《理论物理导论》心得.doc

学习理论物理心得（第二周）简介这篇心得是从第二周开始的，因为第一周没有去上课。第二周老师讲了分析力学的核心内容：从最小作用量原理到哈密顿正则方程再到泊松括号，按老师的意思，这些工作都是为了以后能理解量子力学做准备。作为一个数院人，我想说虽然这门课的思想是华丽的，但叙述却异常混乱。其中最令人感到惊讶的是随便给两个物理量A，B都可以有的概念，另一个令人感到困惑的是对于和的相关性的讨论有时候他们被看作无关变量，有时候后者又被看作是前者的导数。这两种混乱在讨论一个物理A关于和的偏导时更是纠结到一起。为此我试图在这篇心得中，构建一个在数学上不会使引起混乱和歧义的“分析力学”。一开始我会给出“力学系统”的定义。大家会看到我给出的定义是完全数学的事实上我只是定义了这个系统在做数学演算时会用到的“数据结构”，而不是陷入令人混淆的文字解释中。其次我定义了“轨迹”的概念。然后用完全数学的语言引入了某个“力学系统”的“物理轨迹”的概念。之后在众多“力学系统”中我选择了“牛顿系统”作更深入的讨论，直到证明“牛顿系统”的“物理轨迹”正是满足“牛顿第二定理”的轨迹。届时大家可能会想，我所做的不过是把一般教课书中的“最小作用量原理”用另外一种语言叙述了一遍，所谓“系统”和“轨迹”的概念非常的多余。然而正是这些看似多余的概念严格的定义“物理量”和“物理量之间的偏导”的概念。在这些严格的数学概念下所谓的哈密顿正则方程也变的不再高深。最后引入的泊松括号也变的意义明显。最后我讨论了一下泊松括号的内涵，并给出扩展泊松括号的概念。在这些对泊松括号的洞见下，一些泊松括号的代数性质也自然浮出水面。 力学系统的物理轨迹定义：一个自由度为n的系统是指一个从到的无限阶可微的函数L。定义：一个自由度为n的轨迹是指一个从映到的函数： 要注意的是这里和是两个无关的从映到的函数。任何两个n维多元实函数放在一起都可以叫做一个自由度为n的轨迹。比如一个不连续的q可以看作是一个发生了“瞬间转移”的轨迹。定义：一个轨迹被称做运动轨迹当且仅当它们可微，且： 不难看出上述定义中的在是唯一的。称为该轨迹的位矢，为该轨迹的速度，为该轨迹的加速度。定义：一个n维轨迹被称作n维系统L的物理轨迹当且仅当： (1)是运动轨迹 (2)对任意和，和任意运动轨迹列，如果，则 这里实际上是把满足最小作用量原理的轨迹定义成了所谓的“物理轨迹”使用严格极限语言，而不是变分语言。这样在数学推导中就不会遇到一开始所说的令人困惑的问题。同时要注意的是这样的定义暗示着“最小作用量原理”实际是“作用量极值”定理。定理（拉格朗日）：一个运动轨迹是系统L的物理轨迹当且仅当 证明： 故运动轨迹是系统L的物理轨迹等价于：对任意和，和任意运动轨迹列，如果，则 用反证法不难证明它等价于（注意连续性）： 证毕。 为了简化记录并保证数学描述的准确性，下面我们定义“物理量”的概念，以及“物理量之间的偏微分”的概念。我们是使用的定义是归纳式的。定义：一个物理量一般由四个元素组成的：1.它的生成轨迹2.它的生成量3.它的生成函数.4它的表现函数。具体如下： （1）若是轨迹，则亦称是基础物理量。它的生成轨迹是；它的表现函数是（到上的映射）。基础物理量没有生成量和生成函数的概念。 （2）称g是物理量若： 1.其生成量a是物理量或基础物理量。g的生成轨迹是a的生成轨迹。 2.存在正整数n，m，使得a的表现函数为将映入，g的表现函数将映入，且g的生成函数把映到。 3.g的表现函数为。 此时记，其表现函数为。 4.考察g的生成量的生成量的生成量。通过有限步会遇到基础物理量。定义：若是物理量，则引入三个物理量的运算： (1)：= 上式的内涵是：是一个物理量，它是由（基础）物理量a通过函数生成的。 上式的内涵是：是一个物理量，它是由（基础）物理量a通过函数生成的。 上式的内涵是：是一个物理量，它是由（基础）物理量a通过函数 生成的。其中是指的表现函数的导数。注意这里的的含义。对两个物理量，是指，也即这两个物理量的表现函数相同而是指两个物理量的4个要素都相同。于是重新叙述拉格朗日定理如下：定理（拉格朗日）：一个运动轨迹是系统L的物理轨迹当且仅当 其中，也就是说是基础物理量通过函数生成的物理量。啊打到这里已经到下午了还要做好多事。我明天继续补吧。