《微积分课程总结》word版.doc

姓名：郭晨光 学号：2007020459 微积分课程总结 第六章 定积分 6.2定义： 几点注意：1、 如果积分和式的极限存在，则此极限值是个常量；它与f（x）及积分区间a,b有关，而与积分变量用什么字母无关，即2、 无界函数是不可积的，即函数f（x）有界是可积的必要条件。3、 有限区间上的连续函数是可积的，有限区间上只有有限个间断点的有节函数也是可积的。4、 当时， 当时，5、 定积分的几何意义是曲边梯形的面积。6.3定积分的基本性质：性质1： （k为常数）性质2：（此性质可以推广到任 意有限多个代数和的情况）性质3： 积分的可加性 无论c处去什么位置，该性质都成立。性质4：如果函数f(x)与g(x)在区间a,b上总满足条件, 则性质5：如果被积函数f(x)=1.则有性质6：如果函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值分别为M 与m，则性质7：（中值定理）如果函数f（x）在区间a,b上连续，则在a,b内至少又一点使得下式成立 ： #推论1：如果在区间a,b上， 则 #推论2： 6.4定积分与不定积分的关系：定理6.1：如果函数f(x)在a,b上连续，则函数对积分上限x的导数，等于被积函数在上限x处的值，即定理6.2：（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间a,b上连续，则函数定理6.3：设函数f(x)在区间a,b上连续，且F（x）是f(x)的一个原函数，则 （注意：如果函数在所讨论的区间上不满足可积条件，则定理不能使用）6.5定积分的换元积分法：设函数f(x)在区间a,b上连续，令，如果（1） 在区间a,b上又连续的导数；（2） 当t从变到时从单调地变到。则有（定积分的换元公式）注意：在作变量替换时，要相应地替换积分上下限。6.6定积分的分布积分法：公式：6.7定积分的应用：（1） 平面图形的面积情形1：由直线x=a,x=b,x轴及y=f(x)(其中f(x)在a,b上连续）所围成的平面图形 情景2：由直线x=a，x=b，曲线y=f(x)及曲线y=g(x) 所围的平面图形面积（其中f(x),g(x)在a,b上的连续 函数）情形3：由直线y=c,y=d,曲线所围的平面图形（其中是a,b上的连续函数） （2） 旋转体和已知平行截面面积的立体的体积：绕y轴旋转的旋转体体积：绕x轴旋转的旋转体体积：（3） 经济应用问题：例：由边际函数求总函数已知总成本函数，总收益函数，可知边际成本函数 边际收益函数 则总成本函数为 总收益函数为 总利润函数为 6.9广义积分1、 无限区间上的积分设函数f(x)在区间上连续，如果极限存在，就称此极限为为f(x)在上的广义积分，记作 这是称广义积分存在或收敛。如果不存在，就说不存在或发散。 类似的有：#对于广义积分，其收敛的充要条件是： 与都收敛2、 无界函数的积分 设函数f(x)在上连续，当时，,如果存在，就称此极限值为无界函数f（x)在a,b上的广义积分，记作这时称广义积分存在或收敛。如果不存在，就说不存在或发散。 类似情况：#对于时的广义积分，其存在的充要条件是：与 第七章 无穷级数7.1概念 如果当时，部分和数列的极限存在，即（S是有限常数）则称级数收敛。如果的极限不存在，则称级数发散。7.2无穷级数的基本性质：定理7.1：如果级数 与级数都收敛，他们的和 分别是S、W，则级数 也收敛，且 其和为（注意：必须先说明、收敛，才能运用该性质）定理7.2：如果级数收敛，且其和为S。 则它的每一项都乘以一个不为零的常数a后，所 得到的的级数也收敛， 且其和为aS（即级数每一项同乘一个不为零的常 数后，其收敛性不变。定理7.3：在一个级数的前面加上（或减去）有限项，级数 的敛散性不变。定理7.4：如果一个级数收敛，加括号后所成的级数也收敛， 且与原级数有着相同的和。（反之，如果加括号后 所成的级数发散，则原级数也发散。另外，发散 级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛 原级数未必收敛。） 总结：收敛级数加括号收敛级数 发散级数去括号发散级数 收敛级数去括号级数不一定收敛 发散级数加括号级数不一定发散定理7.5：（收敛的必要条件）如果级数 收敛，则（即一般 项极限为零，则级数发散;一般项极限不为零，则 不能判定极限的收敛性，选用其他方法）7.3正项级数：定理7.6：正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列 有界。定理7.6：（比较判别法）如果两个正项级数 与满足关系式 其中c是大于0的常数，那么： （1）当级数收敛时，级数也收敛 （2）当级数发散时，级数也发散常用比较法级数总结：（1） 几何级数：当时收敛于，当时发散（2） 调和级数发散（3） 级数：当时发散,当是收敛定理7.8：（达朗贝尔比值法）如果正项级数 满足条件，则 （1）当时，级数收敛; （2）当时，级数发散; （3）当时，不能用此法判定级数敛散性。总结：1、两个收敛级数相加得一收敛级数。 2、两个发散级数相加不一定是发散的。 3、一个收敛级数加上一个发散级数则为一发散级数。7.4任意项级数、绝对收敛定理7.9：（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件 （1） （2） 则级数收敛，其和 定理7.10：如果任意项级数的各项绝 对值所组成的级数收敛，则原级数也收敛。（注意：如果正项级数发散，则只能判断原级数非绝对收敛，而不能判断其为发散）定理7.11：如果任意项级数满足条件则当l1是级数绝对发散。7.5幂级数 求幂级数收敛区间的步骤：先求出收敛半径R，如果0R+,则再判断是的敛散性，最后写出收敛区间。定理7.11：如果幂级数的系数满足条件则 （1）当时，（2）当 时， （3）当 时， 注意：该定理只针对标准形式的幂级数。如果不是标准形式，可以考虑任意项收敛性判定公式。 (2） 幂级数的性质（1） 如果幂级数和的收敛半径分别为和，则的收敛半径等于和中较小的那个。（2） 如果幂级数的收敛半径，则在收敛区间内，它的和级数时连续级数。（3） 幂级数可以在其收敛区间可以逐项积分，并且积分后级数的收敛半径也是R。（4） 幂级数可以在其收敛区间可以逐项微分，并且微分后级数的收敛半径也是R。7.6泰勒级数和泰勒公式：定理7.13（泰勒中值定理）如果函数在含有点的区间内，有一阶直到阶的连续导数，则当x取区间内任何值时，可以按的方幂展开为其中 （在与之间）则该公式称为函数f(x)的泰勒级数，余项称为拉格朗日型余项。当令时公式变为再令，则称为马克劳林公式。而叫做泰勒级数，当时，公式成为称为马克劳林级数。7.7某些初等级数的幂级数展开式：（1） 直接展开法：利用泰勒级数或马克劳林级数将f(x)展开为幂级数的步骤：1、求出f(x)在x=0的各阶导数值，若函数f(x)在x=0的某阶导数不存在，则f(x)不能展为幂级数 2、写出幂级数，并求出收敛区间 3、 考察在收敛区间内余项的极限是否为0.如为0，则幂级数在此区间内等于函数f(x);如不为0，幂级数虽收敛，但它的和也不是f(x).(2） 间接展开法总结:重要幂级数的展开式 第八章 多元函数8.1空间解析几何空间任意两点之间的距离：球面方程：8.2多元函数对于多元函数来说，可导不一定连续，连续同样不一定可导。8.4偏导数其多元函数对一自变量的偏导数时，只需将其他自变量看成常数，用一元函数求导法即可求得。8.5全微分必要条件：可微偏导数存在， 在处连续（但偏导数不一定连续）充分条件;存在连续偏导数可微8.6复合函数微分法： 8.7隐含数的微分法;8.8二元函数的极值定理8.3：(极值存在的必要条件）如果函数f(x)在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有，定理8.4：（极限存在的充分条件）如果函数f(x)在点的某一领域内有连续的二阶偏导数，且时它的驻点设则 （1）如果，且，则是极大值 （2）如果，且，则是极小值 （3）如果，则不是极值 （4）如果，则是否为极值需另法判别*空间一点到平面的垂直距离公式： 8.9二重积分性质1：常数因子可提到积分号外面性质2：函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和性质3：二重积分的可加性性质4：如果在区域D上总有则，特别有性质5：如果在区域D上有f(x,y）=1，A是D的面积，则性质6：设M与m分别时函数z=f(x,y)在D上的最大值和最小值，A是D的面积，则性质7：二重积分的中值定理：如果f(x,y)在闭区域D上连续，A是D的面积，则在D内至少存在一点使得（中值定理的几何意义为：在区域D上以曲面f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积，等于区域D上以某一点的函数值为高的平顶柱体的体积。*二重积分的计算，可以归结为求两次定积分 （1） （2） 注意：如果平行与坐标轴的直线与区域D的边界线交点多于两点，则要将D分为几个小区域，使每个小区域的边界线与平行于坐标轴的直线的交点不多于两个。然后再应用积分对区域的可加性计算。另外，计算二重积分时应先画出区域D的图形，再写出区域D上的点满足的不等式，从而确定积分上下限。当区域D时圆或是圆的一部分，或者区域D的边界方程用极坐标表示较为简单，或者被积函数为等形式时，一般采用极坐标计算二重积分。 第九章 微分方程与差分方程9.2一阶微分方程：（1） 可分离变量的一阶微分方程 形如 通解为 特别当 或 时得的通解为 的通解为（2） 齐次微分方程形如步骤：1、转换为标准形式 2、设得，再将其代入可得到可分离变量的微分方程 则通解为或 3，将代入（3） 一阶线性微分方程 形如公式：步骤：1、求对应的齐次方程的通解 2、设，并求出 3、将第二步中的y及代入，解出 4、将第三步求出的代入第二步的y的表达式，得 9.3几种二阶微分方程：（1） 最简单的二阶微分方程 形如 方法：对其积分一次得，再对上式积分一次得（2） 不显含未知函数y的二次微分方程 形如 令，则代入方程得求其通解为 则方程的通解为（3） 不显含未知函数x的二次微分方程 形如将其中的看作是y的函数则，于是可将原方程化为，设通解已求出为，则由可知原方程通解为9.4二阶常系数线性微分方程一般形式：将其转换成特征方程求解,下面进行分类讨论（1） 当时，存在两个相异实根，且 ， 这时两个特解为 和 所以通解为（2） 当时，存在两个重根，且 此时特解为 所以通解为（3）当时，存在两个共轭复根，且，其中，此时特解为，则通解为