的速度是多少 爸爸步行的速度是多少 分析 1 由题图可以看出 A中图象表示去时用时长 返回时用时短 对应爷爷 B中图象表示去时和返回时用时一样长 对应爸爸 C中图象表示去时用时短 返回时用时长 对应小明 2 由题图可以看出 小明家与目的地的距离为1200m 3 分别从A B C的图象中求出小明 爸爸和爷爷的速度 速度 路程 时间 解析 1 由题图可以看出 A对应爷爷 去时耗时长 B对应爸爸 去时和返回时耗时一样 C对应小明 去时用时短 返回时用时长 2 从题图可以看出 小明家距离目的地1200m 3 小明与爷爷骑自行车的速度都是1200 6 200 m min 爸爸步行的速度是1200 12 100 m min 题型根据变量之间的关系选择图象例陈灿从家中出发 到离家1 5千米的早餐店吃早餐 用了一刻钟吃完早餐后 按原路返回到离家1千米的学校上课 在下列图象中 能反映这一过程的大致图象是 解析陈灿从家中出发 到离家1 5千米的早餐店吃早餐 距离逐渐增大 当吃早餐时 距离不变 当返回学校时 距离逐渐变小 到达学校后距离不再变化 故选B 答案B 点拨解答本题的关键是理解 按原路返回到离家1千米的学校上课 这句话的意思 也就是说学校在家和早餐店之间 易错点对图象的理解有误而致错例图3 3 3是陈老师早晨出门散步时 离家的距离 y 与时间 x 之间的函数图象 若用黑点表示陈老师家的位置 则陈老师散步行走的路线可能是 图3 3 3 解析由于一段时间离家的距离保持不变 家是一个点 所以在那段时间内行走的路线就可能是在以家为圆心的一段圆弧上 答案D 易错警示由于不理解函数的意义 特别是不理解函数图象中平行于x轴的线段表示 一段时间内离家的距离保持不变 只能根据图象的形状来选择行走的路线 从图象中获取信息的直观想象素养解读直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化 利用空间形式特别是图形 理解和解决数学问题的素养 主要包括 借助空间认识事物的位置关系 形态变化与运动规律 利用图形描述 分析数学问题 建立形与数的联系 构建数学问题的直观模型 探索解决问题的思路 直观想象是发现和提出问题 分析和解决问题的重要手段 是探索和形成论证思路 进行数学推理 构建抽象结构的思维基础 在直观想象核心素养的形成过程中 学生能提升数形综合的能力 发展几何直观和空间想象能力 增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识 形成数学直观 在具体的情境中感悟事物的本质 典例剖析 例某城市为了节约用水 采用分段收费标准 居民每月应交水费y 元 与用水量x 吨 之间的关系图象如图3 3 4所示 根据图象回答 1 每月用水不足5吨时 每吨收费多少元 超过5吨时 超过的部分每吨收费多少元 2 若某户居民某月用水3 5吨 则应交水费多少元 若该户某月交水费17元 则该户居民用水多少吨 图3 3 4 解析 1 每月用水不足5吨时 每吨收费 2 元 超过5吨时 超过的部分每吨收费 3 5 元 2 若某月用水3 5吨 则应交水费3 5 2 7 元 若交17元水费 则该户居民用水5 7 吨 素养呈现直观想象体现在借助于图形理解建立数与形的联系 进行数学思考 本题要认真识图 明确图象表示的是哪两个变量之间的关系及图象上的点表示的意义是解题的关键 观察图象可以发现 当用水5吨时 刚好交水费10元 所以用水不足5吨时 每吨交费 2 元 当用水量为8吨时 交水费20 5元 所以超过5吨的部分交水费20 5 10 10 5 元 故超过5吨的部分每吨交水费 3 5 元 所以居民用水3 5吨时 应交3 5 2 7 元 若交17元水费 则用水5 7 吨 知识点一用图象表示两个变量之间的关系1 2017重庆八中期中 渝万铁路连接重庆都市区和渝东北中心城市万州 是成渝地区铁路网主骨架线路之一 小明要在重庆北站坐高铁去万州 他从家出发 步行至小区门口 等待了一会儿坐上出租车 出租车匀速行驶到达重庆北站 小明下车步行至取票口 在这一过程中 x表示小明从家出发后所用时间 y表示小明离家的距离 下面能反映y与x的关系的大致图象是 答案A 小明步行至小区门口 随着时间的增加他离家的距离越来越远 等待了一会儿 他离家的距离不变 出租车匀速行驶到达重庆北站 速度变快且离家越来越远 步行至取票口 速度变慢且离家越来越远 故选A CD 答案A根据题意 从20分钟到40分钟哥哥在书店里看书 离家距离没有变化 是一条平行于x轴的线段 故选A 3 2017浙江义乌中考 均匀地向一个容器注水 最后把容器注满 在注水过程中 水面高度h随时间t的变化规律如图3 3 1所示 图中OABC为折线 这个容器的形状可以是 图3 3 1AB CD 答案D由均匀地向容器注水可知 单位时间内注水量相同 对于长方体容器 底面积越大 水面高度上升的速度越小 根据图象可得 最上面的容器底面积最小 中间的容器底面积最大 所以容器的形状可以是D 4 某农场租用播种机播种小麦 在甲播种机播种2天后 又调来乙播种机参与播种 直至完成800亩的播种任务 播种亩数与天数之间的关系如图3 3 2所示 那么乙播种机参与播种的天数是天 图3 3 2 答案4 解析根据题意及图象可知 甲 乙合作的播种速度是 350 200 3 2 150 亩 天 600 150 4 天 所以乙播种机参与播种的天数是4天 知识点二行程问题5 2017湖北鄂州中考 小东家与学校之间是一条笔直的公路 早饭后 小东步行前往学校 途中发现忘带画板 停下给妈妈打电话 妈妈接到电话后 带上画板马上赶往学校 同时小东沿原路返回 两人相遇后 小东立即赶往学校 妈妈沿原路返回16min到家 再过5min小东到达学校 小东始终以100m min的速度步行 小东和妈妈的距离y 单位 m 与小东打完电话后的步行时间t 单位 min 之间的关系如图3 3 3所示 下列四种说法 打电话时 小东和妈妈的距离是1400m 小东与妈妈相遇后 妈妈回家速度是50m min 小东打完电话后 经过27min到达学校 小东家离学校的距离是2900m 其中正确的个数是 图3 3 3A 1B 2C 3D 4 答案D打电话时 t 0 对应的y 1400 根据y表示的意义可知 此时小东和妈妈的距离是1400m 正确 设妈妈回家的速度为xm min 则16 100 16x 2400 解得x 50 即妈妈回家的速度为50m min 正确 图象中t 0时小东打电话 t 27时小东到校 所以小东打完电话后经过27min到达学校 正确 相遇后妈妈回家的路程为50 16 800m 小明到达学校的路程为100 21 2100m 所以小东家离学校的距离是2900m 正确 故选D 6 2016山东文登期末 周末 小明从家骑自行车去图书馆 他骑了一段时间 想起要买只笔 于是折回到刚经过的文具店 买到笔后 继续骑行到达图书馆 他离家的距离s m 与所用时间t min 之间的关系如图3 3 4所示 请根据图中提供的信息 回答下列问题 1 小明家距图书馆m 小明在文具店停留了min 2 本次去图书馆的途中 小明一共骑行了多少m 3 若小明从文具店出来后 仍然按照原来的速度骑行 求小明从家到图书馆用了多长时间 图3 3 4 解析 1 1600 4 2 1200 1200 800 1600 800 1200 400 800 2400 m 答 小明一共骑行了2400m 3 1600 800 1200 6 800 200 4 min 12 4 16 min 答 小明从家到图书馆用了16min 1 为了检测甲 乙两种容器的保温性能 检测员从每种容器中各取一个进行试验 在两个容器中装满相同温度的水 每隔5分测量一次两个容器的水温 试验过程中室温保持不变 最后他根据记录的水温画出了如图所示的图象 观察图象 并回答下列问题 1 经过1小时时 哪个容器中的水温较高 2 你估计检测员试验时的室温可能是多少 为什么 3 你认为哪种容器的保温性能更好些 说说你的理由 解析 1 甲容器 2 20 因为最后两个容器的水温都保持在20 3 甲容器 因为甲容器的水温降低得缓慢一些 所以保温性能好些 2 2017广东揭阳揭西期末 如图是某地某天温度变化的情况 根据图象回答问题 1 凌晨3时的温度是多少 2 这一天的最高温度和最低温度分别是多少 3 这一天的温差是多少 从最低温度到最高温度经过了多长时间 4 图中A点表示的是什么 B点呢 解析 1 凌晨3时的温度为23 2 这一天的最高温度和最低温度分别是37 23 3 这一天的温差是14 从最低温度到最高温度经过了12小时 4 A点表示0时的温度为26 B点表示21时的温度为31 1 2017北京中考 小苏和小林在如图3 3 5 所示的跑道上进行4 50米折返跑 在整个过程中 跑步者距起跑线的距离y 单位 m 与跑步时间t 单位 s 的对应关系如图3 3 5 所示 下列叙述正确的是 图3 3 5 A 两人从起跑线同时出发 同时到达终点B 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C 小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程D 小林在跑最后100m的过程中 与小苏相遇2次 答案D由题图可知 小林先到达终点 A错误 由题图可知 两人行程相同 小苏用的时间多 故小苏的平均速度小于小林的平均速度 B错误 由题图可知 小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程 C错误 D正确 2 2017山东郓城期末 小明从家里骑电动车去体育馆 中途因买饮料停止了一分钟 之后又骑行了1 8千米到达体育馆 若小明骑行的速度始终不变 从出发开始计时 剩余的路程s 千米 与时间t 分钟 的关系的图象如图3 3 6所示 则图中a等于 图3 3 6A 1 8B 3C 3 6D 9 答案B由题意知 后来3分钟走的路程是1 8千米 则速度为1 8 3 0 6 千米 分钟 前2分钟骑行的路程是0 6 2 1 2 千米 总路程为1 8 1 2 3 千米 则a为3 3 2017山东泰安岱岳期末 甲骑自行车 乙骑摩托车 从A城出发到B城旅行 甲 乙两人离开A城所走的路程与时间之间关系的图象如图3 3 7所示 根据图象 解答 1 求甲在DE段的速度和乙的平均速度 2 乙出发多长时间与甲相遇 图3 3 7 解析 1 甲在DE段的速度为 100 60 8 5 千米 小时 乙的平均速度为100 6 4 50 千米 小时 2 设乙出发t小时后与甲相遇 由题意得50t 60 t 1 解得t 答 乙出发小时后与甲相遇 1 2017重庆中考A卷 A B两地之间的路程为2380米 甲 乙两人分别从A B两地出发 相向而行 已知甲先出发5分钟后 乙才出发 他们两人在A B之间的C地相遇 相遇后 甲立即返回A地 乙继续向A地前行 甲到达A地时停止行走 乙到达A地时也停止行走 在整个行走过程中 甲 乙两人均保持各自的速度匀速行走 甲 乙两人相距的路程y 米 与甲出发的时间x 分钟 之间的关系如图所示 则乙到达A地时 甲与A地相距的路程是米 答案180 解析 由题图知甲先出发5分钟 走了2380 2080 300米 所以甲的速度为300 5 60 米 分钟 第14分钟时 两人相距910米 甲走过的路程为60 14 840 米 设乙的速度为a米 分钟 乙晚出发5分钟 故此时乙走的时间为14 5 9 分钟 走过的路程为9a米 840 910 9a 2380 解得a 70 设乙出发后经过b分钟 两人在A B之间的C地相遇 相遇时甲走过的路程为60 5 b 米 乙走过的路程为70b米 易列得方程60 5 b 70b 2380 解得b 16 此时A地与相遇地C之间的距离为60 5 b 60 5 16 1260 米 乙从相遇地C到达A地需用的时间为1260 70 18 分钟 此时甲走过的路程为18 60 1080 米 甲与A地相距的路程是1260 1080 180 米 2 暑假的某一天 陈灿全家上午8时自驾小汽车从家里出发 到距离180千米的某著名旅游景点游玩 该小汽车离家的距离s 千米 与时间t 时 的关系可以用如图所示的折线表示 根据图象提供的有关信息 解答下列问题 1 陈灿全家在旅游景点游玩了多少小时 2 求返程途中的速度 解析 1 因为陈灿全家10时到达旅游景点 当天14时离开景点返家 所以陈灿全家在景点游玩了4个小时 2 14时到15时 行驶了180 120 60 千米 故返程途中速度为60千米 小时 3 一骑自行车者和一骑摩托车者在两城镇间旅行时路程与时间的关系如图所示 由图可知 两城镇间的距离为80km 骑自行车者用了6h 骑摩托车者用了2h 根据图象 你还能得到关于这两个旅行者在这一旅途中的哪些信息 解析 1 骑自行车者3小时后休息了1小时 2 骑自行车者的平均速度为 km h 如果不算休息的1小时 他骑车的平均速度为16km h 3 骑摩托车者的速度为40km h 4 骑摩托车者比骑自行车者晚出发3小时 早到1小时 5 骑摩托车者与骑自行车者在距出发点60千米处相遇 一 选择题1 2018江西抚州临川第一实验学校月考 5 有一游泳池中注满水 现按一定的速度将水排尽 然后进行清扫 再按相同的速度注满水 使用一段时间后 又按相同的速度将水排尽 则游泳池的存水量V 立方米 随时间t 小时 变化的大致图象为 答案C 2 2017福建漳浦期中 6 一列动车从漳浦站出发 加速行驶一段时间后开始匀速行驶了一段时间 动车到达漳州站减速停下 则能刻画动车在这段时间内速度随时间变化情况的是 答案B因为动车从漳浦站出发 加速行驶一段时间后开始匀速行驶 过了一段时间 动车到达漳州站减速停下 所以函数图象应分为3段 故选B 二 解答题3 2016山东济宁期末 24 星期天小红从家里出发骑车去舅舅家做客 当她骑了一段路时 想起要买个礼物送给表弟 于是又折回到刚经过的一家商店 买好礼物后又继续骑车去舅舅家 图3 3 8是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系示意图 根据图中提供的信息 回答下列问题 1 小红家到舅舅家的路程是米 小红在商店停留了分钟 2 在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快 最快的速度是多少米 分 3 本次去舅舅家的行程中 小红一共行驶了多少米 一共用了多少分钟 图3 3 8 解析 1 1500 4 2 由题图易知小红在12 14分钟骑车速度最快 速度为 450 米 分 3 由题图可得 小红共行驶了1200 1200 600 1500 600 2700 米 共用了14分钟 1 2018广东梅州梅江实验中学二次质检 6 5月16日 我校进行了全校师生防灾减灾大演练 警报拉响后同学们迅速跑步到操场 在操场指定位置清点人数 听广播后 再沿原路匀速步行回教室 同学们离开教学楼的距离y与时间x的关系的大致图象是 答案C 2 2017山东夏津第二实验中学月考 10 由于干旱 某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降 若该水库的蓄水量V 万立方米 与干旱的时间t 天 的关系如图所示 则下列说法正确的是 A 干旱开始后 蓄水量每天减少20万立方米B 干旱开始后 蓄水量每天增加20万立方米C 干旱开始时 蓄水量为200万立方米D 干旱第50天时 蓄水量为1200万立方米 答案A刚开始时水库有水1200万立方米 50天时 水库蓄水量为200万立方米 减少了1200 200 1000万立方米 那么每天减少的水量为1000 50 20万立方米 一 选择题1 2018黑龙江齐齐哈尔中考 5 如图3 3 9是自动测温仪记录的图象 它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化 下列从图象中得到的信息正确的是 图3 3 9 A 0点时气温达到最低B 最低气温是零下4 C 0点到14点之间气温持续上升D 最高气温是8 答案D由题图知 从0点至4点 气温在逐渐降低 4点时 气温最低 为 3 4点至14点 气温在逐渐升高 14点时 气温最高 为8 14点至24点 气温在逐渐降低 故选D 2 2018内蒙古通辽中考 4 小刚从家去学校 先匀速步行到车站 等了几分钟后坐上了公交车 公交车匀速行驶一段时间后到达学校 小刚从家到学校的行驶路程s 单位 m 与时间t 单位 min 之间关系的大致图象是 答案B小明步行到车站 s越来越大 等公交车时路程不变 坐上公交车后 s越来越大 故选B 二 填空题3 2017四川南充中考 15 小明从家到图书馆看报然后返回 他离家的距离y与离家时间x之间的对应关系如图3 3 10所示 如果小明在图书馆看报30min 那么他离家50min时离家的距离为km 图3 3 10 答案0 3 解析依题意可知 小明返回时的速度为0 9 55 40 0 06 km min 50 40 10 min 返回时10min所走的路程为0 06 10 0 6 km 0 9 0 6 0 3 km 所以他离家50min时离家的距离为0 3km 1 2018湖南长沙中考 10 小明家 食堂 图书馆在同一条直线上 小明从家去食堂吃早餐 接着去图书馆读报 然后回家 这个过程中 小明离家的距离y与时间x之间的对应关系如图所示 根据图象 下列说法正确的是 A 小明吃早餐用了25minB 小明读报用了30minC 食堂到图书馆的距离为0 8kmD 小明从图书馆回家的速度为0 8km min 答案BA 25 8 17 min 小明吃早餐用了17min 故A错误 B 58 28 30 min 小明读报用了30min 故B正确 C 0 8 0 6 0 2 km 食堂距离图书馆0 2km 故C错误 D 图书馆离小明家0 8km 0 8 68 58 0 08 km min 则小明从图书馆回家的平均速度是0 08km min 故D错误 故选B 2 2017湖南邵阳中考 9 如图所示的图象反映的过程是 小徐从家去菜地浇水 又去玉米地除草 然后回家 其中x表示时间 y表示小徐离他家的距离 读图可知菜地离小徐家的距离为 A 1 1千米B 2千米C 15千米D 37千米 答案A由题图可知菜地离小徐家的距离为1 1千米 3 2017黑龙江哈尔滨中考 10 周日 小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报 看了一段时间后 他按原路返回家中 小涛离家的距离y 单位 m 与他所用的时间t 单位 min 之间的关系如图所示 下列说法中正确的是 A 小涛家离报亭的距离是900mB 小涛从家去报亭的平均速度是60m minC 小涛从报亭返回家中的平均速度是80m minD 小涛在报亭看报用了15min 答案D从题图可以看出0 15min小涛与家的距离随着时间的增大而增大 且在15min时达到最大值1200m 所以小涛家离报亭的距离是1200m 选项A错误 在0 15min内小涛的速度是1200 15 80 m min 选项B错误 15min后的一段时间内 小涛与家的距离不变 说明小涛在看报 之后的某一时间点后 小涛与家的距离变小 说明小涛开始返回家 该时间点未知 但已知35 50min内小涛步行了900m 所以小涛返回家的速度是900 15 60 m min 选项C错误 报亭与家的距离是1200m 返回家的速度是60m min 所以看完报纸后小涛回到家需1200 60 20 min 从题图可知小涛50min时到家 所以小涛在离家30min后开始返回家 在报亭看报用了30 15 15 min 选项D正确 故选D 1 2017浙江丽水中考 在同一条道路上 甲车从A地到B地 乙车从B地到A地 乙先出发 图3 3 11中的折线段表示甲 乙两车之间的距离y 千米 与行驶时间x 小时 的关系的图象 下列说法错误的是 图3 3 11 A 乙先出发的时间为0 5小时B 甲的速度是80千米 小时C 甲出发0 5小时后两车相遇D 甲到B地比乙到A地早小时 答案D由题图可知乙先出发0 5小时后两车相距70千米 所以乙行驶了30千米 所以乙的速度是60千米 小时 这样乙从B地出发到达A地所用时间为100 60 1小时 由函数图象知此时两车相距不到100千米 即乙到达A地时甲还没有到达B地 甲到B地比乙到A地迟 故选项D错误 解析本题答案不唯一 下列答案供参考 1 该图象表示小明骑车离出发地的路程y 单位 km 与他所用的时间x 单位 min 的关系 2 小明以0 4km min的速度匀速骑了5min后 在原地休息了6min 然后以0 5km min的速度匀速回到出发地 1 已知 如图 1 点G是BC的中点 点H在AF上 动点P以每秒2cm的速度沿图 1 的边线运动 运动路径为G C D E F H 相应的 ABP的面积y cm2 与运动时间t s 的关系图象如图 2 若AB 6cm 则下列四个结论正确的有 BC的长是8cm M点表示第4秒时y的值为24 CD的长是4cm N点表示第12秒时y的值为18 A 1个B 2个C 3个D 4个 答案D由已知得CG 2 2 4cm BC 2CG 8cm 故 正确 题图 2 中点M对应题图 1 中点P运动到点D 此时 y S ABP AB BC 6 8 24 cm2 故 正确 从C点运动到D点用了2s CD 2 2 4cm 故 正确 题图 2 中点N对应题图 1 中点P运动到H点 由AB CD EF 6cm 得EF 2cm 点P从点E运动到点F用了1s HF 12 8 2 8cm AH BC DE HF 8 2 7 4 8 6cm 第12秒时y 6 6 18 cm2 故 正确 综上可知选D 2 2016重庆中考 甲 乙两人在直线道路上同起点 同终点 同方向 分别以不同的速度匀速跑步1500米 先到终点的人原地休息 已知甲先出发30秒后 乙才出发 在跑步的整个过程中 甲 乙两人的距离y 米 与甲出发的时间x 秒 之间的关系如图所示 则乙到达终点时 甲距终点的距离是米 答案175 解析由题图可知甲30秒跑了75米 则甲的速度为75 30 2 5 米 秒 由题图可知甲出发180秒后乙追上了甲 此时乙用时180 30 150 秒 设乙的速度为m米 秒 根据题意可得150m 2 5 180 解得m 3 则乙跑完全程需1500 3 500 秒 此时甲跑了500 30 530 秒 甲跑过的路程为530 2 5 1325 米 则甲距终点的距离是1500 1325 175 米 故答案为175