初中数学几何知识点和题型归纳总复习.ppt

初中数学几何总复习 一 图形的初步认识 图形的初步认识 多姿多彩的图形 直线 射线 线段 角 角的表示 角度的转化 角的比较 角的平分线 线段的长短比较 余角 补角 方位角 几何图形 平面图形 立体图形 从不同方向看立体图形 展开立体图形 平面图形 线段 射线 直线 角 余角补角 角的度量 角的大小比较 角平分线 两点确定一条直线 两点之间线段最短 生活中的立体图形 按柱 锥 球划分 1 2 是一类 是柱体 3 4 是锥体 5 是球体 柱体 锥体 圆柱 棱柱 圆锥 棱锥 四面体 六面体 八面体 多面体可以按面数来分类 如下列图形中 若围成立体图形的面是平的面 这样的立体图形又称为多面体 认识多面体 著名的欧拉公式 V F E 2 画立体图形 观察立体图三视图 主视图 左视图 俯视图 例1 画出以下立体图形的三视立体图形图 立体图形的表面展开图 正方体 长方体 四棱锥 三棱柱 三棱柱 五棱锥 归纳 正方体的表面展开图有以下11种 你能看出有什么规律吗 一四一型 二三一型 阶梯型 当将这个图案折起来组成一个正方体时 数字 会与数字2所在的平面相对的平面上 6 1 2 3 4 5 3 点和线 A点A 用一个大写字母表示 线 线段 直线 射线 学会区分没有 直线 射线 线段的比较 下面的知识点你掌握了吗 知识点1 线段 1 线段的概念 它是直线的一部分 它的长度是有限的 它有两个端点 2 线段的表示方法 可用它的两个端点的大写字母或用一个小写字母来表示 3 线段的画法 可用直尺先量出线段的长度 再画一条等于这个长度的线段 4 线段的基本性质 两点之间线段最短 5 两点间的距离 连结两点的线段的长度 叫做这两点间的距离 6 线段的特点 有两个端点 不能向任何一方伸展 可以度量 可以比较长短 下面的知识点你掌握了吗 知识点2 射线 1 射线的概念 把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线 2 射线的表示方法 可用两个大写字母表示 第一个大写字母表示它的端点 也可用一个小写字母表示 3 射线的特点 只有一个端点 向一方无限延伸 无法度量 不能比较长短 知识点3 直线 1 直线的概念 把线段向两方无限延伸所形成的图形 2 直线的表示方法 可用这条直线上的两个点表示 也可以用一个小写字母表示 3 直线的基本性质 经过两点有一条直线 并且只有一条直线 4 直线的特点 没有端点 向两方无限延伸 不可度量 不能比较大小 你能解决下列问题吗 1 图中共有几条线段 几条射线 几条直线 能用字母表示出来的分别用字母表示出来 A B C 2 判断下列说法是否正确 1 延长射线OA 2 直线比射线长 射线比线段长 3 直线AB和直线CD相交于点m 4 A B两点间的距离就是连结A B两点间的线段 3 用一个钉子把一根细木条钉在木板上 用手拨木条 木条能转动 这表明 用两个钉子把细木条钉在木板上 就能固定细木条 这说明 4 如图所示 一只蚂蚁要从圆柱体A点沿表面尽可能地爬到B点 因为那里有它的食物 而它饿得快不行了 怎么爬行路线最短 A B 过一点有无数条直线 两点确定一条直线 5 计算 1 如图 A B C D是直线l上顺次四点 且线段AC 5 BD 4 则线段AB CD A B C D l 2 如图 AC 8cm CB 6cm 如果O是线段AB的中点 求线段OC的长度 A B C O 1 1cm 3 已知AB 16cm C是AB上一点 且AC 10cm D为AC的中点 E是BC的中点 求线段DE的长 5 已知线段AC和线段BC在同一直线上 若AC 5 6cm BC 2 4cm 求线段AC的中点与线段BC中点之间的距离 8cm 4cm或1 6cm 探究一 有关距离问题 1 如图 在一条笔直的公路a两侧 分别有A B两个村庄 现要在公路a上建一个汽车站C 使汽车站到A B两村距离之和最小 问汽车站C的位置应该如何确定 a A B 2 平原上有A B C D四个村庄 如图所示 为解决当地缺水问题 政府准备投资修建一个蓄水池 不考虑其他因素 请你画图确定蓄水池H的位置 使它与四个村庄的距离之和最小 A B C D 3 如图 蚂蚁在圆锥底边的点A处 它想绕圆锥爬行一周后回到点A处 你能画出它爬行的最短路线吗 A 4 如图所示 洋河酒厂有三个住宅区A B C各分别住有职工30人 15人 10人 且这三个区在酒家大道上 A B C 三点共线 已知AB 100米 BC 200米 为了方便职工上下班 该厂的接送车打算在此间只设一个停靠点 为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小 那么该停靠点的位置应设在 区 A B C 探究二 画一画 数一数 再找规律 1 在平面内有n个点 n 3 其中没有任何三个点在一条直线上 如果过任意两点画一条直线 这n个点可以画多少条直线 2 一条直线将平面分成两部分 两条直线将平面分成四部分 那么三条直线将平面最多分成几部分 四条直线将平面最多分成几部分 n条直线呢 n n 1 2 n2 n 2 2 7部分 11部分 线段的长短比较 1 度量法 2 叠合法 用尺规法作一条线段等于已知线段 3 线段中点的定义和简单作法 角 用一个大写字母表示点 用二个大写字母表示线 用三个大写字母表示角 ABC O 1 角的表示方法 角度的转化 1 60 1 60 1 3600 角度的加减 1 同种形式相加减 2 度加 减 度 分加 减 分 秒加 减 秒3 超60进一 减一成60 角的比较 2叠合法 1度量法 ABC DEF ABC DEF ABC DEF 角的平分线 1 定义 一条射线把一个角分成两个相等的角 这条射线叫做这个角的平分线 2 几何语言表达 OC是 AOB的平分线 O A B C 1 2 1 2 AOB或 AOB 1 角的特殊关系 2 与 互补 是 的补角 是 的补角 18 1 与 互余 是 的余角 是 的余角 两个角成对出现 只考虑数量关系 与位置无关 结论 同角 等角 的余角 补角 相等 方向角 1 方位角是以正南 正北方向为基准 描述物体的运动方向 2 北偏东45 通常叫做东北方向 北偏西45 通常叫做西北方向 南偏东45 通常叫做东南方向 南偏西45 通常叫做西南方向 3 方位角在航行 测绘等实际生活中的应用十分广泛 练习 画出表示下列方向的射线 1 北偏西30 2 北偏东50 3 西南方向 O A 经过两点有一条直线并且只有一条直线 我们可以用下列方式表示直线 表示 用两个大写英文字母表示 直线AB 或直线BA l 表示 用一个小写英文字母表示 直线l A 表示 用两个大写字母表示 必须端点写在前 射线上另一个字母写在后 射线OA l 用一个小写字母表示 射线l 表示 用两个端点的大写字母表示线段AB 或线段BA a 表示 用一个小写字母表示 线段a 1 线段的性质 两点之间的所有连线中 线段最短 2 连接两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 3 线段中点的定义和运用 4 比较线段大小的方法 叠合法和度量法 角是由两条具有公共端点的射线组成的图形 公共端点 顶点 射线 射线 边 边 角也可以看做一条射线绕端点旋转所组成的图形 角的表示方法 O 1 记作 AOB或 BOA或 O 记作 记作 1 用尺规画角 你能利用圆规 造出 一个量角器吗 你能利用圆规 卡出 点吗 用尺规画角 圆规的作用 造出 一个量角器 卡出 角的大小 直尺的作用 画射线 O A B C D 1 3 4 2 O A B C D 1 3 4 2 有关概念 邻补角 如果两个角有一条公共边 它们的另一边互为反向延长线 那么这两个角互为邻补角 对顶角 如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线 那么这两个角互为对顶角 两条直线相交有且只有一个交点 对顶角相等邻补角互补 1 相等的角不一定是对顶角2 邻补角之和等于180 它们的位置相邻 数量上互补 对顶角的性质 定义 当两条直线相交所成的四个角中 有一个角是直角时 就说这两条直线互相垂直 其中一条直线叫做另一条直线的垂线 直线 它们的交点叫做垂足 直线AB CD互相垂直 记作 AB CD 或 CD AB 读作 AB垂直于CD 如果垂足为O 记作 AB CD 垂足为O 如图 点到直线的距离 如图 过点A作l的垂线 垂足为B点 l 线段AB的长度叫做点A到直线l的距离 垂线段 两条直线相交 一般情况 垂线 对顶角 相等 邻补角 互补 垂线的存在性和唯一性 特殊情况 相交成直角 垂线的性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短或说成垂线段最短 一 平行线的定义 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 结论 在同一平面内 两直线的位置关系有平行与相交两种 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 平行公理 平行公理的推论 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 几何语言表达 a b 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 a c c b 已知 判定两条直线平行的方法 方法 同位角相等 两直线平行 方法 内错角相等 两直线平行 方法 同旁内角互补 两直线平行 方法4 如果两条直线都与第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 性质 两直线平行 同位角相等 性质 两直线平行 内错角相等 性质 两直线平行 同旁内角互补 平行线的性质 余角 补角的概念 余角 补角的性质 1 和为90 的两个角称互为余角 2 和为180 的两个角称互为补角 1 同角或等角的余角相等 2 同角或等角的补角相等 今天我们学了什么 1 2 90 1 2 180 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 两条平行直线被第三条直线直线所截 判断正确或者错误的句子叫做命题 正确的命题称为真命题 错误的命题称为假命题 反之 如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断 那么它就不是命题 例如 1 你喜欢数学吗 2 做线段AB CD 下列句子哪些是命题 是命题的 指出是真命题还是假命题 1 羊有四只脚 2 三角形两边之和大于第三边 3 画一条曲线 4 四边形都是菱形 5 你的作业做完了吗 6 同位角相等 两直线平行 7 对顶角相等 8 多边形的内角和等于180度 9 过点P做线段MN的垂线 是 真命题 不是 是 真命题 是 假命题 不是 是 真命题 是 真命题 是 假命题 不是 命题是由题设 或条件 和结论两部分组成 题设是已知事项 结论是由已知事项推出的事项 用 如果 开始的部分是题设 用 那么 开始的部分是结论 例如 两个三角形的三条边相等 是题设 两个三角形全等 是结论 命题一般都写成 如果 那么 的形式 你能在下面的命题都写成 如果 那么 的形式吗 1 熊猫没有翅膀 2 对顶角相等 如果这个动物是熊猫 那么它就没有翅膀 如果两个角是对顶角 那么它们就相等 命题一般都写成 如果 那么 的形式 你能在下面的命题都写成 如果 那么 的形式吗 3 全等三角形的对应边相等 如果两个三角形全等 那么它们的对应边就相等 4 平行四边形的对边相等 如果一个四边形是平行四边形 那么它的对边就相等 公理与定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的 并把它们作为判断其他命题真假的原始依据 这样的真命题叫做公理 有些命题可以从公理或其他真命题出发 用逻辑推理的方法判断它们是正确的 并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据 这样的真命题叫做定理 全等三角形的对应角 对应边分别相等 直角三角形的两个锐角互余 公理 定理 二 相交线与平行线 知识结构 相交线 平面内直线的位置关系 平行线 两条直线相交 两条直线被第三条直线所截 邻补角对顶角 对顶角相等 垂线及其性质 点到直线距离 同位角内错角同旁内角 平行公理 平移 条件 性质 同位角是 1和 8 2和 7 3和 6 4和 5 内错角是 1和 6 2和 5 同旁内角是 1和 5 2和 6 一 知识回顾 平行线的判定 1 同位角相等 两直线平行 2 内错角相等 两直线平行 3 同旁内角互补 两直线平行 4 平行于同一条直线的两条直线平行 平行线的传递性 5 垂直于同一条直线的两条直线平行 一 知识回顾 平行线的性质 1 两直线平行 同位角相等 2 两直线平行 内错角相等 3 两直线平行 同旁内角互补 1 如图 直线EF过点A D是BA延长线上的点 具备什么条件时 可以判定EFBC 为什么 4 如果两个角的一对边在同一直线上 另一对边互相平行 则这两个角 A 相等 B 互补 C 相等或互余 D 相等或互补 5 下列说法中 错误的是 A 两直线平行 同位角的平分线互相平行 B 两直线平行 内错角的平分线互相平行 C 两直线平行 同旁内角的平分线互相平行 D 两直线平行 同旁内角的平分线互相垂直 二 填空1 1 1的余角为28 则 1 度 2 一个角等于它的余角 则这个角的度数是 3 一个角比它的余角的2倍大120 则这个角的度数为 2 如图1 3与 4是角 1与 3是角 3与 5是角 3与 7是角 3 如图2 是由两个相同的直角三角形ABC和FDE拼成的 则图中与 A相等的角有个 分别是 1与 A关系是 2与 1的关系是 如图8 4 ACB与 1是两条直线和被第三条直线所截 构成的角 A与 1是两条直线和被直线所截的 构成的角 2和 ACD是两条直线和被直线所截 构成的角 B和 BDE是两条直线和被直线所截 构成的角 二 问题研讨 3 如图 不能判别AB CD的条件是 A B BCD 180 B 1 2C 3 4D B 5 4 如图 已知AOB是一条直线 OM平分 BOC ON平分 AOC 则图中互补的角有几对 则其中互余的角有几对 B 3对 4对 1 命题 对顶角相等 垂直于同一条直线的两直线平行 相等的角是对顶角 同位角相等 其中假命题有 A 1个B 2个C 3个D 4个 一 选择题 1 如图 已知 1 2 1 B 求证 AB EF DE BC 证明 由 1 2 已知 根据 得AB EF 又由 1 B 根据 同位角相等 两直线平行得 内错角相等 两直线平行 已知 DEBC 2 如图 已知 1 2 180 求证 AB CD 证明 由 1 2 180 已知 1 3 对顶角相等 2 4 根据 等量代换得 3 180 根据 同旁内角互补 两直线平行得 对顶角相等 4 ABCD 3 如图 已知 DAF AFE ADC DCB 180 求证 EF BC 证明 由 DAF AFE 根据 得 AD 由 ADC 180 已知 根据 得 AD 再根据 得 EF BC 已知 内错角相等 两直线平行 EF DCB 同旁内角互补 两直线平行 BC 平行于同一直线的两条直线互相平行 4 如图 已知 2 3 1 3 180 求证 EF GH 证明 由 2 3 已知 1 3 180 根据 得 1 2 180 根据 得 已知 等量代换 同旁内角互补 两直线平行 EF GH 5 如图 已知 1 2 BD平分 ABC 试说明AD BC 证明 由BD平分 ABC 已知 根据 得 2 3 又由 2 1 已知 根据 得 3 根据 内错角相等 两直线平行 得 B A C D 1 2 3 角平分线定义 等量代换 1 ADBC 6 如图 已知 AB CD AE BD 试说明 ABD E 证明 由 已知 根据 两直线平行 内错角相等得 ABD 由AE BD 根据 得 BDC E 再根据 等量代换得 AB CD BDC 已知 两直线平行 同位角相等 ABD E 7 如图 已知 AC DE 1 2 试说明AB CD 证明 由AC DE 已知 根据 两直线平行 内错角相等 得 ACD 又由 1 2 已知 根据 得 1 ACD 再根据 得 2 等量代换 内错角相等 两直线平行 ABCD 8 如图 已知 AB CD 1 55 2 80 求 3的度数 9 如图 已知 AB CD A 70 DHE 70 求证 AM EF 10 推理填空 如图 B AB CD DGF CD EF AB EF B 180 11 如图 1 EF AB 已知 1 2 3 已知 AB EF 3 A 已知 AC DF 4 2 1800 已知 DE BC 5 AC DF 已知 2 6 EF AB 已知 FCA 1800 12 如图 已知 A与 D互补 可以判定哪两直线平行 B与哪个角互补 可以判定直线AD BC 13 如图 由下列条件可以判定图中哪两条直线平行 说明理由 1 若 1 B 则AD BC 3 若 1 D 则AB 4 若 2 3 B 180 则 2 若 3 4 则BC AD CD AD BC 14 已知 如图 AB DE 1 2 则AE与DC平行吗 完成下列推理 并把每一步的依据填写在后面的括号内证明 AB DE 已知 1 AED 1 2 已知 AE DC 两直线平行 内错角相等 AED 2 等量代换 内错角相等 两直线平行 15 如图 1 EF AB 已知 1 2 3 已知 AB EF 3 A 已知 AC DF 4 2 1800 已知 DE BC 5 AC DF 已知 2 6 EF AB 已知 FCA 1800 16 已知 如图 BCE AFE是直线 AB CD 1 2 3 4 求证 AD BE 证明 AB CD 已知 4 3 4 已知 3 1 2 已知 1 CAF 2 CAF 即 3 AD BE 17 如图 1 EF AB 已知 1 2 3 已知 AB EF 3 A 已知 AC DF 4 2 1800 已知 DE BC 5 AC DF 已知 2 6 EF AB 已知 FCA 1800 18 已知 如图 BCE AFE是直线 AB CD 1 2 3 4 求证 AD BE 证明 AB CD 已知 4 3 4 已知 3 1 2 已知 1 CAF 2 CAF 即 3 AD BE 1 2006年东莞 能由 AOB平移而得的图形是哪个 2 2006年四川省广安市 如图 AB CD 若 ABE 120o DCE 35o 则 BEC 中考题我能行 二 问题研讨 1 在同一平面内 两条直线的位置关系是 A 相交B 平行C 相交或平行D 相交 平行或垂直 2 三条直线两两相交 当三条直线相交于一点时 对顶角的对数为m 当三条直线不相交于一点时 对顶角的对数为n 则m与n的关系是 A m nB m nC m nD 无法确定 c B 3 如图 已知AB CD 则下列结论正确的是 1 2 3 6 4 7 180 5 8 180 A 1个 个 个 个 4 如图 要得到DE BC 则需要满足的条件是 A 2 5 180 B 3 5 180 C 2 4 D 1 2 5 如图所示 要使AB CD 只需要添加一个条件 这个条件是 填一个你认为正确的条件即可 6 如图所示 DE BC DF AC 则图中与 C相等的角有个 命题 定义 结构 形式 真假 能够把一个命题写成 如果 那么 的形式 判断一件事情的语句 叫做命题 题设 结论 如果 那么 命题 1 同角的补角相等 2 等角的余角相等 3 互补的角是邻补角 4 对顶角相等 7 说出下列命题的题设与结论 课堂练习 1 下列命题是真命题的有 A 相等的角是对顶角B 不是对顶角的角不相等C 对顶角必相等D 有公共顶点的角是对顶角E 邻补角的和一定是180度F 互补的两个角一定是邻补角G 两条直线相交 只要其中一个角的大小确定了那么另外三个角的大小就确定了 C E G 8 下列说法正确的有 对顶角相等 相等的角是对顶角 若两个角不相等 则这两个角一定不是对顶角 若两个角不是对顶角 则这两个角不相等 A 1个B 2个C 3个D 4个 7 如图OA OC OB OD 且 BOC 则 AOD B 1800 9 如图 已知AB CD 直线EF分别交AB CD于点E F BEF的平分线与 DFE的平分线相交于点P 你能说明 P的度数吗 为什么 10 如图 已知AD BC EF BC 1 2 求证 DG BA 11 如图 已知 1 2 C D 求证 A F 12 如图 AB CD EF平分 GFD GF交AB与M GMA 52 求 BEF的度数 13 如图 已知 1 2 BAD BCD 则下列结论 1 AB CD 2 AD BC 3 B D 4 D ACB 其中正确的有 A 1个B 2个C 3个D 4个 14 如图 要得到DE BC 则需要满足的条件是 A 2 5 180 B 3 5 180 C 2 4 D 1 2 15 如图 是一个经过改造的台球桌面的示意图 图中 四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔 如果一个球按图中所示的方向被击出 球经过多次反射 那么球最后将落入的球袋是 A 1号袋B 2号袋C 3号袋D 4号袋 16 如图 在长方形ABCD中 ADB 20 现将这一长方形纸片沿AF折叠 若使AB BD 则折痕AF与AB的夹角 BAF应为多少度 17 如图 已知DE BF分别平分 ADC和 ABC 1 2 ADC ABC说明AB CD的理由 18 如图 已知 1 2 180 3 B 试判断 AED与 C的大小关系 并对结论进行说理 19 求证 两条平行线被第三条直线所截 内错角的平分线互相平行 20 已知 如图D E F分别是BC CA AB上的点 DE BA DF CA求证 FDE A 解答题 1 如图 BC DE 小颖用量角器分别画出 ABC ADE的角平分线BG DH 想一想 小颖所画的这两条射线BG和DH会平行吗 为什么 2 如图 已知 1 2 C D 求证 A F 3 如图 AB CD EF平分 GFD GF交AB与M GMA 52 求 BEF的度数 4 已知 AB CD 试探索 A C与 AEC之间的关系 B D与 BFD之间的关系 几何之旅 5 AB CD 分别探讨下面四个图形中 APC与 PAB PCD的关系 并请你从所得四个关系式中任意选一个说明理由 6 如图 折线APB是夹在两平行线a和b之间的一条折线 1 试探求 与 之间的关系 2 试改变问题中的某些条件时 又有怎样的结论呢 能力拓展 7 1 如图 AD BC 试问 2与 1 3的关系是什么 为什么 3 如图 AD BC 你又有什么发现 2 如图 AD BC 试问 2 4与 1 3 5哪个大 为什么 8 已知AB DC B 80 D 140 求 BCD的度数 9 如图AB CD 1 140 2 90 则 3的度数是 A 40 B 45 C 50 D 60 练一练 10 已知 如图 AB CD 则 之间的关系为 A 360 B 180 C 180 D 180 2 已知 AOB及两边上的点M N 如图 请用尺规分别过点M N作OB OA的平行线 不写作法 保留作图痕迹 尺规作图 3 辨析与比较 如图 是两块相同的三角尺拼接成的一个图形 请找出图中互相平行的边 若其中一块三角尺沿着重合的边向下滑动 如图所示 原来平行的边还平行吗 你知道其中的道理吗 4 操作与解释 数学课上有这样一道题 如图 以点B为顶点 射线BC为一边 利用尺规作 EBC 使得 EBC A EB与AD一定平行吗 小王说 一定平行 而小李说 不一定平行 你更赞同谁的观点 5 探索与思考 有一条直的等宽纸带 按如图所示折叠时 1 30 求纸带重叠部分中 CAB的度数 8 如图 已知 1 2 180 3 B 试判断 AED与 C的大小关系 并对结论进行说理 三角形的初步知识 三角形的性质 1 边的性质 三角形的两边之和大于第三边 三角形的两边之差小于第三边 2 角的性质 三角形三内角和等于180度 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 辨一辨 1 下列每组分别是三根小木棒的长度 用它们能摆成三角形吗 单位 厘米 填 能 或 不能 1 3 4 5 2 8 7 15 3 13 12 20 4 5 5 11 不能 不能 能 能 直角三角形 钝角三角形 2 三角形按内角的大小分为三类 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 根据下列条件判断它们是什么三角形 1 三个内角的度数是1 2 3 2 两个内角是50 和30 c 3 三角形的两边长分别是3和5 第三边a的取值范围 A 2 a 8B 2 a 8C 2 a 8D 2 a 8 4 以下各组线段 能组成三角形的是 A 2cm 2cm 4cmB 3cm 6cm 8cmC 2cm 3cm 6cmD 4cm 6cm 11cm B 5 在 ABC中 若 A 54 B 36 则 ABC是 A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 等腰三角形 C 6 如图 在 ABC A 75 B 45 则 ACD 第8题 第9题 8 如上图 1 60 D 20 则 A 度9 如上图 AD BC 1 40 2 30 则 B 度 C 度 7或9 100 50 60 7 一个三角形的两边长分别是3和8 而第三边长为奇数 那么第三边长是 CA CB 点C在上 线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 1 三角形的中线的概念 2 三角形的角平分线的概念 3 三角形的高线的概念 4 线段的垂直平分线的概念 A B C P PB PC PB AB PC AC 2 如图 CE CF分别是 ABC的内角平分线和外角平分线 则 ECF的度数 度 3 在 ABC中 AD是BC边上的中线 已知AC 3 ABD和 ACD的周长的差是2 你能求出AB的长吗 练一练 90 1或5 1 能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形的是 A 中线B 高线C 角平分线D 边上的中垂线 A 5 如图 在 ABC中 BD平分 ABC CE是AB边上的高 BD CE交于点P 已知 ABC 600 ACB 700 求 ACE BDC的度数 400 800 A B C E D F 4 如图 AD BF都是 ABC的高线 若 CAD 30度 则 CBF 度 30 6 如图在 ABC C 90 BD平分 ABC 交AC于D 若DC 3 则点D到AB的距离是 3 7 如图 ABC中 DE垂直平分 AE cm ABD的周长是9cm 则 ABC的周长是 15cm 8 如图 已知 ABC中 B 45 C 75 AD是BC边上的高 AE是 BAC的平分线 则 DAE 150 9 如图 BE CF是 ABC的角平分线 A 40 求 BOC度数 1100 改变条件 1 如图 BE CF是 ABC的外角平分线 A 40 求 BOC度数 700 2 如图 BE CF分别是 ABC的内角与外角平分线 A 40 求 BOC度数 200 全等图形 全等三角形 基础知识 能够完全重合的两个图形 能够完全重合的两个三角形 三角形全等的判定方法 1 边边边 SSS 2 边角边 SAS 三边对应相等的两个三角形全等 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 3 角边角 ASA 两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 4 角角边 AAS 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 全等三角形的对应线段相等 全等三角形的面积相等 全等三角形的性质 平移类 旋转类 翻转类 综合类 A B C D A B C D DCB SAS DCB DC AB AC BDA CDA B C 3 判断题 1 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 2 有三角对应相等的两个三角形全等 3 成轴对称的两个三角形全等 4 面积相等的两个三角形全等 5 含有60 角的两个直角三角形全等 4 如图 已知AC平分 BCD 要说明 ABC ADC 还需要增加一个什么条件 请说明理由 D C A B 或 BAC DAC BC CD 或 B D 5 如图 在 ABC中 AB AC E F分别为AB AC上的点 且AE AF BF与CE相交于点O 1 图中有哪些全等的三角形 EBC FCB SSS EBO FCO AAS 2 图中有哪些相等的线段 3 图中有哪些相等的角 6 如图1 点D在AB上 点E在AC上 CD与BE相交于点O 且AD AE AB AC 若 B 200 CD 5cm 则 C BE 图1 图2 7 如图2 若OB OD A C 若AB 3cm 则CD 8 已知 如图 CD AB BE AC 垂足分别为D E BE CD相交于O点 1 2 图中全等的三角形共有 A 1对B 2对C 3对D 4对 D 20 5cm 3cm 阅读下题及其说理过程 已知 如图 是 中 边上的中点 说明 的理由 解 在 和 中 A B C D E 问 上面说理过程是否正确 若正确 请写出每一步的推理根据 若不正确 请指出错在哪一步 并写出你认为正确的推理过程 例1 已知如图 AB AC AO平分 BAC 请说明 1 ABO ACO 2 DO EO的理由 A B C O D E 1 2 3 4 解 1 AO平分 BAC 1 2 已知 角平分线定义 在 ABO和 ACO中 AB AC AO AO 已知 公共边 ABO ACO SAS 2 ABO ACO B COB 0C 全等三角形的对应角 对应边相等 1 2 在 BOD和 COE中 3 4 OB 0C B C 对顶角相等 BOD COE ASA DO EO 全等三角形的对应边相等 例2 如图 AD是 ABC的高 且AD平分 BAC 请指出 B与 C的关系 并说明理由 A B C D 解 是 的高 平分 C A 例3 如图 已知 ABC和 BDE是等边三角形 D在AE的延长线上 求证 CBD ABE 变式1 如图 已知 ABC和 BDE是等边三角形 D在AE的延长线上 求证 BD DC AD CBD ABE CBA DBA EBD DBA CBA EBD 60 CB AB DB EB CBD ABE 变式2 如图 已知 点C B E在同一条直线上 ABC和 BDE是等边三角形 求证 CBD ABE 变式3 如图 已知 ABC和 DEB等边三角形 C B E在一条直线上求证 BG BH 例4 如图 在 AFD和 BEC中 点A E F C在同一直线上 有下列四个论断 AD CB AE CF B D A C 请用其中三个作为条件 余下一个作为结论 编一道数学问题 并写出解答过程 B A F C D E 1 如图 已知AB ED AF CD EF BC 说明 EFD BCA的理由 2 如图 1 2 AB CD AC与BD相交于点O 则图中必定全等的三角形有 A 2对B 3对C 4对D 6对 C 巩固练习 A C B O D 3 如图 AC和DB相交于点O 若AB DC AC DB 则 B C 请说明理由 提示 连结AD 4 如图 在 ABC中 AD是 BAC的角平分线 DE是 ABD的高线 C 90度 若DE 2 BD 3 求线段BC的长 5 如下图 已知 ABC中 DE是BC边上的中垂线 若AC 5 EC 2 ADC的周长是13 求 ABC的周长 6 如上图 EF是AB的中垂线 分别延长BE AE至D C 使DE CE 则AD与BC相等吗 请说明理由 7 如下图 已知AD是 ABC的中线 CE是 ADC的中线 若 ABC的面积是8 求 DEC的面积 8 如上图 ABC中 点D是BC上的一点 点E是AD上的一点 若BD CD 2 3 DE AE 1 4 ABC的面积是8 求 DEC的面积 要想知道一个池塘的两岸上最远两点之间的距离 没有船 且不能直接去测量 如果只用绳子和尺子 怎样才能测出它们之间的距离呢 它们之间有多远呢 方案设计 A B 先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C 连接AC并延长到D 使CD AC 连接BC并延长到E 使CE CB 连接DE并测量出它的长度 DE的长度就是A B间的距离 方案一 ACD CAB SAS 方案二 1 2 AD CB AC CA 解 连结AC 由AD CB 可得 1 2在 ACD与 CAB中 如图 先作三角形ABC 再找一点D 使AD BC 并使AD BC 连结CD 量CD的长即得AB的长 方案三 如图 找一点D 使AD BD 延长AD至C 使CD AD 连结BC 量BC的长即得AB的长 BA BC 1 已知钝角 ABC 求作 1 AC边上的中线 2 C的角平分线 3 BC边上的高 作图类 2 已知线段a b c 作 ABC 使AB c AC b BC a a c b 3 已知线段a b 作 ABC 使AB a AC b A a b 4 已知线段a 作 ABC 使AB a A A a 相似三角形 知识要点 1 成比例线段 其中a b c d叫做组成比例的项 线段a d叫做比例外项 线段b c叫做比例内项 2 比例的性质 基本性质 合比性质 等比性质 知识要点 6 练习 3 比例中项 练习 当两个比例内项相等时 那么线段b叫做线段a和c的比例中项 知识要点 知识要点 4 黄金分割 练习 4 2 相似三角形的性质 对应边成比例 对应角相等 对应高 对应中线 对应角平分线的比等于相似比 对应周长的比等于相似比 对应面积的比等于相似比的平方 方法2 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等 那么这两个三角形相似 A A B B ABC A B C 两个三角形相似的判定方法 方法1 通过定义 不常用 回顾 DE BC ADE ABC 方法3 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例 并且夹角相等 那么这两个三角形相似 ABC A B C 两个三角形相似的判定方法 方法4 如果两个三角形的三组对应边的比相等 那么这两个三角形相似 ABC A B C 2 下列图形一定相似的有哪几个 A 邻边对应成比例的两个平行四边形 B 有一条边相等的两个矩形 C 有一个角相等的两个菱形 D 都含有100 的两个等腰三角形 C D 4 将一矩形对折后 对折后的矩形与原矩形相似 则原矩形的长宽之比是 5 平行四边形ABCD边AB上有点E 且AE BE 1 2 已知三角形AEF的面积为4 求平行四边形ABCD的面积为 8 5或2 5 96 条 4 10 工地上两根电线杆相距Lm 分别在高4m和6m的A C处用铁丝将其固定 求铁丝的交点M到地面的距离MN x y 2 y 2 D 特殊三角形 1 什么是等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形 练1已知等腰三角形的两边长分别是4和6 则它的周长是 练2已知等腰三角形的两边长分别是3和6 则它的周长是 练3已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分 则等腰三角形的底边长是 14或16 15 1cm 2 等腰三角形是轴对称图形 它的对称轴是 3 等腰三角形的两个底角相等 顶角平分线所在的直线 练5 已知等腰三角形的一个底角是300 则它的顶角是 练6 已知等腰三角形的一个角是300 则它的顶角是 练7 已知等腰三角形的一个角是1300 则它的顶角是 练8 已知等腰三角形的顶角是底角的2倍 则它的底角是 1200 1200或300 1300 450 等腰三角形三线合一等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 在 ABC中 1 AB AC AD BC 2 AB AC AD是中线 3 AB AC AD是角平分线 1 2 B C 1 2 AD BC AD BC B C 4 如果一个三角形有两个角相等 那么这个三角形是 等腰三角形 练9 在 ABC中 AB AC 1 2则 ABD ACD 解 1 2 DB DC 为什么 又 AB AC AD AD ABD ACD sss 5 三边都相等的三角形叫做等边三角形也叫正三角形等边三角形是特殊的等腰三角形 是腰和底边相等的等腰三角形 等边三角形的性质 a 三边相等 b 三个角相等 都是600 c 三线合一 d 轴对称图形 三条对称轴 说一说 你用什么方法可以判定一个三角形是等边三角形 9 有一个角是直角的三角形叫直角三角形 10 直角三角形的两个锐角 11 有两个角互余的三角形是直角三角形 12 两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形 它的两个底角相等 都是450 练10 在 ABC中 C Rt B 3 A求 B和 C的度数 练11 在 ABC中 A B C 1 1 2求三个内角的度数 并判断是什么三角形 互余 13 直角三角形斜边上的中线等于 14 若三角形中一边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是 练12 在Rt ABC中 CD是斜边AB上的中线 若CD 3 5厘米 则AB 厘米 斜边的一半 7 直角三角形 直角 15 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 16 勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 已知是Rt 得出边的关系 ABC是Rt a2 b2 c2 a2 b2 c2 ABC是Rt C是直角 已知边的关系 判断出是Rt 练14 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米 那么这个三角形的周长是多少厘米 请写出并记忆常见的勾股数 3 4 13 12 5 17 直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简写成 斜边 直角边 或 HL 18 角的内部 到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 解直角三角形复习 单元知识网络 直角三角形的边角关系 解直角三角形 知一边一锐角解直角三角形 知两边解直角三角形 添设辅助线解直角三角形 知斜边一锐角解直角三角形 知一直角边一锐角解直角三角形 知两直角边解直角三角形 知一斜边一直角边解直角三角形 实际应用 抽象出图形 再添设辅助线求解 直接抽象出直角三角形 解直角三角形 目标一 目标二 目标三 一 在Rt ABC中 C为直角 A B为锐角 它们所对的边分别为c a b 其中除直角C外 其余的5个元素之间有以下关系 三边之间的关系 锐角之间的关系 边角之间的关系 二 锐角三角函数的性质 sin2 cos2 tan cot tan cot 1 1 2 定理 在Rt 中 30o角所对的边等于斜边的一半 三 特殊三角函数值 3 已知锐角三角形ABC中 求角C的度数 四 基础练习 4 在Rt ABC中 C 90 根据下列条件 解此直角三角形 A 60 c 8 则a b a 2 cosA c sinA 则tanB 5 在ABCD中AB 6 B 60 求平行四边形的的面积 6 如图 在 ABC中 已知AC 6 A 60 B 45 求 ABC的面积 A C 例1 我军某部在一次野外训练中 有一辆坦克准备通过一座小山 已知山脚和山顶的水平距离为1000米 山高为565米 如果这辆坦克能够爬300的斜坡 试问 它能不能通过这座小山 五 例题精讲 例2 如图 一段河坝的断面为梯形ABCD 试根据图中数据 求出坡角 和坝底宽AD i CE ED 1 结果保留根号 单位米 例3 如图所示 秋千链子的长度为3m 静止时的秋千踏板 大小忽略不计 距地面0 5m 秋千向两边摆动时 若最大摆角 摆角指秋千链子与铅垂线的夹角 约为53 则秋千踏板与地面的最大距离约为多少 参考数据 sin53 0 8 cos53 0 6 例4 外国船只 除特许外 不得进入我国海洋100海里以内的区域 如图 设A B是我们的观察站 A和B之间的距离为160海里 海岸线是过A B的一条直线 一外国船只在P点 在A点测得AP 450 同时在B点测得 ABP 600 问此时是否要向外国船只发出警告 令其退出我国海域 C 补充题 山顶上有一旗杆 在地面上一点A处测得杆顶B的仰角 0 杆底C的仰角 0 已知旗杆高BC 20米 求山高CD 课后思考题 2004成都 如图 某同学家住在公寓AD内 她家的河对岸新建了一座大厦BC 为了测得大厦的高度 她在楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60 爬上楼顶D处测得大厦的顶部B的仰角为30 已知公寓AD高82米 请你计算出大厦高度BC 及大厦与公寓间的距离AC 作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形 作高线可以把平行四边形 梯形转化为含直角三角形的图形 六 小结 连结对角线 可以把矩形 菱形和正方形转化为含直角三角形的图形 连线割补 可以把不规则四边形转化为含直角三角形的图形 四边形 一 四边形与特殊四边形的关系 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 梯形 等腰梯形 直角梯形 两组对边分别平行 有一个角是直角 邻边相等 邻边相等 有一个角是直角 一组对边平行另一组对边不平行 两腰相等 有一个角是直角 有一个角是直角且邻边相等 二 几种特殊四边形的性质 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 四条边都相等 对边平行 四条边都相等 两底平行 两腰相等 角 对角相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 同一底上的两个角相等 对角线 两条对角线互相平分 两条对角线互相平分且相等 两条对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 两条对角线互相垂直平分且相等 每条对角线平分一组对角 两条对角线相等 对称性 中心对称 轴对称中心对称 轴对称中心对称 轴对称中心对称 轴对称 三 特殊四边形的常用判定方法 平行四边形 1 两组对边分别平行 2 两组对边分别相等 4 两条对角线互相平分 3 两组对角 矩形 1 有三个角是直角 2 是平行四边形 并且有一个角是直角 3 是平行四边形 并且两条对角线相等 菱形 1 四条边都相等 2 是平行四边形 并且有一组邻边相等 3 是平行四边形 并且两条对角线互相垂直 正方形 1 是矩形 并且有一组邻边相等 2 是菱形 并且有一个角是直角 等腰梯形 1 是梯形 并且同一底上的两个角相等 2 是梯形 并且两条对角线相等 分别相等 五 其他重要定理 1 四边形的内角和等于 360 2 n边形的内角和等于 3 任意多边形的外角和等于 360 4 关于中心对称的两个图形的性质 1 是全等形 2 对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分 七 三角形 梯形中位线定理 1 三角形的中位线定理 DE BC 2 梯形的中位线定理 EF AD BC 八 巩固练习 一 判断题 1 平行四边形的对角线相等 2 矩形的四个角都相等 3 菱形的对角线互相垂直平分 4 有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形 5 一组对边平行的四边形是梯形 6 有两个角相等的梯形是等腰梯形 7 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 8 对角线相等的四边形是矩形 9 在梯形中上面的底叫做上底 下面的底叫做下底 10 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 二 选择题 D B D B C B C D D 三 填空题 相等 2 两条对角线的四边形是矩形 互相平分且相等 3 两条对角线的平行四边形是菱形 互相垂直 4 两条对角线的四边形是菱形 互相垂直平分 5 两条对角线的矩形是正方形 互相垂直 6 两条对角线的菱形是正方形 相等 7 两条对角线的平行四边形是正方形 互相垂直并相等 8 两条对角线的四边形是正方形 互相垂直平分并相等 9 一个多边形的每一个外角都等于40 这个多边形的边数是 它的内角和是 9 1260 10 等腰梯形在同一底上的两个角 对角线 相等 相等 1 两条对角线的平行四边形是矩形 考考你 填空题 1 改变一个平行四边形四个角的大小 而不改变四条边的长 则所得的四边形是 平行四边形 2 菱形是轴对称图形 它的对称轴有 条 矩形也是轴对称图形 它的对称轴有 条 2 2 3 一个矩形相框的周长是40cm 一条边长是8cm 最大能装进面积是 的照片 96 4m 菱形 矩形 正方形 6 从矩形一个顶点作一条对角线的垂线 这条垂线将这条对角线分成1 3两部分 则矩形两条对角线的夹角为 7 已知四边形ABCD是菱形 是正三角形 E F分别在BC CD上 且EF CD 则 80 8 13 已知 正方形的边长是4 则它的对角线的长是 面积是 16 14 已知 正方形的对角线的长是6 则它的边长是 面积是 九 几种常见的平行四边形辅助线的画法 1 对角线 2 构建新的平行四边形 3 构建全等三角形 4 构建等腰三角形 十 几种常见的梯形的辅助线画法 1 构建平行四边形 2 平移一条对角线 E E 3 构建全等三角形 F 4 构建矩形 5 作梯形的中位线 6 构建大平行四边形 7 构建三角形 E O 例 已知 如图 矩形ABCD中 E是BC上一点 DF AE于F 若AE BC 求证 CE FE 分析 从求证入手 要证CE FE 由已知AE BC可知 只要证AF BE即可 而AF BE分别在 AFD EBA中 即要证明 AFD EBA 证明 四边形ABCD是矩形 AD BC AE B 90 AD BC DAE AEB 又 DF AE于F AFD 90 B AFD EBA AF BE AE BC AE AF BC BE即CE FE 练习 三 解答题 菱形ABCD中 对角线AC BD交于点O E F分别是AB AD中点 是说明OE OF 如图E为正方形ABCD外一点 CDE为等边三角形 求 AED的度数 3 如图 已知正方形ABCD的对角线AC BD相交于点O E是AC上一点 过点A作AG EB 垂足为G AG交BD于F 求证 OE OF 圆的基本性质 一 知识系统 圆的定义 有关概念 圆的基本性质 圆心 半径 直径 弧 弦 弦心距 等圆 同心圆 圆心角 圆周角 补充圆内角 圆外角 三角形外接圆 圆的内接三角形 四边形的外接圆 圆的内接四边形 点和圆的位置关系 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的中心对称性和旋转不变性 圆的轴对称性 垂径定理 圆心角定理 圆周角定理 圆内接四边形的性质 1 本课时重点是垂径定理及其推论 圆心角 圆周角 弦心距 弧之间的关系 2 圆的定义 1 是通过旋转 2 是到定点的距离等于定长的点的集合 3 点和圆的位置关系 圆心到点的距离为d 1 点在圆上 d r 2 点在圆内 d r 3 点在圆外 d r 二 要点 考点 4 与圆有关的概念 1 弦 连结圆上任意两点的线段 2 直径 经过圆心的弦 3 弧 圆上任意两点间的部分 4 优弧 劣弧 半圆 5 等弧 在同圆或等圆中 能够完全重合的孤 6 圆心角 顶点在圆心 角的两边与圆相交 7 圆周角 顶点在圆上 角的两边与圆相交 8 三角形外心及性质 二 要点 考点 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 推论1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 推论2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 推论3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并平分弦所对的另一条弧 5 有关定理及推论 1 定理 不在同一直线上的三个点确定一个圆 2 垂径定理及其推论 二 要点 考点 4 圆周角 定理 一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对弦的弦心距相等 3 圆心角 弧 弦 弦心距 二 要点 考点 5 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 二 要点 考点 例1 在直径为400mm的圆柱形油槽内 装入一部分油 油面宽320mm 求油的深度 解析 本题是以垂径定理为考查点的几何应用题 没有给出图形 直径长是已知的 油面宽可理解为截面圆的弦长 也是已知的 但由于圆的对称性 弦的位置有两种不同的情况 如图 1 和 2 图 1 中OC 120 mm CD 80 mm 图 2 中OC 120 mm CD OC OD 320 mm 三 经典习题 例2 如图 O是 CAE平分线上的一点 以点O为圆心的圆和 CAE的两边分别交于点B C和D E 连结BD CE 求证 1 BC DE 2 AC AE 3 DB CE 三 经典习题 解析 1 要证弧相等 即要证弦相等或弦心距离相等 又已知OA是 CAE的平分线 联想到角平分线性质 故过O分别作OG A