高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的均值课件 新人教A版选修2-3.ppt

2 3离散型随机变量的均值与方差2 3 1离散型随机变量的均值 自主学习新知突破 1 通过实例 理解取有限个值的离散型随机变量均值 数学期望 的概念和意义 2 能计算简单离散型随机变量的均值 数学期望 并能解决一些实际问题 3 会求两点分布和二项分布的均值 某书店订购一新版图书 根据以往经验预测 这种新书的销售量为40 100 120本的概率分别为0 2 0 7 0 1 这种书每本的进价为6元 销售价为8元 如果售不出去 以后处理剩余书时每本为5元 问题 试用盈利决定书店应订购多少本新书 提示 销售量的平均值为40 0 2 100 0 7 120 0 1 90 由此决定书店应订购90本新书 定义 一般地 若离散型随机变量X的分布列如下 则称E X 为随机变量X的均值或X的数学期望 它反映了离散型随机变量取值的 离散型随机变量的均值或数学期望 x1p1 x2p2 xnpn 平均水平 1 两点分布 E X 2 二项分布 在n次独立重复试验中 X B n p 则E X 两点分布 二项分布的均值 p np 若Y aX b 其中a b为常数 X是随机变量 则Y也是随机变量 且有E aX b 均值的性质 aE X b 准确理解均值的性质 1 特别地 当a 0时 E b b 也就是说常数的数学期望是这个常数的本身 当a 1时 E X b E X b 当b 0时 E aX aE X 这些特殊情况同学们一定要掌握 2 对于任意实数a b X是随机变量 Y也是随机变量 一定有E aX bY aE X bE Y 1 已知 的分布列为 答案 D 2 同时抛掷5枚均匀的硬币80次 设5枚硬币正好出现2枚正面向上 3枚反面向上的次数为X 则X的均值是 A 20B 25C 30D 40 4 某次英语单元测验由100道选择题构成 每道选择题有4个选项 其中有且仅有一个选项是正确答案 每道题选择正确得1分 不选或选错均不得分 学生甲在测验中对每道题都从4个选项中随机选择一个 求他在这次单元测验中成绩的期望 合作探究课堂互动 离散型随机变量的均值 在10件产品中 有3件一等品 4件二等品 3件三等品 从这10件产品中任取3件 求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望 规律方法 求离散型随机变量X的均值的步骤 1 理解X的意义 写出X可能取的全部值 2 求X取每个值的概率 3 写出X的分布列 有时可以省略 4 利用定义公式E X x1p1 x2p2 xnpn求出均值 1 盒中装有5节同牌号的五号电池 其中混有两节废电池 现在无放回地每次取一节电池检验 直到取到好电池为止 求抽取次数X的分布列及均值 均值性质的应用 思路点拨 分布列中含有字母m 应先根据分布列的性质 求出m的值 再利用均值的定义求解 对于 2 可直接套用公式 也可以先写出Y的分布列 再求E Y 规律方法 1 该类题目属于已知离散型分布列求期望 求解方法是直接套用公式 E X x1p1 x2p2 xnpn求解 2 对于aX b型的随机变量 可利用均值的性质求解 即E aX b aE X b 也可以先列出aX b的分布列 再用均值公式求解 比较两种方式显然前者较方便 解析 两点分布 二项分布的应用 某运动员投篮命中率为p 0 6 求 1 一次投篮时命中次数 的期望 2 重复5次投篮时 命中次数 的期望 思路点拨 1 投篮一次有两个结果 命中与不中 因此命中次数 服从两点分布 2 重复5次投篮可认为是5次独立重复试验 命中次数 服从二项分布 规律方法 常见的随机变量的均值 1 若X服从两点分布 则E X p 2 若X服从二项分布 则E X np 特别提醒 二项分布的数学期望是求期望的一种常见的形式 同学们在理解的基础上应熟练记住 因为在有些二项分布的解答中 如果采用E X np 会使问题的解答大大减少运算量 3 某电视台开展有奖答题活动 每次要求答30个选择题 每个选择题有4个选项 其中有且只有一个正确答案 每一题选对得5分 选错或不选得0分 满分150分 规定满100分拿三等奖 满120分拿二等奖 满140分拿一等奖 有一选手选对任意一题的概率是0 8 则该选手有望能拿到几等奖 解析 选对题的个数X B 30 0 8 故E X 30 0 8 24 由于24 5 120 分 所以该选手有望能拿到二等奖 提示 上述解答错误的主要原因是没有明确随机变量 取值的意义 1表示第一次试验就成功 2表示第一次失败 第二次成功 由于实验最多进行3次 所以 3表示前两次失败 第三次可能成功也可能失败 因此在求随机变量取各值的概率时 务必理解各取值的实际意义 以免失误