二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题.ppt

一 f x Pm x e x型 二 f x elx Pl x coswx Pn x sinwx 型 12 9二阶常系数非齐次线性微分方程 上页 下页 铃 结束 返回 首页 方程y py qy f x 称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y Y x 与非齐次方程本身的一个特解y y x 之和 y Y x y x 提示 Q x 2 p Q x 2 p q Q x e x Q x 2 Q x 2Q x e x p Q x Q x e x qQ x e x 一 f x Pm x e x型 y Q x e x 设方程y py qy Pm x e x特解形式为 下页 Q x 2 p Q x 2 p q Q x Pm x 则得 Q x e x Q x e x q Q x e x y py qy 提示 此时 2 p q 0 要使 式成立 Q x 应设为m次多项式 Qm x b0 xm b1xm 1 bm 1x bm 1 如果 不是特征方程r2 pr q 0的根 则 y Qm x e x 下页 一 f x Pm x e x型 y Q x e x 设方程y py qy Pm x e x特解形式为 Q x 2 p Q x 2 p q Q x Pm x 则得 提示 此时 2 p q 0 但2 p 0 要使 式成立 Q x 应设为m 1次多项式 Q x xQm x 其中Qm x b0 xm b1xm 1 bm 1x bm 2 如果 是特征方程r2 pr q 0的单根 则 y xQm x e x 下页 1 如果 不是特征方程r2 pr q 0的根 则 y Qm x e x 一 f x Pm x e x型 y Q x e x 设方程y py qy Pm x e x特解形式为 Q x 2 p Q x 2 p q Q x Pm x 则得 提示 此时 2 p q 0 2 p 0 要使 式成立 Q x 应设为m 2次多项式 Q x x2Qm x 其中Qm x b0 xm b1xm 1 bm 1x bm 3 如果 是特征方程r2 pr q 0的重根 则 y x2Qm x e x 下页 2 如果 是特征方程r2 pr q 0的单根 则 y xQm x e x 1 如果 不是特征方程r2 pr q 0的根 则 y Qm x e x 一 f x Pm x e x型 y Q x e x 设方程y py qy Pm x e x特解形式为 Q x 2 p Q x 2 p q Q x Pm x 则得 结论 二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy Pm x e x有形如y xkQm x e x的特解 其中Qm x 是与Pm x 同次的多项式 而k按 不是特征方程的根 是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0 1或2 下页 提示 因为f x Pm x e x 3x 1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为y b0 x b1 把它代入所给方程 得 例1求微分方程y 2y 3y 3x 1的一个特解 解 齐次方程y 2y 3y 0的特征方程为r2 2r 3 0 b0 x b1 2 b0 x b1 3 b0 x b1 3b0 x 2b0 3b1 2b0 3b0 x 3b1 3b0 x 2b0 3b1 3x 1 提示 3b0 3 2b0 3b1 1 特解形式 例2求微分方程y 5y 6y xe2x的通解 解 齐次方程y 5y 6y 0的特征方程为r2 5r 6 0 其根为r1 2 r2 3 提示 齐次方程y 5y 6y 0的通解为Y C1e2x C2e3x 因为f x Pm x e x xe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为y x b0 x b1 e2x 把它代入所给方程 得 2b0 x 2b0 b1 x 提示 2b0 1 2b0 b1 0 特解形式 首页 例2求微分方程y 5y 6y xe2x的通解 解 齐次方程y 5y 6y 0的特征方程为r2 5r 6 0 其根为r1 2 r2 3 2b0 x 2b0 b1 x 因此所给方程的通解为 因为f x Pm x e x xe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为y x b0 x b1 e2x 把它代入所给方程 得 特解形式 二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy e x Pl x cos x Pn x sin x 有形如y xke x R 1 m x cos x R 2 m x sin x 的特解 其中R 1 m x R 2 m x 是m次多项式 m max l n 而k按 i 或 i 不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 二 f x elx Pl x coswx Pn x sinwx 型 下页 结论 解 结束 特解形式 例3求微分方程y y xcos2x的一个特解 因为f x e x Pl x cos x Pn x sin x xcos2x i 2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为 齐次方程y y 0的特征方程为r2 1 0 把它代入所给方程 得 y ax b cos2x cx d sin2x 3ax 3b 4c cos2x 3cx 4a 3d sin2x xcos2x