高中数学第4章导数应用1.2函数的极值课件北师大版.ppt

1 2函数的极值 学课前预习学案 横看成岭侧成峰 远近高低各不同 说的是庐山的高低起伏 错落有致 在群山之中 各个山峰的顶端 虽然不一定是群山的最高处 但它却是其附近的最高点 同样 各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处 但它却是附近的最低点 那么 在数学上 如何来刻画这种现象呢 1 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在 的函数值都 x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极大值点 其函数值f x0 为函数的极大值 2 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在 的函数值都 x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极小值点 其函数值f x0 为函数的极小值 1 函数极值的有关定义 任何一点 不大于 任何一点 不小于 极大值 极小值 极大值点 极小值点 函数y f x 在区间 a b 上的图像 如图所示 1 注意区别极值点与极值概念 如图 函数y f x 的极大值点为x1 x3 函数y f x 的极小值点为x2 x4 函数y f x 的极大值为f x1 f x3 函数y f x 的极小值为f x2 f x4 极值点为函数取极值时函数的自变量x的值 2 函数的极值点在函数定义区间 a b 内 不可能是区间端点 3 若函数y f x 在 a b 内有多个极值时 极大值点与极小值点一般交替出现 且两个相邻极大 小 值点间必有一个极小 大 值点 4 函数的极大值与极小值间无必然的大小关系 如图 尽管x2 x4均为极小值点 但f x2 f x4 有时y f x 的极小值反比极大值大 如图中f x4 f x1 1 如果函数y f x 在区间 a x0 上是单调递增的 在区间 x0 b 上是单调递减的 则x0是极 值点 f x0 是极 值 2 如果函数y f x 在区间 a x0 上是单调递减的 在区间 x0 b 上是单调递增的 则x0是极 值点 f x0 是极 值 2 函数的单调性与极值 大 大 小 小 1 对于可导函数来说 y f x 在极值点处的导数为0 但导数为0的点不一定是极值点 例如 函数y x3在x 0处 f 0 0 但x 0不是函数的极值点 2 可导函数y f x 在x0处取得极值的充要条件是f x 0 且在x0的左侧与右侧 f x 的符号不同 3 若函数y f x 在 a b 上有极值 则y f x 在 a b 上不是单调函数 即在区间上的单调函数没有极值 例如 函数y x2在 2 2 上有极值 其单调性是先减后增 函数y x3在R上是递增的 没有极值 4 极大值点可以看成函数递增区间到递减区间的转折点 极小值点可以看成函数递减区间到递增区间的转折点 1 函数f x x3 3x2 7的极大值是 A 7B 7C 3D 3解析 f x 3x2 6x 由f x 0得x 0或x 2 在x 0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 f 0 7为函数的极大值 答案 B 2 函数f x ax3 bx在x 1处有极值 2 则a b的值分别为 A 1 3B 1 3C 1 3D 1 3解析 f x 3ax2 b f 1 3a b 0 a b 2 解得a 1 b 3 答案 A 3 函数y x3 6x的极大值为 极小值为 讲课堂互动讲义 求函数的极值 求函数极值的一般步骤是 1 确定函数的定义域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 解析 1 因为f x x4 4x3 5 所以f x 4x3 12x2 4x2 x 3 令f x 4x2 x 3 0 得x1 0 x2 3 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 设函数f x ax3 bx2 cx在x 1和x 1处有极值 且f 1 1 求a b c 并求其极值 含参数的函数的极值 此类问题属于逆向思维问题 通过对算法过程和原理的分析 发现题目中蕴含的等量关系或不等关系是解题的关键 2 已知函数f x x3 3ax2 2bx在点x 1处的极小值为 1 试确定a b的值 并求f x 的单调区间 12分 设a为实数 函数f x x3 x2 x a 1 求f x 的极值 2 当a在什么范围内取值时 曲线y f x 与x轴仅有一个交点 思路导引 1 先求导数f x 然后按求极值的基本方法求解 2 当函数f x 的极大值小于零或极小值大于零时 曲线y f x 与x轴仅有一个交点 进而得关于a的不等式求解即可 函数极值的应用 极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用 以及与单调性问题的综合 题目着重考查已知与未知的转化 以及函数与方程的思想 分类讨论的思想在解题中的应用 在解题过程中 要熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略 3 已知a为实数 函数f x x3 3x a 1 求函数f x 的极值 并画出其图像 草图 2 当a为何值时 方程f x 0恰好有两个不同的实数根 解析 1 由f x x3 3x a 得f x 3x2 3 令f x 0 得x 1或x 1 当x 1 时 f x 0 当x 1 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 所以函数f x 的极小值为f 1 a 2 极大值为f 1 a 2 由单调性 极值可画出函数f x 的大致图像 如图所示 这里 极大值a 2大于极小值a 2 2 结合图像 当极大值a 2 0时 有极小值小于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰有两个不同的实数根 所以a 2满足条件 当极小值a 2 0时 有极大值大于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰有两个不同的实数根 所以a 2也满足条件 综上 当a 2时 方程恰有两个不同的实数根 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 求常数a b的值 错因 根据极值的定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 此题未验证x 1两侧函数的单调性 故求错 正解 求解过程同上 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在R上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1处取得极小值 因此a 2 b 9