高等数学有理式的不定积分方法.ppt

1 有理式的不定积分 3 3有理式的不定积分与有理化方法 有理函数 时 为假分式 时 为真分式 有理函数 多项式 真分式 分解 若干部分分式之和 其中部分分式的形式为 部分分式 有理函数积分法 如果有一个重实根 则的部分分式中一定包含下列形式的项部分分式之和 如果中包含因子时 则的部分分式中一定包含下列形式的项部分分式之和 例如将真分式分解成部分分式 四种典型部分分式的积分 变分子为 再分项积分 而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式 说明 递推公式 已知 利用递推公式可求得 例如 例1求 解 第一种方法 待定系数法 可以用如下的方法求出待定系数 上式通分后得 比较恒等式两端同次幂的系数 得一方程组 从而解得 故有 于是 化简并约去两端的公因子后为 得 例2求 两端去分母 得 或 比较两端的各同次幂的系数及常数项 有 解之得 解 补例 解 例3求 解 即有 即 或 总之 有理函数分解为多项式及部分分式之和以后 各个部分都能积出 且原函数都是初等函数 此外 由代数学知道 从理论上说 多项式Q x 总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的乘积 从而把有理函数分解为多项式与部分分式之和 因此 有理函数的原函数都是初等函数 但是 用部分分式法求有理函数的积分 一般说来计算比较繁 只是在没有其它方法的情况下 才用此方法 例4求 解 补例求 解原式 注意本题技巧 按常规方法较繁 1 三角有理式 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数 三角函数有理式可记为 2 三角函数有理式的不定积分 2 三角有理式的积分法 令 万能替换公式 例4求 解 令 则 注 1 用万能代换一定能将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分 2 万能代换不一定是最好的 3 常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分的代换方法 非 万能的 1 若R sinx cosx R sinx cosx 可取u cosx为积分变量 2 若R sinx cosx R sinx cosx 可取u sinx为积分变量 3 若R sinx cosx R sinx cosx 可取u tanx为积分变量 例5求 解 例6求 解 例7求 解 注 3 某些根式的不定积分 令 令 被积函数为简单根式的有理式 可通过根式代换 化为有理函数的积分 例如 令 例8求 解令 则 原式 例9求 解令 则 原式 补例求 解为去掉被积函数分母中的根式 取根指数2 3的 最小公倍数6 则有 原式 令 内容小结 1 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出 但不一定 要注意综合使用基本积分法 简便计算 简便 习题3 37 9 13 19 21 25 31 33