高中数学第二讲证明不等式的基本方法模块复习课课件新人教A版.ppt

第二课证明不等式的基本方法 网络体系 核心速填 1 比较法 1 作差比较法的依据 若a b R 则 a b a b 0 a b a0 b 0 则 a b 1 a b a b a b 0 a b 0 3 比较法的步骤 作差 商 变形 判符号 与0 或1 比较大小 结论 2 综合法推证过程 3 分析法推证过程 4 反证法反设 推理 矛盾 结论 5 放缩法分析待证式的形式特点 适当放大或缩小 易错警示 1 利用比较法证明不等式时 最后变形的结果要容易判断其符号 即变形为一个常数 或变形为若干个因式的乘积 或变形为一个或几个平方的和等 2 用分析法证明不等式时 一定要注意用好反推符号 或 要证明 只需证明 即证明 等词语 3 用放缩法时 放缩要得当 不能 过大 也不能 过小 类型一比较法证明不等式 典例1 设a b 0 求证 3a3 2b3 3a2b 2ab2 证明 3a3 2b3 3a2b 2ab2 3a2 a b 2b2 b a a b 3a2 2b2 因为a b 0 所以a b 0 3a2 2b2 2a2 2b2 0 从而 3a2 2b2 a b 0 故3a3 2b3 3a2b 2ab2成立 方法技巧 比较法证明不等式的依据及步骤 1 依据 不等式的意义及实数比较大小的充要条件 2 一般步骤 作差 恒等变形 判断结果的符号 下结论 其中 变形是证明推理中一个承上启下的关键 变形的目的在于判断差的符号 而不是考虑差能否化简或值是多少 变形所用的方法要具体情况具体分析 可以配方 可以因式分解 可以运用一切有效的恒等变形 变式训练 1 2016 南阳高二检测 已知a b是正实数 n是正整数 求证 a b an bn 2 an 1 bn 1 证明 a b an bn 2 an 1 bn 1 an 1 abn anb bn 1 2an 1 2bn 1 abn anb an 1 bn 1 a bn an b an bn a b bn an 当a b 0时 bn an0 此时 a b bn an a 0时 bn an 0 a b0时 bn an 0 a b 0 此时 a b bn an 0 综上所述 a b an bn 2 an 1 bn 1 0 即 a b an bn 2 an 1 bn 1 2 2016 福州高二检测 已知 0 求证 2sin2 证明 2sin2 4sin cos 因为 0 所以sin 0 1 cos 0 又 2cos 1 2 0 所以2sin2 0 所以2sin2 类型二综合法证明不等式 典例2 已知a 0 a2 2ab c2 0且bc a2 试证明 b c 证明 因为a2 2ab c2 0 所以a2 c2 2ab 又a2 c2 2ac 且a 0 所以2ab 2ac 所以b c 若b c 由a2 2ab c2 0 得a2 2ab b2 0 所以a b 从而a b c 这与bc a2矛盾 从而b c 方法技巧 综合法证明不等式的依据 注意点及思考方向 1 依据 已知的不等式以及逻辑推证的基本理论 2 注意点 作为依据和出发点的几个重要不等式 已知或已证 成立的条件往往不同 应用时要先考虑是否具备应有的条件 避免错误 如一些带等号的不等式 应用时要清楚取等号的条件 即对重要不等式中 当且仅当 时 取等号 的理由要理解掌握 3 思考方向 综合法证明不等式的思考方向是 顺推 即由已知的不等式出发 逐步推出其必要条件 由因导果 最后推导出所要证明的不等式成立 变式训练 1 2016 昆明高二检测 已知a b是不相等的正实数 求证 a2b a b2 ab2 a2 b 9a2b2 解题指南 因为a b是不相等的正实数 所以a2b a b2及ab2 a2 b均可用三正数的均值不等式 从而用综合法可证明 证明 因为a b是正实数 所以a2b a b2 3 3ab 0 当且仅当a2b a b2即a b 1时 等号成立 同理 ab2 a2 b 3 3ab 0 当且仅当ab2 a2 b即a b 1时 等号成立 所以 a2b a b2 ab2 a2 b 9a2b2 当且仅当a b 1时 等号成立 因为a b 所以 a2b a b2 ab2 a2 b 9a2b2 2 若a b c都是正数 能确定与的大小吗 解析 能确定 因为a b c都是正数 b c 4a a c 4b a b 4c 所以 2 a b c 所以 类型三分析法证明不等式 典例3 设a b c均为大于1的正数 且ab 10 求证 logac logbc 4lgc 证明 由于a 1 b 1 故要证明logac logbc 4lgc 只要证明 4lgc 又c 1 故lgc 0 所以只要证 4即 4 因ab 10 故lga lgb 1 只要证明 4 由a 1 b 1 故lga 0 lgb 0 所以0 lgalgb 即 式成立 所以 原不等式logac logbc 4lgc得证 方法技巧 分析法证明不等式的依据 思维方向及适用方法 1 依据 分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论 2 思维方向 分析法证明不等式的思维方向是 逆推 即由待证的不等式出发 逐步寻找使它成立的充分条件 执果索因 最后得到的充分条件是已知 或已证 的不等式 3 适用方法 当要证的不等式不知从何入手时 可考虑用分析法去证明 特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效 变式训练 设f x ax2 bx c a 0 若函数y f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 求证 为偶函数 证明 要证为偶函数 只需证明其对称轴为x 0 即只需证 0 只要证a b 由已知 抛物线f x 1 的对称轴x 1与对称轴x 关于y轴对称 所以 1 所以a b 所以为偶函数 类型四反证法与放缩法证明不等式 典例4 已知01 y 2 z 1 z 2 x 1均成立 则三式相乘有 xyz 2 x 2 y 2 z 1 由于0 x 2 所以0 x 2 x x2 2x x 1 2 1 1 同理 0 y 2 y 1 且0 z 2 z 1 所以三式相乘得0 xyz 2 x 2 y 2 z 1 与 矛盾 故假设不成立 所以x 2 y y 2 z z 2 x 不都大于1 方法技巧 1 反证法先假设要证明的结论是不正确的 然后利用公理 已有的定义 定理 命题的条件逐步分析 得到和命题的条件 已有的定义 定理 公理等 矛盾的结论 以此说明假设的结论不成立 从而原来的命题结论正确 2 放缩法将需要证明的不等式的值适当地放大 或缩小 使不等式由繁化简 达到证明的目的 变式训练 1 对于任何大于1的自然数n 证明 证明 设a b 0 m 0 则所以 所以所以 2 设Sn 求证 不等式对所有的正整数n都成立 证明 因为且所以对所有的正整数n都成立