资源描述
第五章大数定律定理一（契比雪夫定理的特殊情况）设随机变量相互独立（是指对于任意n1，是相互独立），且具有相同的数学期望和方差：。作前n个随机变量的算术平均则对于任意正数，有证明：由于，由契比雪夫不等式可得在上式中令并注意到概率不能大于1，即得设是一个随机变量序列，a是一个常数。若对于任意正数，有则称序列依概率收敛与a，记为设，又设g(x,y)在点（a,b)连续，则上述定理一又可叙述为：定理一设随机变量，相互独立，且具有相同的数学期望和方差：，则序列依概率收敛于，即定理二（伯努利大数定理）设是n次独立重复试验中事件A发生的次数。p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数0,有或证明：因为，有其中，相互独立，且都服从以p为参数的（0-1）分布，因而，由定理一得即这个定理表明事件发生的频率的稳定性定理三（辛钦定理）设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望，则对于任意正数，有显然，伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情况中心极限定理定理四（独立同分布的中心极限定理）设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：，则随机变量之和的标准化变量：的分布函数对于任意x满足对其的解释：近似均值为，方差为0的独立同分布的随机变量之和的标准化变量，当n充分大时，有将上式左端改写成这样上述结果可写成：当n充分大时，近似近似或这也就是说，均值为，方差为的独立同分布的随机变量的算术平均，当n充分大时近似地服从均值为，方差为的正态分布定理五（李雅普诺夫定理）设随机变量相互独立，它们具有数学期望和方差：，记,若存在正数，使得当时，则随机变量之和的标准化变量：的分布函数对于任意x，满足对其的解释为：随机变量，当n很大时，近似服从正态分布N(0,1)，因此，当n很大时，近似服从正态分布这就是说，无论各个随机变量服从什么分布，只要满足定理的条件，那么它们的和当n很大时，就近似服从正态分布定理六（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量服从参数为n,p（0p1)的二项分布，则对于任意x，有证明：将分解成为n个相互独立、服从同一（0-1）分布的诸随机变量之和，即有=，其中的分布律为由于由定理四得这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，我们可以利用定理六中的式子来计算二项分布的概率
展开阅读全文