《建筑力学》PPT课件.ppt

建筑力学 绪论 一 建筑力学的任务建筑力学是一门重要的专业基础课 掌握基本的力学知识和计算方法可为建筑工程领域的结构设计和建筑施工等提供基本保障 也为进一步学习相关的专业课程打下必要的基础 第一节建筑力学的任务和内容 荷载 建筑物各部分的自重 人和设备的重力 风力等等 这些直接主动作用在建筑物上的外力在工程上统称为荷载 结构 构件 在建筑物中承受和传递荷载而起骨架作用的部分或体系称为结构 组成结构的每一个部件称为构件 结构分类1按组成结构的形状及几何尺寸分类 杆件结构 即长度远大于截面尺寸的构件 如梁柱等杆件结构依照空间特征分类 平面杆件结构 凡组成结构的所有杆件的轴线在一平面内空间杆件结构薄壁结构 长度和宽度远大于厚度的构件 如薄板薄壳实体结构 长宽高接近的结构 如挡土墙堤坝等 如图0 1是一个单层工业厂房承重骨架的示意图 它由屋面板 屋架 吊车梁 柱子及基础等构件组成 每一个构件都起承受和传递荷载的作用 如屋面板承受着屋面上的荷载并通过屋架传给柱子 吊车荷载通过吊车梁传给柱子 柱子将其受到的各种荷载传给基础 最后传给地基 图0 1 赵州桥 纽约世贸中心 上海世界环球金融中心 悉尼歌剧院 斜拉桥 三峡大坝 平衡状态无论是工业厂房或是民用建筑 公共建筑 它们的结构及组成结构的各构件都相对于地面保持着静止状态 这种状态在工程上称为平衡状态 保证构件的正常工作必须同时满足三个要求 1 在荷载作用下构件不发生破坏 即应具有足够的强度 2 在荷载作用下构件所产生的变形在工程允许的范围内 即应具有足够的刚度 3 承受荷载作用时 构件在其原有形状下的平衡应保持稳定的平衡 即应具有足够的稳定性 构件的强度 刚度和稳定性统称为构件的承载能力 其高低与构件的材料性质 截面的几何形状及尺寸 受力性质 工作条件及构造情况等因素有关 在结构设计中 如果把构件截面设计得过小 构件会因刚度不足导致变形过大而影响正常使用 或因强度不足而迅速破坏 如果构件截面设计得过大 其能承受的荷载过分大于所受的荷载 则又会不经济 造成人力 物力上的浪费 因此 结构和构件的安全性与经济性是矛盾的 建筑力学的任务就在于力求合理地解决这种矛盾 即 研究和分析作用在结构 或构件 上力与平衡的关系 结构 或构件 的内力 应力 变形的计算方法以及构件的强度 刚度和稳定条件 为保证结构 或构件 既安全可靠又经济合理提供计算理论依据 二 建筑力学的研究内容 要处理好构件所受的荷载与构件本身的承载能力之间的这个基本矛盾 就必须保证设计的构件有足够的强度 刚度和稳定性 建筑力学就是研究多种类型构件 或构件系统 的强度 刚度和稳定性问题的科学 各种不同的受力方式会产生不同的内力 相应就有不同承载能力的计算方法 这些方法的研究构成了建筑力学的研究内容 第二节学习建筑力学的目的 建筑力学是研究建筑结构的力学计算理论和方法的一门科学 它是建筑结构 建筑施工技术 地基与基础等课程的基础 它将为读者打开进入结构设计和解决施工现场许多受力问题的大门 显然作为结构设计人员必须掌握建筑力学知识 才能正确的对结构进行受力分析和力学计算 保证所设计的结构既安全可靠又经济合理 作为施工技术及施工管理人员 也要求必须掌握建筑力学知识 知道结构和构件的受力情况 什么位置是危险截面 各种力的传递途径以及结构和构件在这些力的作用下会发生怎样的破坏等等 才能很好地理解图纸设计的意图及要求 科学地组织施工 制定出合理的安全和质量保证措施 在施工过程中 要将设计图纸变成实际建筑物 往往要搭设一些临时设施和机具 确定施工方案 施工方法和施工技术组织措施 如对一些重要的梁板结构施工 为了保证梁板的形状 尺寸和位置的正确性 对安装的模板及其支架系统必须要进行设计或验算 进行深基坑 槽 开挖时 如采用土壁支撑的施工方法防止土壁坍落 对支撑特别是大型支撑和特殊的支撑必须进行设计和计算 这些工作都是由施工技术人员来完成的 因此 只有懂得力学知识才能很好地完成设计及施工任务 避免发生质量和安全事故 确保建筑施工正常进行 第一章静力学基础 第一节基本概念一 力1 力的定义力是物体之间相互的机械作用 由于力的作用 物体的机械运动状态将发生改变 同时还引起物体产生变形 前者称为力的运动效应 或外效应 后者称为力的变形效应 或内效应 在本课程中 主要讨论力对物体的变形效应 2 力的三要素力的大小 方向 包括方位和指向 和作用点 这三个因素称为力的三要素 实际物体在相互作用时 力总是分布在一定的面积或体积范围内 是分布力 如果力作用的范围很小 可看成是作用在一个点上 该点就是力的作用点 建筑上称这种力为集中力 1 力是矢量 力是一个既有大小又有方向的量 力的合成与分解需要运用矢量的运算法则 因此它是矢量 或称向量 2 力的矢量表示 矢量可用一具有方向的线段来表示 如图1 2所示 用线段的长度 按一定的比例尺 表示力的大小 用线段的方位和箭头指向表示力的方向 用线段的起点或终点表示力的作用点 通过力的作用点沿力的方向的直线称为力的作用线 本教材中以黑体的字母 如 等来表示矢量 白体的字母则代表该矢量的模 大小 3 力的单位 在国际单位制中 力的单位是牛顿 用字母N表示 另外 有时还用到比牛顿大的单位 千牛顿 二 力系1 力系 作用在物体上的若干个力的总称为力系 以表示 如图1 3a 力系中各个力的作用线如果不在同一平面内 则该力系称为空间力系 如果在同一平面内 则称为平面力系 2 等效力系 如果作用于物体上的一个力系可用另一个力系来代替 而不改变原力系对物体作用的外效应 则这两个力系称为等效力系或互等力系 以表示 如图1 3b 3 合力 如果一个力与一个力系等效 则力称为此力系的合力 而力系中的各力则称为合力的分力 如图1 3c 4 物体的平衡及平衡力系所谓物体的平衡 建筑工程上一般是指物体相对于地面保持静止状态或作匀速直线运动状态 要使物体处于平衡状态 作用于物体上的力系必需满足一定的条件 这些条件称为力系的平衡条件 作用于物体上正好使之保持平衡的力系则称为平衡力系 静力学研究物体的平衡问题 实际上就是研究作用于物体上的力系的平衡条件 并利用这些条件解决具体问题 三 荷载工程中的各类建筑物 如房屋 桥梁以及水塔等 在使用过程中都要受到各种力的作用 如工业厂房 其受到的力有自重 风力 屋顶积雪重量 吊车作用力等 这些直接主动作用于建筑物上的外力称为荷载 若荷载分布在整个构件内部各点上的 如重力 万有引力等 称为体分布荷载 有的荷载是分布在构件表面上的 如屋面板上雪的压力 水坝上水的压力 挡土墙上土的压力 蒸汽机活塞上汽的压力等 称为面分布荷载 如果荷载是分布在一个狭长的面积或体积上 则可以把它简化为沿长度方向的线分布荷载 例如 梁的自重就可以简化为沿其轴线分布的线荷载 这样用线分布荷载来代替实际的分布荷载 对结构的平衡并无影响 但可使计算简化 线分布荷载的大小用其集度 即荷载沿分布线的密集程度 来表示 其常用单位为N m或kN m 线荷载集度为常数的分布荷载称为均布荷载 在计算简图上 均简化为作用于杆件轴线上的分布线荷载 集中荷载 集中力偶 并且认为这些荷载的大小 方向和作用位置是不随时间变化的 或者虽然有变化但极其缓慢 使结构不至于产生显著的运动 如吊车荷载 风荷载等 这类荷载称为静荷载 如果荷载的大小 方向或作用位置变化剧烈 能引起结构明显的运动或振动 如打桩机的冲击荷载等 这类荷载则称为动力荷载 本课程讨论的主要是静力荷载 四 刚体所谓刚体 就是指在受力情况下保持其几何形状和尺寸不变的物体 亦即受力后物体内部任意两点之间的距离保持不变的物体 显然 这只是一个理想化了的模型 实际上并不存在这样的物体 这种抽象简化的方法 虽然在研究许多问题时是必要的 而且也是许可的 但它是有条件的 值得庆幸的是 在许多情况下 物体变形都很小 将它们忽略不计 对研究结果无明显影响 实际建筑中构件的变形通常是非常微小的 在许多情况下 可以忽略不计 例如一根梁 当其受力弯曲时 由于变形微小 支点之间距离 跨度 的变化量也很小 从而在求支座约束力时可按跨度不变的情况来考虑 第二节静力学公理 一 作用力与反作用力公理大量实验事实证明 物体间的作用总是相互的 两个物体之间的作用力与反作用力 沿同一条直线 大小相等 方向相反 分别作用在两个物体上 二 二力平衡公理作用于刚体上的两个力 使刚体处于平衡状态的必要与充分条件是 这两个力大小相等 指向相反 且作用于同一直线上 即等值 反向 共线 图1 6 图1 6 只受两个力作用而处于平衡的物体称为二力体 如图1 7所示 机械及建筑结构中的二力体常常统称为二力构件 它们的受力特点是 两个力的方向必在二力的作用点的连线上 如果二力构件是一根直杆 则称为二力杆 或称为链杆 图1 7 应用二力体的概念 可以很方便地判定结构中某些构件的受力方向 如图图1 8a所示三铰刚架 当不计自重时 其部分只可能通过铰 和铰 两点受力 是一个二力构件 故 两点处的作用力必沿 连线的方向 如图图1 8b所示 三 平衡力系公理在作用于刚体上的已知力系中 加上或减去任一平衡力系 并不改变原力系对刚体的效应 这是因为平衡力系对刚体作用的总效应等于零 它不会改变刚体的平衡或运动的状态 这个公理常被用来简化某一已知力系 应用这个公理可以导出作用于刚体上的力的如下一个重要性质 图1 9力的可传性原理 作用于刚体上的力 可沿其作用线任意移动而不改变它对刚体的作用外效应 例如 图1 9中在车后点加一水平力推车 如在车前点加一水平力拉车 对于车的运动效应而言 其效果是一样的 图1 9 四 力的平行四边形法则图1 11 作用于物体上同一点上的两个力 其合力也作用在该点上 至于合力的大小和方向则由以这两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示 如图1 11a所示 而原来的两个力称为这个合力的分力 图1 11 第三节约束与约束力 第三节约束与约束力 一 约束与约束力的概念1 自由体在空间能向一切方向自由运动的物体 称为自由体 当物体受到其他物体的限制 因而不能沿某些方向运动时 这种物体就成为非自由体 2 约束限制非自由体运动的物体便是该非自由体的约束 如图1 12 3 约束力约束施加于被约束物体上的力称为约束力 如图1 12b 二 工程中常见的约束及约束力1 柔体约束 柔索 工程上常用的绳索 包括钢丝绳 胶带和链条等所形成的约束 称为柔体约束2 光滑面约束当两物体接触面上的摩擦力很小时 可以认为接触面是 光滑 的 光滑面的约束力通过接触处 方向沿接触面的公法线并指向被约束的物体 即只能是压力 如图1 13所示 这种约束力也称为法向约束力 3 光滑铰链约束 1 固定铰链支座 2 活动铰链支座4 固定端约束如房屋的雨篷 图1 24a 牢固地嵌入墙内的一端等 其约束便是固定端约束 第四节物体的受力分析 第四节物体的受力分析 从周围物体的约束中分离出来的研究对象 称为分离体或自由体 同时把画有分离体及其所受外力 包括主动力和约束力 的图称为受力图 或分离体图 自由体图 一 单个物体的受力分析单个物体受力分析较简单 只将单个物体作为研究对象进行受力分析即可 架的受力图如图1 26b所示 二 物体系统的受力分析物体系统的受力分析较单个物体受力分析复杂 一般是先将系统中各个部分作为研究对象 分别进行单个物体受力分析 最后再将整个系统作为研究对象进行受力分析 小结 1 静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学 它主要是解决力系的简化 或力系的合成 问题和力系平衡的问题 2 力是物体之间的相互作用 力对物体作用的效应 决定于力的大小 方向 包括方位和指向 和作用点这三要素 3 直接主动作用于物体上的外力称为荷载 建筑物中支承荷载 传递荷载而起骨架作用的部分称为结构 结构中的每一个基本部分称为构件 4 静力学四公理 作用力与反作用力公理 二力平衡公理 平衡力系公理 力的平行四边形法则 5 在空间能向一切方向自由运动的物体 称为自由体 当物体受到其他物体的限制 因而不能沿某些方向运动时 这种物体就成为非自由体 限制非自由体运动的物体便是该非自由体的约束 约束施加于被约束物体上的力称为约束力 6 工程中常见的约束及约束力 柔体约束 柔索 光滑面约束 光滑铰链约束 固定端约束四种 7 物体的受力分析 单个物体的受力分析 物体系统的受力分析 第二章平面汇交力系 学习目标 1 理解力的合成与平衡的几何法和解析法 2 会用力的合成与平衡的几何法和解析法解决实际问题 各力的作用线在同一平面内且相交于一点的力系 称为平面汇交力系 它是一种基本的力系 也是工程结构中常见的较为简单的力系 第一节平面汇交力系合成与平衡的几何法 第一节平面汇交力系合成与平衡的几何法 一 合成1 三力情况设刚体上作用有汇交于同一点的三个力F1 F2 F3 如图2 1a所示 显然 连续应用力的平行四边形法则 或力的三角形法则 就可以求出三个力的合力 以力多边形求合力的方法称为平面汇交力系合成的几何法 2 一般情况上述方法可以推广到包含任意几个力的汇交力系求合力的情况 合力的大小和方向仍由多边形的封闭边来表示 其作用线仍通过各力的汇交点 即合力等于力系中各力的矢量和 或几何和 其表达式为 二 平衡物体在平面汇交力系作用下平衡的必要和充分条件是合力等于零 用矢量式表示为 三 三力平衡汇交定理若刚体受三个力作用而平衡 且其中两个力的作用线相交于一点 则三个力的作用线必汇交于一点 而且共面 第二节平面汇交力系合成与平衡的解析法 第二节平面汇交力系合成与平衡的解析法 求解平面汇交力系合成与平衡问题的解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的 一 力在坐标轴上的投影如已知力的大小和力分别与轴及轴正向间的夹角 则由图2 7可知 若已知力在正交坐标轴上的投影为和 则由几何关系可求出力的大小和方向 二 合力投影定理 即合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和 为了表达上的简便 以下各分力在轴或轴上的代数和简记为或 这就是合力投影定理 小结 1 各力的作用线在同一平面内且相交于一点的力系 称为平面汇交力系 研究平面汇交力系重点是讨论平衡问题 研究的方法有 几何法 矢量法 解析法 投影法 2 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零 3 求解平面汇交力系合成与平衡问题的解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的 第三章平面一般力系 学习目标 1 理解力的平移定理和平面一般力学向一点简化 2 能用力的平移定理和平面一般力学向一点简化解决实际问题 所谓平面一般力系 是指位于同一平面内的诸力 其力的作用线既不汇交于一点 也不互相平行的情况 工程计算中的很多实际问题都可简化为平面一般力系问题来处理 第一节力的平移定理 第一节力的平移定理 可见 一个力可以分解为一个等值与其平行的力和一个位于平面内的力偶 反之 一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力 也可以用一个位于力偶作用平面内的力来等效替换 力线平移定理不仅是下一节中力系向一点简化的理论依据 而且也可以用来分析力对物体的作用效应 第二节平面一般力系向作用面内任一点简化 第二节平面一般力系向作用面内任一点简化 综上所述 可得如下结论 平面一般力系向一点简化可得到作用于简化中心的力和一个力偶 这个力的矢量等于力系的主矢 而这个力偶之矩等于力系中各力对简化中心之矩的代数和 三 平面一般力系的合力矩定理合力矩定理平面一般力系如果有合力 则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和 第三节平面一般力系的平衡方程 第三节平面一般力系的平衡方程 当物体处于平衡时 作用于其上的平面力系中各力在两个任选的坐标轴 两坐标轴不一定正交 中每一轴上投影的代数均等于零 各力对于任一点之矩的代数和也等于零 二 平衡方程的其他形式平面一般力系平衡的解析条件除了式 4 6 表示的那种基本形式外 还可以写成二矩式 三矩式和平面平行力系平衡条件表达式等形式 上述三组方程都可以来解决平面一般力系的平衡问题 究竟选哪一组方程须根据具体情况确定 但无论采取哪一组方程 都只能求解三个未知量 解题时 一般来说 力求所写出的每一个平衡方程中只含有一个未知量 也就是说 平面平行力系平衡的必要条件和充分条件是 力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都等于零 小结 1 平面一般力系是指位于同一平面内的诸力 其力的作用线既不汇交于一点 也不互相平行的情况 2 力的平移定理 作用在刚体上某点的力 可以平行移动到该刚体上任一点 但必须同时附加一个力偶 其力偶矩等于原来的力对平移点之矩 3 主矢与主矩 4 平面一般力系平衡方程的基本形式和其他形式 5 平面一般力系平衡方程的应用 第四章材料力学基础 学习目标 1 了解变形固体及其基本假定 2 初步了解杆件的基本变形形式 3 了解内力的含义 4 了解截面法的基本步骤 5 理解杆件 横截面 轴线定义 6 理解应力的定义 领会任意应力分解为正应力与剪应力 第一节变形固体的性质及其基本假设 一 变形固体的概念材料力学所研究的构件 其材料的物质结构和性质虽然千差万别 但却具有一个共同的特性 即它们都由固体材料制成 如钢 木材 混凝土等 而且在荷载作用下会产生变形 因此 这些物体统称为变形固体 弹性变形变形固体的变形 按变形性质分类 塑性变形 理想弹性体的概念去掉外力后能完全恢复原状的物体称为理想弹性体 实际上 并不存在理想弹性体 但常用的工程材料如金属 木材等当外力不超过某一限度时 称弹性阶段 很接近于理想弹性体 这时可将它们视为理想弹性体 小变形工程中大多数构件在荷载作用下 其几何尺寸的改变量与构件本身的尺寸相比 常是很微小的 我们称这类变形为 小变形 在后面的章节中 将研究构件在弹性范围内的小变形 二 变形固体的基本假设材料力学研究构件的强度 刚度 稳定性时 常根据与问题有关的一些主要因素 省略一些关系不大的次要因素 对变形固体作了如下假设 1 连续性假设2 均匀性假设3 各向同性假设 1 连续性假设连续是指材料内部没有空隙 认为组成固体的物质毫无间隙地充满了固体的几何空间 实际的固体物质 就其结构来说 组成固体的粒子并不连续 但它们之间所存在的空隙与构件的尺寸相比 极其微小 可以忽略不计 2 均匀性假设均匀是指材料的性质各处都一样 认为在固体的体积内 各处的力学性质完全相同 就金属材料来说 其各个晶粒的力学性质 并不完全相同 但因在构件或构件的某一部分中 包含的晶粒为数极多 而且是无规则地排列的 其力学性质是所有晶粒的性质的统计平均值 所以可以认为构件内各部分的性质是均匀的 3 各向同性假设认为固体在各个方向上具有相同的力学性质 具备这种属性的材料称为各向同性材料 金属 玻璃 塑胶等 都是各向同性材料 如果材料沿不同方向具有不同的力学性质 则称为各向异性材料 如木材 竹材 纤维品和经过冷拉的钢丝等 我们所研究的 主要限于各向同性材料 第二节杆件变形的基本形式 一 杆件所谓杆件 是指长度远大于其它两个方向尺寸的构件 如房屋中的梁 柱 屋架中的各根杆等 杆件的形状和尺寸可由杆的横截面和轴线两个主要几何元素来描述 横截面是指与杆长方向垂直的截面 而轴线是各横截面形心的连线 轴线为直线 横截面相同的杆件称为等直杆 材料力学主要研究等直杆 二 杆件变形的基本形式1 轴向拉伸或压缩2 剪切3 扭转4 弯曲 1 轴向拉伸或压缩在一对方向相反 作用线与杆轴重合的拉力或压力作用下 杆件沿着轴线伸长 图a 或缩短 图b 2 剪切在一对大小相等 指向相反且相距很近的横向力作用下 杆件在二力间的各横截面产生相对错动 3 扭转在一对大小相等 转向相反 作用面与杆轴垂直的力偶作用下 杆的任意两横截面发生相对转动 4 弯曲在一对大小相等 方向相反 位于杆的纵向平面内的力偶作用下 杆件轴线由直线弯成曲线 工程实际中的杆件 可能同时承受不同形式的荷载而发生复杂的变形 但都可以看做是以上四种基本变形的组合 第三节内力 截面法及应力的概念 一 内力内力是杆件在外力作用下 相连两部分之间的相互作用力 内力是由外力引起的并随着外力的增大而增大 但对构件来说 内力的增大是有限的 当内力超过限度时 构件就会破坏 所以研究构件的承载能力必须先分析其内力 二 截面法截面法是求内力的基本方法 要确定杆件某一截面上的内力 可以假想地将杆件沿需求内力的截面截开 将杆分为两部分 并取其中一部分作为研究对象 此时 截面上的内力被显示出来 并成为研究对象上的外力 再由静力平衡条件求出此内力 这种求内力的方法 称为截面法 截面法可归纳为三个步骤 1 截开欲求某一截面上的内力时 沿该截面假想地把杆件分成两部分 图5 3a 任取一部分作为研究对象 2 代替用作用于截面上的内力代替弃去部分对研究部分的作用 图5 3b 或 图5 3c 3 平衡对研究部分建立平衡方程 从而确定截面上内力的大小和方向 图5 3 三 应力构件的破坏不仅与内力大小有关 还与内力在构件截面上的密集程度 简称集度 有关 通常将内力在一点处的集度称为应力 用式子表示为 P称为E点处应力 通常应力P与截面既不垂直也不相切 材料力学中总是将它分解为垂直于截面和相切于截面两个分量 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力 用 表示 相切于截面的应力分量称为剪应力或切向应力 用 表示 单位换算 本章小结 本章讨论了材料力学的一些基本概念 1 材料力学的研究对象是由均匀 连续 各向同性的弹性体材料制成的杆件 2 杆件的四种基本变形形式 1 轴向拉伸或压缩 2 剪切 3 扭转 4 弯曲 3 内力与应力的概念内力是杆件在外力作用下 相连两部分之间的相互作用力 工程上最常见的是计算杆件横截面上的内力 应力是内力在某一点处的集度 杆件中某截面上任一点的应力一般有两个分量 正应力和剪应力 4 求内力的基本方法 截面法步骤 截开 代替 平衡 第五章扭转 学习目标 1 了解外力偶矩的计算 扭矩的概念和扭矩图的画法 2 理解圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律和强度计算 3 掌握圆轴扭转变形时的刚度和变形 相对扭转角 计算 第六章梁的弯曲 一 弯曲变形和平面弯曲弯曲是构件变形的基本形式之一 当一杆件在两端承受一对等值 反向的外力偶作用 且力偶的作用面与杆件的横截面垂直时 如图8 1 a 杆件的轴线由直线变为曲线 这种变形称为弯曲变形 简称弯曲 第一节梁的平面弯曲 有时 杆件在一组垂直于杆轴的横向力作用下也发生弯曲变形 如图8 1 b 发生这种弯曲变形时还伴有剪切变形 此称为剪切弯曲或横向弯曲 常见的梁就是以弯曲变形为主的构件 例如房屋建筑中的悬臂梁 图8 2 a 楼面梁 图8 2 b 等 实际工程中常见的梁 其横截面通常采用的是对称形状 如矩形 工字形 T字形 圆形等 图8 3 a 原因是它们都有一个竖直对称轴 对称轴与梁轴线组成的平面叫纵向对称平面 如果作用在梁上的所有外力 荷载 支座反力 的作用线都位于纵向对称平面内 梁变形时其轴线变成位于对称平面内的一条平面曲线 图8 3 b 这种弯曲称为平面弯曲 平面弯曲是工程中最常见的弯曲形式 二 单跨静定梁的基本形式为了方便地讨论梁的弯曲 这里简单了解一下梁的基本形式 工程中对于单跨静定梁按其支座情况来分 可分为下列三种形式 1 悬臂梁梁的一端为固定端 另一端为自由端 图8 4 a 2 简支梁梁的一端为固定铰支座 另一端为可动铰支座 图8 4 b 3 外伸梁梁的一端或两端伸出支座的简支梁 图8 4 c 第七章组合变形的强度计算 学习目标 1 了解组合变形的概念 以及构件受力和变形特点 2 理解截面核心的概念及简单图形截面核心的位置 3 掌握斜弯曲 偏心拉压时构件的应力计算及强度条件 第一节组合变形的概念一 组合变形的概念由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形 称为组合变形 a 解决组合变形的强度问题可用叠加法 其分析步骤为 将杆件的组合变形分解为基本变形 计算杆件在每一种基本变形情况下所产生的应力和变形 将同一点的应力叠加 可得到杆件在组合变形下任一点的应力和变形 第二节斜弯曲斜弯曲的条件 外力与杆件的轴垂直且通过变形后的梁轴线不在外力作用面内弯曲 以图9 2所示的矩形截面悬臂梁为例来讨论斜弯曲问题的特点和它的强度计算 一 外力分解如图9 2 a 外荷载可沿坐标轴和分解 得其中是梁产生绕轴的平面弯曲 使梁柱产生绕轴的平面弯曲 因此 斜弯曲实际上是两个互相垂直的平面弯曲的组合 二 内力分析斜弯曲梁的强度是由最大正应力来控制的 所以 弯矩的计算是最主要的 设在距端点为的任意横基面上 引起的截面总弯矩为 两个分力和引起的弯矩值为三 应力计算在该横截面上任意点处 相应坐标 由和引起的正应力为 由叠加原理 任意点的正应力为 代入总弯矩 可得 四 强度条件1 中性轴位置因中性轴上各点正应力均为零 则由式 9 2 可得当时 说明中性轴是通过截面形心的直线 2 危险点的确定斜弯曲时 中性轴将截面分为受拉和受压两个区 横截面上的正应力呈线性分布 距中性轴越远 应力越大 因此一旦中性轴确定就可找出距中性轴最远的危险点 3 强度条件斜弯曲时的强度条件为 也可以表达为 根据这一强度条件 同时可以进行强度校核 截面设计和确定许多荷载 在设计截面尺寸时 因有两个未知量 所以需要假定一个比值 对矩形截面 对槽形截面 例9 1图9 4所示檀条简支在屋架上 其跨度为 承受屋面传来的均布荷载屋面的倾角 檀条为矩形截面 材料的许用应力 试校核檀条强度 解 由题中已知条件 檀条在均布荷载的作用下 弯矩图为抛物线 最大弯矩发生在梁的跨中截面 弯矩值为 截面对和轴的抗弯截面系数为 由强度条件代入数值得 所以檀条强度足够安全 例9 2试选择图9 5所示梁的截面尺寸 解 由题中条件知 此梁受竖向荷载和横向荷载的共同作用部分将产生斜弯曲变形 危险截面为固定端截面 由强度条件 根据已知条件 矩形截面 解得取整 第三节偏心压缩 拉伸 当外荷载作用线与杆轴线平行但不重合时 杆件将产生压缩 拉伸 和弯曲两种基本弯形 这类问题称为偏心压缩 拉伸 如图9 6所示杆件 如力作用在某一轴线上 则产生压缩 拉伸 和弯曲变形 称为单向偏心压缩 偏心压缩 图9 6 a 如力作用在轴线外的截面的任意点上 称为双向偏心压缩 拉伸 图9 6 b 一 单向偏心压缩 拉伸 时的应力和强度条件1 荷载变化由平面一般力系中力的平移定理 将偏心力向杆线轴线平移 得到一个通过形心的轴向压力和一个力偶矩为的力偶 如图9 7 2 内力计算用截面截取杆件上部 由平衡方程可求得 显然偏心压缩杆件各个横截面的内力均相同 所以截面可以为任意截面 3 应力计算对于横截面上任一点 图9 8 其应力是轴向压缩应力和弯曲应力的叠加 点的总应力为 由上式计算正应力时 用绝对值代入 式中弯曲正应力可由直观判断来确定 类似地 最大 最小 正应力必将发生在横截面的上 下边缘 处 4 强度条件显然 杆件横截面各点均处于单向拉压状态 其强度条件为 例9 3横截面为正方形的短柱承受荷载 若在短柱中开一切槽 其最小截面积为原面积的一半 如图9 9所示 试问切槽后 柱内最大压应力是原来的几倍 解 切槽前的压应力切槽后最大压应力应为偏心压缩情况下截面边缘的最大压应力 两者的比值是 例11 4图9 10所示举行截面柱 柱顶有屋架传来的压力 牛腿上承受吊车梁传来的压力 与轴线的偏心距 已知柱宽 求 1 若 则柱截面中的最大拉应力和最大压应力各是多少 2 要使柱界面不产生拉应力 截面高度应为多少 在所选的尺寸下 柱截面中的最大压应力为多少 解 1 求最大拉应力和最大压应力将荷载力向截面形心简化 柱的轴向压力为 截面的弯矩为 所以 2 求截面高度和最大压应力要使截面不产生拉应力 应满足解得 取整此时产生的最大压应力为 二 双向偏心压缩 拉伸 时的应力和强度条件 图9 11 1 荷载简化如图9 11 a 已知至轴的偏心距为至轴的偏心距为 1 将压力F平移至Z轴 附加力偶矩为 2 再将压力从轴上平移至与杆件轴线重合 附加力偶矩为 3 如图9 11 b 所示 力F经过两次平移后 得到轴向压力和两个力偶矩 所以双向偏心压缩实际上就是轴向压缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合 2 内力分析截面法任取横截面ABCD 其内力均为3 应力计算横截面上任意一点 坐标为y z时的应力分别为 1 由轴力引起点的压应力为 2 由弯矩引起点的应力为 3 由弯矩引起点应力为 所以 点的应力为上式中各个量都可用绝对值代入 式中第二项和第三项前的正负号观察弯曲变形的情况来确定 4 中性轴位置由公式 9 7 可得 0即设 为中性轴上的点的坐标 则中性轴方程为 即上式也称为零应力线方程 是一直线方程 式中分别称为截面对z y轴的惯性半径 也是截面的几何量 中性轴的截距为 当时 当时 从而可以确定中心轴位置 其表明 力作用点坐标越大 截距越小 反之亦然 说明外力作用点越靠近形心 则中性轴越远离形心 式中负号表示中性轴与外力作用点总是位于形心两侧 中性轴将截面划分成两部分 一部分为压应力区 另一部分为拉应力区 由图9 11 b 可以判断 最大拉应力发生在A点 最大压应力发生在B点 其值为 危险点A C都处于单向应力状态 所以可类似于单向偏心压缩的情况建立相应的强度条件 5 强度条件 例9 5试求图9 12所示偏心受拉杆的最大正应力 解 此杆切槽处的截面是危险截面 将力F向切槽截面的轴线简化 得 经判断点为危险点 其应力为拉应力 大小为得 三 截面核心1 概念当偏心压力作用在截面形心周围的一个区域内时 杆件整个横截面上只产生压应力而不出现拉应力 这个荷载作用的区域就称为截面核心 2 截面核心的确定对于许用拉应力远小于许用压应力的混凝土 砖石等脆性材料 过大的拉应力将会使构件产生裂缝 这种情况必须避免 为了使偏心压缩杆的截面上不出现拉应力 对于图9 11b所示矩形截面ABCD 应满足 即 可见 y方向的偏心荷载应该作用在y轴上截面中间的1 3范围内 同理 若荷载在z方向上偏心 则只有作用在z轴上截面中间的1 3范围内 才能保证截面上不出现拉应力 对双向偏心压缩杆 如果将截面上的上述四点顺序连起来得到一菱形 如图9 13a 则双向偏心荷载只要作用在上述的菱形区域内 截面上就只有压应力 不会出现拉应力 截面上的这个区域称为截面核心 几种常见图形的截面核心 通常可从有关手册中查出 图9 13 本章小结本章研究了组合变形中斜弯曲和单向 双向偏心压缩的内力 应力和强度条件 1 概念 1 组合变形由两种以上的基本变形组合而成的变形 2 截面核心当偏心压力作用点位于截面形心周围的一个区域内时 横截面上只有压应力而没有拉应力 这个区域就是截面核心 2 叠加法求解组合变形杆件强度问题的步骤是 1 对杆件进行受力分析 确定是由哪些基本变形的组合 2 简化或分解外力 使每一个外力只产生一种基本变形 3 按基本变形计算内力和应力 用叠加法确定出危险点应力的大小和方向 4 建立强度条件 一 梁的弯曲内力 剪力和弯矩为了计算梁的强度和刚度 在求得梁的支座反力后 还必须计算梁的内力 如图8 5 a 所示为一简支梁 荷载和支座反力 是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系 现在在梁上任取一截面 假想截面将梁分为两段 取左段为研究对象 从图8 5 b 可知 因有支座反力作用 为使左段满足 截面上必然有与等值 平行且反向的内力存在 这个内力 称为剪力 同时 因对截面的形心点有一个力矩的作用 为满足 截面上也必然有一个与力矩大小相等且转向相反的内力偶矩存在 这个内力偶矩称为弯矩 由此可见 梁发生弯曲时 横截面上同时存在着两个内力因素 即剪力和弯矩 第二节梁的弯曲内力 图8 5 剪力的常用单位为N或kN 弯矩的常用单位为N m 或kN m剪力和弯矩的大小 可由左段梁的静力平衡方程求得 即 由 得 二 剪力和弯矩的正负号规定 为了使从左 右两段梁求得同一截面上的剪力和弯矩具有相同的正负号 并考虑到土建工程上的习惯要求 对剪力和弯矩的正负号特作如下规定 1 剪力的正负号使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正 图8 6a 反之 为负 图8 6b 2 弯矩的正负号使梁段产生下侧受拉的弯矩为正 图8 7a 反之 为负 图8 7b 如果取右段梁作为研究对象 同样可求得截面上的和 根据作用与反作用力的关系 它们与从右段梁求出截面上的和大小相等 方向相反 如图8 5 a 所示 例8 1如图8 8 a 所示简支梁 已知 试求截面1 1上的剪力和弯矩 图8 8 解 1 求支座反力 2 求截面1 1上的内力 在截面1 1处将梁截开 取左段梁为研究对象 画出其受力图如图8 8 b 内力和均先假设为正的方向 列平衡方程 由 得 求得和均为正值 表示截面1 1上内力的实际方向与假定的方向相同 按内力的符号规定 剪力 弯矩都是正的 所以 画受力图时一定要先假设内力为正的方向 由平衡方程求得结果的正负号 就能直接代表内力本身的正负 如取1 1截面右段梁为研究对象 图8 8b 可得出同样的结果 例8 2一悬臂梁 其尺寸及梁上荷载如图8 9所示 求截面1 1上的剪力和弯矩 图8 9 求得为正值 表示的实际方向与假定的方向相同 为负值 表示的实际方向与假定的方向相反 所以 按梁内力的符号规定 1 1截面上的剪力为正 弯矩为负 二 简易法求内力求梁的内力还可用简便的方法来进行 称为简易法 通过上述例题 可以总结出直接根据外力计算梁内力的规律 1 剪力的规律计算剪力时 对截面左 或右 段梁建立投影方程 经过移项后可得 或 上两式说明 梁内任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有外力在垂直于轴线方向投影的代数和 若外力对所求截面产生顺时针方向转动趋势时 其投影取正号 图8 6a 反之取负号 图8 6b 此规律可记为 顺转剪力正 2 求弯矩的规律计算弯矩时 对截面左 或右 段梁建立力矩方程 经过移项后可得 或 上两式说明 梁内任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力 包括力偶 对该截面形心力矩的代数和 将所求截面固定 若外力矩使所考虑的梁段产生下凸弯曲变形时 即上部受压 下部受拉 等式右方取正号 图8 7a 反之取负号 图8 7b 此规律可记为 下凸弯矩正 用简易法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程 例8 3用简易法求图8 10所示简支梁1 1截面上的剪力和弯矩 图8 10 解 1 求支座反力图8 10由梁的整体平衡方程求得 2 计算1 1截面上的内力由1 1截面以左部分的外力来计算内力 根据 顺转剪力正 和 下凸弯矩正 得 第三节梁的内力图 为了计算梁的强度和刚度问题 除了要计算指定截面的剪力和弯矩外 还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律 内力图 从而直观地找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置 一 剪力方程和弯矩方程从上节的讨论可以看出 梁内各截面上的剪力和弯矩一般随截面的位置而变化 若横截面的位置用沿梁轴线的坐标来表示 则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标的函数 即 以上两个函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律 分别称为剪力方程和弯矩方程 为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律 可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图 以沿梁轴线的横坐标表示梁横截面的位置 以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩 在土建工程中 习惯上把正剪力画在轴上方 负剪力画在轴下方 而把弯矩图画在梁受拉的一侧 即正弯矩画在轴下方 负弯矩画在轴上方 如图8 11所示 图8 11 例8 4如图8 12 所示 一简支梁受均布荷载作用 试画出梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支座反力 由对称关系可得 2 列剪力方程和弯矩方程 取距A点 坐标原点 为处的任意截面 则梁的剪力方程和弯矩方程为 图8 12 3 画剪力图和弯矩图 根据这两个截面的剪力值 画出剪力图 如图8 12 所示 由式 2 知 是的二次函数 说明弯矩图是一条二次抛物线 应至少计算三个截面的弯矩值 方可描绘出曲线的大致形状 图8 13 根据上述结果 画出弯矩图 如图8 12 所示 从上面的剪力图和弯矩图中可得出结论 在均布荷载作用的梁段 剪力图为斜直线 弯矩图为二次抛物线 在剪力等于零的截面上弯矩有极值 例8 5如图8 13 a 一简支梁受集中荷载作用 试画出梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支座反力由梁的整体平衡得 2 列剪力方程和弯矩方程 梁在处有集中力作用 故段和段的剪力方程和弯矩方程不相同 要分段列出 段 在距端为的任意截面处将梁假想截开 并考虑左段梁平衡 则剪力方程和弯矩方程为 段 在距端为的任意截面处假想截开 并考虑左段的平衡 列出剪力方程和弯矩方程为 3 画剪力图和弯矩图 根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图 图 段剪力方程 为常数 其剪力值为 剪力图是一条平行于轴的直线 且在轴上方 段剪力方程 也为常数 其剪力值为 剪力图也是一条平行于轴的直线 但在轴下方 画出全梁的剪力图 如图8 13 b 所示 根据上述计算结果 可画出段弯矩图 段弯矩 也是的一次函数 弯矩图仍是一条斜直线 由上面两个弯矩值 画出段弯矩图 整梁的弯矩图如图8 13 c 所示 从上述剪力图和弯矩图中可得结论 1 在无荷载作用梁段 剪力图为平行直线 弯矩图为斜直线 2 在集中力作用处 左右截面上的剪力图发生突变 其突变值等于该集中力的大小 突变方向与该集中力的方向一致 而弯矩图出现转折 即出现尖点 尖点方向与该集中力方向一致 例8 6如图8 14 a 所示 一简支梁受集中力偶作用 试画出梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支座反力由梁的整体平衡得 图8 14 2 列剪力方程和弯矩方程 梁在截面处有集中力偶作用 应分两段列出剪力方程和弯矩方程 段 在端为的截面处假想将梁截开 考虑左段梁平衡 则剪力方程和弯矩方程为 1 2 段 在端为的截面处假想将梁截开 考虑左段梁平衡 则列出剪力方程和弯矩方程为 3 画剪力图和弯矩图 图 由式 1 3 式可知 梁在段和段剪力都是常数 其值为 故剪力是一条在轴上方且平行于轴的直线 画出剪力图如图8 14 b 所示 3 4 图 由式 2 4 式可知 梁在段和段内弯矩都是的一次函数 故弯矩图是两段斜直线 画出弯矩图如图8 14 c 所示 由上述内力图可得出结论 梁在集中力偶作用处 左右截面上的剪力无变化 而弯矩出现突变 其突变值等于该集中力偶矩 第四节利用微分关系绘制内力图 一 剪力 弯矩和荷载集度三者之间的微分关系 上一节从直观上总结出剪力图 弯矩图的一些规律和特点 现进一步讨论剪力图 弯矩图与荷载集度三者之间的关系 如图8 15 a 所示 梁上作用有任意的分布荷载 设 以向上为正 现取分布荷载作用下的一微段作为研究对象 如图8 15 b 所示 图8 15 考虑微段的平衡 由得 整理得 8 4 1 得结论一 梁上任意一横载面上的剪力对的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载集度 这一微分关系的几何意义是 剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度 再由得 经过整理得 8 4 2 结论二 梁上任一横截面上的弯矩对的一阶导数等于该截面上的剪力 这一微分关系的几何意义是 弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上剪力 将式 8 4 2 两边求导 可得 8 4 3 结论三 梁上任一横截面处的弯矩对的二阶导数等于该截面处的分布荷载集度 这一微分关系的几何意义是 弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的荷载集度 因此可以由分布荷载集度的正负来确定弯矩图的凹凸方向 二 用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 利用弯矩 剪力与荷载集度之间的微分关系及其几何意义 可总结出下列一些规律 以用来校核或绘制梁的剪力图和弯矩图 1 无荷载梁段 即时 弯矩图是一条斜直线 2 均布荷载梁段 即常数时 是的二次函数 即弯矩图为二次抛物线 这时可能出现两种情况 时 抛物线下凹 时 抛物线上凸 如图8 16所示 图8 16 利用上述荷载 剪力和弯矩三者之间的微分关系及规律 可更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图 其步骤如下 1 分段 即根据梁上外力及支座等情况将梁分成若干段 2 根据各段梁上的荷载情况 判断其剪力图和弯矩图的大致形状 3 利用计算内力的简便方法 直接求出若干控制截面上的值和值 4 根据值和值逐段直接绘出梁的剪力图和弯矩图 例8 7一外伸梁 梁上荷载如图8 17 a 所示 已知 利用微分关系绘出梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支座反力 图8 17 2 根据梁上的外力情况将梁分为 和三段 3 计算控制截面剪力 画剪力图如图8 17 b 所示 4 计算控制截面弯矩 画弯矩图如图8 17 c 所示 例8 8一简支梁 尺寸及梁上荷载如图8 18 a 所示 利用微分关系绘出此梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支座反力 2 根据梁上的荷载情况 将梁分为和两段 逐段画出内力图 图8 18 3 计算控制截面剪力 画剪力图如图8 18 b 所示 4 计算控制截面弯矩 画弯矩图如图8 18 c 所示 一 叠加原理由于在小变形条件下 梁的内力 支座反力 应力和变形等参数均与荷载呈线性关系 图8 19每一荷载单独作用时引起的某一参数不受其他荷载的影响 所以 当梁在个荷载共同作用下所引起的某一参数 内力 支座反力 应力和变形等 等于梁在各个荷载单独作用时所引起的同一参数的代数和 这种关系称为叠加原理 图8 19 第五节叠加法画弯矩图 图8 19 二 用叠加法画弯矩图根据叠加原理来绘制梁的内力图的方法称为叠加法 由于剪力图一般比较简单 因此不用叠加法绘制 下面只介绍用叠加法作梁的弯矩图 其方法为 先分别作出梁在每一个荷载单独作用下的弯矩图 然后将各弯矩图中同一截面的弯矩代数相加 即可得到梁在所有荷载共同作用下的弯矩图 例8 9试用叠加法画出图8 20所示简支梁的弯矩图 图8 20 解 1 先将梁上荷载分为集中力偶和均布荷载两组 2 分别画出和单独作用时的弯矩图 图8 20b c 然后将这两个弯矩图相叠加 叠加时 是将相应截面的纵坐标代数相加 例8 10用叠加法画出图8 21所示简支梁的弯矩图 解 1 先将梁上荷载分为两组 其中集中力偶和为一组 集中力为一组 2 分别画出两组荷载单独作用下的弯矩图 图8 21b c 然后将这两个弯矩图相叠加 图8 21 第六节梁的弯曲应力 一 梁横截面上的正应力 一 纯弯曲时梁横截面上的正应力1 纯弯曲如图8 22所示为一矩形截面简支梁 在给定荷载作用下 在梁的段上 各截面的弯矩为一常数 剪力为零 此段梁只发生弯曲变形而没有剪切变形 2 非纯弯曲在梁的 段上 各截面不仅有弯矩 还有剪力的作用 产生弯曲变形的同时 伴随有剪切变形 本节将推导纯弯曲情况下梁的正应力计算公式 1 实验现象 梁变形后 可看到下列变形现象 1 驶所有的纵向线都变成为相互平行的曲线 且靠上部的纵向线缩短 靠下部的纵向线伸长 2 所有的竖直线仍保持为直线 且仍与纵向线正交 只是相对倾斜了一个角度 3 原来的矩形截面 变形后上部变宽 下部变窄 根据上述实验现象 我们作如下分析 根据现象 2 梁横截面周边的所有横线仍保持为直线 且与纵向曲线垂直 于是可以推断 变形后 梁的横截面仍为垂直于轴线的平面 此推断称为平面假设 它是建立梁横截面上的正应力计算公式的基础 根据现象 1 若设想梁是由无数纵向纤维所组成 由于靠上部纤维缩短 靠下部纤维伸长 则由变形的连续性可知 中间必有一层纤维既不伸长也不缩短 我们称此层为中性层 中性层与横截面的交线称为中性轴 图8 24 根据现象 1 3 中性层下部纵向纤维伸长而截面的宽度减小 上部纵向纤维缩短而截面的宽度增大 这一变形现象表示梁的上部受压 下部受拉 若假设各纵向纤维间无相互挤压 则各纵向纤维只产生单向拉伸或压缩 图8 24 2 正应力计算公式 根据上面的分析 我们来进一步推导梁的正应力计算公式 1 几何方面 纵向纤维的线应变为 a 2 物理方面 假设纵向纤维受单向拉伸或压缩 所以 当正应力不超过材料的比例极限时 由虎克定律可得 b 对于指定的横截面 是常数 所以 b 式表明 正应力与距离成正比 即正应力沿截面高度按直线规律变化 图8 26 中性轴上各点处的正应力等于零 距中性轴最远的上 下边缘处的正应力最大 3 静力学方面 上面虽已找到了正应力的分布规律 但还不能直接按 b 式计算正应力 这是因为曲率半径以及中性轴的位置均未确定 这可以通过静力学方面来解决 对于图8 27所示梁的一个横截面 其微面积上的法向微内力组成一空间平行力系 因为横截面上没有轴力 只有位于梁对称平面内的弯矩 所以 各微内力沿轴方向的合力为零 即 c 各微内力对中性轴的矩的和等于截面弯矩 即 d 将式 b 代入式 c 得 因为 0 所以必有 式中为截面形心的坐标 因为截面积 O 则必有 此式说明中性轴必通过截面的形心 这样 中性轴的位置便确定了 将式 b 代入式 d 得 式中 是与截面形状和尺寸有关的几何量 称为截面对轴的惯性矩 故 e 式 e 可确定中性层的曲率 式中称为梁的抗弯刚度 梁的抗弯刚度愈大 曲率就愈小 即梁的弯曲变形就愈小 将 e 式代入 b 式 得 8 6 1 这就是梁横截面上的正应力计算公式 例8 11长为的矩形截面悬臂梁 在自由端处作用一集中力 如图8 28所示 已知 求C截面上K点的正应力 解 1 计算截面的弯矩 图8 28 2 计算截面对中性轴的惯性矩 3 计算c截面上K点的正应力 二 梁横截面上的剪应力 在工程中 大多数梁是在横向力作用下发生剪切弯曲 剪切弯曲时横截面上的内力不仅有弯矩 而且还有剪力 因此横截面上除具有正应力外 还具有剪应力 由于剪应力的存在 就不能保证梁的横截面在变形时保持为平面 也不能保证各纵向纤维间不互相挤压 但试验结果及弹性力学的理论分析表明 剪力的存在对正应力的影响很小 如果把纯弯曲的正应力计算公式 8 6 1 用于剪切弯曲 其所产生的误差非常小 并不影响工程计算的精度要求 因此 梁在剪切弯曲时其正应力仍采用公式 进行计算 至于梁的剪应力在横截面上的分布情况 要比正应力复杂得多 剪应力公式的推导也是在某种假设前提下进行的 要根据截面的具体形状 对剪应力的分布适当地作出一些假设 才能导出计算公式 本节只简要地介绍几种常见截面形式的剪应力计算公式和剪应力的分布情况 对于计算式将不进行推导 一 矩形截面梁的剪应力 8 6 2 式中 所求应力点的水平线到截面下 或上 边缘间的面积对轴的静矩 将上式及代入式 8 6 3 得 表明 剪应力沿截面高度按二次抛物线规律变化 图8 29 c 在截面的上下边缘 处的剪应力为零 在中性轴处 的剪应力最大 其值为 即矩形截面上的最大剪应力为截面上平均剪应力 的1 5倍 二 工字形截面梁的剪应力 工字形截面 由于翼缘上的竖向剪应力很小 计算时一般不予考虑 因此 我们也不作讨论 对腹板上的剪应力 我们可以作和矩形截面相同的假设 导出与矩形截面梁的剪应力计算公式形式完全相同的公式 即 8 6 3 为所求应力点到截面边缘间的面积 图8 30 a 中阴影面积 对中性轴的静矩 剪应力沿腹板高度的分布规律也是按抛物线规律变化的 如图8 30 b 所示 其最大剪应力 中性轴上 和最小剪应力相差不多 接近于均匀分布 通过分析可知 对工字形截面梁剪力主要由腹板承担 而弯矩主要由翼缘承担 T字形截面也是工程中常用的截面形式 它是由两个矩形截面组成 图8 31 a 下面的狭长矩形与工字形截面的腹板类似 这部分上的剪应力仍用式 8 6 3 计算 剪应力的分布仍按抛物线规律变化 最大剪应力仍发生在中性轴上 如图8 31 b 所示 例8 12一矩形截面简支梁如图8 32所示 已知 求截面上点的剪应力 图8 32 解 1 求支座反力及截面上的剪力 2 计算截面的惯性矩及面积 对中性轴的静矩分别为 3 计算截面上点的剪应力 第七节弯曲梁的强度计算 一 梁的正应力强度计算在横向力的作用下 梁的横截面一般同时存在弯曲正应力和弯曲剪应力 从应力分布规律可知 最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的位置 最大弯曲剪应力发生在中性轴处 为了保证梁能安全地工作 必须使梁内的最大应力不超过材料的容许应力 因此 对上述两种应力应分别建立相应的强度条件 一 正应力强度条件梁内的最大正应力发生在弯矩最大的横截面且距中性轴最远的位置 该最大正应力的值为 所以 8 7 1 这就是梁的正应力强度条件 对矩形截面 图8 33 a