一元函数微分学总结.ppt

二 典型例题分析与解答 第二 三章 机动目录上页下页返回结束 一元函数微分学总结 一 知识点与考点 机动目录上页下页返回结束 一 知识点与考点 一 导数与微分 若令 1 导数定义 则 2 左右导数 左导数 右导数 机动目录上页下页返回结束 导函数简称导数 且有 函数y f x 在点 4 导数的几何意义 处的导数 表示曲线y f x 在点 处的切线斜率 即有 曲线的切线方程为 3 导函数的定义 曲线的法线方程为 是 x 0时比 x高阶的无 穷小量 并称A x为f x 在 其中A是与 x无关的量 若函数的增量可表示为 y A x 则称y f x 在点x处可微 机动目录上页下页返回结束 记为dy 即dy A x 5 微分的定义 由于 x dx 所以 6 微分的几何意义 点x处的微分 当 y是曲线y f x 上点的纵坐标 的增量时 dy表示曲线的切线纵坐标的增量 7 基本定理 定理1 导数存在的判定定理 定理2 函数可导与连续的关系 机动目录上页下页返回结束 可导函数必连续 但连续函数未必可导 可导 定理4 函数与其反函数的导数的关系 可微 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 定理3 函数一阶可导与可微的关系 机动目录上页下页返回结束 5 6 7 设 及 4 均为可导函数 则复合函数 可导 且 或 微分形式不变性 8 运算法则 1 3 2 9 基本初等函数的导数与微分公式 3 1 2 4 8 机动目录上页下页返回结束 5 6 7 9 机动目录上页下页返回结束 10 11 14 15 12 13 16 17 10 高阶导数 例1 设 求使 存在的最高 分析 但是 不存在 2 又 机动目录上页下页返回结束 11 方程确定的隐函数的导数 例2 设函数y y x 由方程 确定 求 解法1 方程两边对x求导数得 解得 方程两边微分得 解法2 解得 12 参数方程确定的函数的导数 例3 设 求 机动目录上页下页返回结束 解 13 对数求导法 求 幂指函数 及多个因子相乘除函数 的导数时用对数求导法 解法1 取对数 机动目录上页下页返回结束 等式两边对x求导数 则有 例4 设 解法2 作指数对数恒等变形 机动目录上页下页返回结束 例5 设 则有 解 取对数 等式两边对x求导数 二 中值定理 机动目录上页下页返回结束 1 罗尔定理 1 在闭区间 a b 上连续 3 且f a f b 成立 2 在开区间 a b 内可导 若函数f x 满足条件 则在开区间 a b 内至少存在一点 使 2 拉格朗日中值定理 若函数f x 满足条件 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 则在开区间 a b 内至少存在一点 使等式 3 柯西中值定理 机动目录上页下页返回结束 成立 若函数f x F x 满足条件 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导且 则在开区间 a b 内至少存在一点 使等式 三 导数的应用 定理1设函数f x 在 a b 内可导 1 函数的单调性 若对 都有 则称f x 在 a b 内单调增 减 2 函数的极值 设函数f x 在 内有定义 x为该邻域内异于 机动目录上页下页返回结束 的任意一点 若恒有 或 则称 为f x 在该邻域的极大 小 值 极大值与极小值 统称为函数的极值 方程 使函数取得极值的点称为极值点 定理2 函数取得极值的必要条件 的根称为函数f x 的驻点 则有 设函数f x 在点 处可导 可导函数的极值点必为驻点 且在该点处取得极值 定理3 机动目录上页下页返回结束 函数取得极值的第一充分条件 设函数f x 在 内可导 或f x 在点 处连续但不可导 1 若当x由左至右经过 时 由 变 则 为函数的极大值 2 若当x由左至右经过 时 由 变 3 若当x由左至右经过 为函数的极小值 则 则 不变号 不是 时 函数的极值 定理4 机动目录上页下页返回结束 函数取得极值的第二充分条件 设函数f x 在 处 1 若 则 为函数f x 的极大值 2 若 则 为函数f x 的极小值 3 函数的最值 求连续函数f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在 a b 内的驻点及导数不存在的点 2 求出这些点的函数值及区间端点的函数值 3 比较上述函数值 其中最大者为最大值 最小者为 最大值 机动目录上页下页返回结束 恒有 弧在弦的下方 或 则称曲线 f x 在 a b 内为凹 凸 弧 曲线上凹弧与凸弧的分界 点 4 函数曲线的凹凸性和拐点 设函数f x 在 a b 内连续 若对于 a b 内任意两点 弧在弦的上方 称为曲线的拐点 定理1 曲线凹凸性的判定定理 若在 a b 上 机动目录上页下页返回结束 则曲线y f x 在 当x自左至右经过 定理2 曲线拐点的判定定理 若在 处 时 变号 则 是曲线y f x 的拐点 a b 上为凹 凸 弧 二 典型例题分析与解答 应填 1 已知 则 机动目录上页下页返回结束 解 注释 本题考查导数的定义 例6 解 由 由 再代入 1 得 例8 设f x 可导 则 是F x 在x 0可导的 A 充分必要条件 机动目录上页下页返回结束 B 充分条件但非必要条件 C 必要条件但非充分条件 解 直接计算解此题 由于 A D 既非充分条件又非必要条件 而f x 可导 所以F x 的可导性与 的可导性相同 故选项 A 正确 x 在x 0处可导的充分必要条件是 机动目录上页下页返回结束 注释 即f 0 0 本题考查函数在一点处可导的充要条件 令 由导数的定义知 解题过程中化简题目的解题技巧应注意掌握 例9 曲线 在点 0 1 处的切线方程 是 曲线在点 0 1 的切线方程为 解 机动目录上页下页返回结束 注释 两边对x求导得 即为 将x 0 y 1代入 式得 本题考查隐函数求导数及导数的几何意义 例10设函数 由方程 确定 求 解由 由原方程得 代入 1 得 再将 代入 2 得 注释 本题考查求隐函数在一点处的一阶 二阶导数 注意求导数时 不必写出导函数 机动目录上页下页返回结束 例11证明方程 在 0 1 内至少有一实根 分析 如令 不便使用介值定理 用Rolle定理来证 证 令 则 且 故由Rolle定理知 例12 处 设y f x 是方程 则函数f x 在点 且 机动目录上页下页返回结束 C 某邻域内单调增加 B 取得极小值 的一个解 A 取得极大值 解 D 某邻域内单调减少 由于y f x 是方程 的一个解 所以有 即有 将 代入上式得 所以函数f x 在点 处取得极大值 A 选项 A 正确 机动目录上页下页返回结束 例13 且 设f x 有二阶连续导数 则 A f 0 是f x 的极大值 B f 0 是f x 的极小值 C 0 f 0 是曲线y f x 的拐点 D f 0 不是f x 的极值点 0 f 0 也不是曲线 y f x 的拐点 解 由于 由极限的保号性知存在x 0的 某去心邻域 在此邻域内有 即有 B 即有 机动目录上页下页返回结束 由于 当x 0时 函数f x 单调减 当x 0时 由极值的第一充分条件知f x 在x 0处取得极小值 即有 又由极限的保号性有 注释 本题考查极限的保号性和极值的判定法则 函数f x 单调增 故选项 B 正确 例14 由于x 1是 x 在 0 机动目录上页下页返回结束 则 x 在x 1处取得极小值 又 1 0 即 则当x 0时 则 x 在x 1处取得区间 0 试证 当x 0时 证 令 易知 1 0 内的唯一的极小值点 上的最小值 证毕 例15 求 机动目录上页下页返回结束 解法一 原式 则 注释 本题考查洛必达法则求未定式极限 由于x 0时 解法二 原式 解法2先对分母用等价无穷小代换 再用洛必达法则 例16 原式 解 机动目录上页下页返回结束 注释 本题考查洛必达法则求未定式极限 应填 解题过程 中应特别注意应用无穷小代换以简化计算 填空题 机动目录上页下页返回结束 例17 已知 在 解 由题 求 处可导 在 处连续 则 即 且 考虑 08 09 三 1 例18 求数列 的最大项 证 设 用对数求导法得 令 得 因为 在 只有唯一的极大点 因此在 处 也取最大值 又因 中的最大项 极大值 列表判别 例19 1 存在 机动目录上页下页返回结束 试证明 1 令 且 则 x 在 0 1 上连续 使得 已知函数f x 在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且f 0 0 f 1 1 2 存在两个不同的点 证 所以存在 使得 使得 第二节目录上页下页返回结束 注释 证毕 本题 2 考查拉格朗日中值定理的应用 本题 1 考查连续函数零点定理的应用 2 由拉格朗日中值定理 存在