矢量场的通量及散度.ppt

第二章场论 第6讲矢量场的通量及散度 主要内容 1 通量2 散度3 平面矢量场的通量与散度 教材 第2章第3节 简单曲线与简单曲面术语介绍 1 简单曲线 设连续曲线参数方程为 曲线上的每一点都只对应唯一的一个参数值t 闭合曲线闭合点除外 简单曲线的一般特征是一条没有重点的连续曲线 2 简单曲面 设连续曲面参数方程为 曲面上的每一点都只对应唯一的一个参数值 u v 闭合曲面闭合点除外 简单曲面的一般特征是一条没有重点的连续曲面 1 通量 引例 设有流速场v M 流体是不可压缩的 设其密度为1 求单位时间内流体向正侧穿过有向曲面S的流量Q 如图 取微元ds 微元内速度矢量和法矢量近似看做不变 则穿过ds的流量dQ近似等于 以表示点M处的单位法矢量则流量表示为 令为在点M处的这样一个矢量 其方向与法向量n一致 其模等于面积ds 据此 在单位时间内向正侧穿过S的流量 就可用曲面积分表示为 又如 在电位移矢量D分布的电场中 穿过曲面S的电通量 在磁感应强度矢量B分布的电场中 穿过曲面S的磁通量 通量定义 设有矢量场A M 沿其中有向曲面S某一侧的曲面积分 叫做矢量A M 向积分所沿一侧穿过曲面S的通量 若 则有 通量是可叠加的 在直角坐标系中 设 则通量可写成 又 例1 设由矢径构成的矢量场中 有一由圆锥面及平面所围成的封闭曲面S 如图 试求矢量场从S内穿出S的通量 解 以表示曲面S的平面部分 以表示锥面部分 则通量为 其中 其中为在xOy面上的投影 在上有则 所以 例2 设S为曲面被围在圆柱面内的部分 求矢量场向下穿出S的通量 解 S为函数当u取值为0时的一张等值面 由于矢量场向下穿出S的方向 是z减小的方向同时也是u值减小的方向 故S朝此方向的单位法矢量为 所求通量为 通量为正负时的物理意义 对于流速场v M 设在单位时间内流体向正侧穿过S的流量为Q 根据前面所述 单位时间内流体向正侧穿过曲面元素dS的流量为 其结果是个代数值 若v从曲面的负侧传到曲面的正侧时 v与n夹角为锐角因此dQ为正流量 如下图左所示 反之 v与n夹角为钝角dQ为负流量 如下图右所示 因此 对于总流量 一般应理解为 单位时间内流体向正侧穿过曲面S的正流量与负流量的代数和 如果S为一封闭曲面 此时积分一般指沿S的外侧 此时流量表示从内穿出S的正流量与从外穿入S的负流量的代数和 若Q 0 那S内必有正源 同理Q 0 S内必有负源 但是当Q 0时 不能断言S内无源 例3 在点电荷q所产生的电场中 任何一点M处的电位移矢量为 其中r是点电荷q到点M的距离 是从点电荷q指向点M的单位矢量 设S为以点电荷为球心 R为半径的球面 求从内穿出S的电通量 解 如图 在球面S上恒有r R 且法矢量n与的方向一致 所以 2 散度 散度定义 设有矢量场A M 于场中一点M的某个领域内作一包含M点在内的任一闭曲面 S 设其所包围的空间区域为 以 V表示其体积 以 表示从其内穿出S的通量 若当 以任意方式缩向点M时 比式 的极限存在 此极限为矢量场A M 在点M处的散度 记作divA 散度divA为一数量 表示在场中一点处通量对体积的变化率 也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量 称为该点处源的强度 divA的符号为正表示该点处有散发通量的正源 反之则有吸收通量的负源 其绝对值 divA 表示该点处散发或吸收通量的强度 当divA的值为零时 表示该点处无源 由此称divA 0的矢量场为无源场 把矢量场A中每一点的散度与场中的点一一对应起来就得到一个数量场 称之为由此矢量场产生的散度场 散度在直角坐标系中的表达式 定理 在直角坐标系中 矢量场 在任一点的散度为 证明 由高斯公式得 再按中值定理有 M 为 内的某一点 由此 当 缩向点M时 M 就趋于M 所以 推论1 高斯公式可写成如下的矢量形式 推论2 穿出封闭曲面S的通量等于S所围区域 上的散度在 上的三重积分 由推论1可知 若在封闭曲线S内处处有divA 0 推论3 若在矢量场A内 某些点 或区域 上有divA 0或divA不存在 而在其他的点都有divA 0 则穿过包围这些点 或区域 的任意两张封闭曲面的通量都相等 为一常数 例4 在点电荷q所产生的静电场中 求电位移矢量D在任一点M处的散度divD 解 取点电荷所在之点为坐标原点 此时 其中 因此 于是有 r 0 所以 可见 除点电荷q所在的原点 r 0 divD不存在外 电位移D的散度处处为零 为一无源场 根据推论3和例3有电场穿过包含点电荷q在内的任何风闭曲面S的电通量都等于q 再根据通量可累加 可以得出电学上的高斯定理 穿出任意封闭曲面S的电通量 等于其内各点电荷的代数和 对于在电荷连续分布的电场中 点位移矢量D的散度为 根据高斯定理 即电位移D的散度等于电荷分布的体密度 散度运算的基本公式 c为常数 u为数性函数 例5 已知求 由基本公式得 故 由于 解 3 平面矢量场的通量与散度 上面讨论的是空间矢量场的通量和散度 用类似的方法可引入平面矢量场的通量和散度 为此将平面有向曲线上任一点处的法矢量n的方向做这样的规定 若将n按逆时针方向旋转90度 它便与该点处的切向矢量t共线且同指向 如图 通量定义 平面矢量场 设有平面矢量场A M 沿其中某一有向曲线l的曲线积分 叫做矢量场A M 沿法矢量n的方向穿过曲线l的通量 在直角坐标系中 设 又曲线l的单位法矢量 则通量 可表示为 若l为封闭平面曲线 取其逆时针为正方向 而且对于环绕l一周的曲线积分来说 默认表示积分沿l的正方向进行 据此 可引出散度的定义 散度定义 平面矢量场 设有平面矢量场A M 于场中一点M的某个领域内做已包含点M在内的任一闭曲线 l 设其所包围的平面区域为 以 S表示其面积 以 表示从其内穿出 l的通量 若当 以任意方式缩向点M时 比式 的极限存在 则称之为矢量场A M 在点M处的散度 即 类似地引入格林公式 在直角坐标系中散度可表示为 因此格林公式可写成如下的矢量形式 例6 已知平面矢量场其中a为常数 1 求场A穿出使divA 0的等值线的通量 2 求divA在点M 2 1 处的方向导数的最大值 解 1 因 使divA 0的等值线为一圆周 场A穿出l的通量为 使用极坐标计算 则 2 divA在点M 2 1 处的方向导数的最大值为 作业P65习题3 1 2 3 6 10 Homework5