计算机图形学04-图形几何变换.ppt

矢量矢量和 变换的数学基础 矢量的数乘矢量的点积性质 变换的数学基础 矢量的长度单位矢量矢量的夹角 变换的数学基础 矢量的叉积叉乘的性质如下 1 2 矢量U V垂直于矢量U和V 三矢量的方向遵从右手系 变换的数学基础 矩阵的含义矩阵 由m n个数按一定位置排列的一个整体 简称m n矩阵 变换的数学基础 其中 aij称为矩阵A的第i行第j列元素 第4章 图形几何变换 4 1二维几何变换 1 二维平面上点的表示法 改变顶点坐标 也就是对向量的变换 向量运算必须用矩阵运算来实现 2 图形变换的矩阵表示 一对坐标 x y 一个向量 xy 设 点P x y 点P x y 其数学表达方法 矩阵表达方法 基本变换的种类有 平移Translation旋转Rotation缩放Scaling反射Reflection错切Shear Skew 4 1二维几何变换 齐次坐标HomogeneousCoordinate二次矩阵变换 二次矩阵变换不能进行平移变换 所以需要齐次矩阵变换其中T为 4 1 1基本变换 平移变换 平移变换 4 1 1基本变换 平移变换 移动后 Method xy T xcos ysin xsin ycos x y 其中T为 4 1 1基本变换 旋转变换 旋转变换 4 1 1基本变换 旋转变换 Method XY T aXdY X Y Implementation for inti 0 i m PN i translatetoscreencentre 400 300 p i x p i x 400 p i y 300 p i y p i x p i x sdlg m ScaleX p i y p i y sdlg m ScaleY restoretheoriginalcoordinate p i x p i x 400 p i y 300 p i y PolyLine p m PN drawthescaledpolyline 4 1 1基本变换 缩放变换 缩放变换 4 1 1基本变换 缩放变换 Translate Scale Restore Method 1 对坐标轴的对称变换 XY T XY X Y 2 对原点对称变换 XY T X Y X Y 3 对45 线的对称变换等 4 1 1基本变换 反射变换 对x轴对称 对y轴对称 对原点对称 反射变换 4 1 1基本变换 反射变换 原图 对x轴对称 对y轴对称 对原点对称 Method xy T x cybx y x y b 0 沿X方向错切c 0 沿Y方向错切其中T为 4 1 1基本变换 错切变换 c和b之一为0 错切变换 4 1 1基本变换 错切变换 错切c tan 30 3 3齐次变换矩阵 仿射变换该矩阵可实现 比例 对称 错切 旋转等基本变换 km 可实现平移变换 pq T还可实现透视变换 4 1 1基本变换 变换通式 1 复合平移 2 复合比例 4 1 2二维复合变换 复合变换 由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换 又称基本变换的级连 3 复合旋转 4 1 2二维复合变换 4 级联顺序对组合变换的影响 4 1 2二维复合变换 先平移 再旋转 先旋转 再平移 级联的顺序不同 最终的图形不同 由于矩阵乘法不满足交换率 5 绕平面上任意点P m n 的二维旋转变换 4 1 2二维复合变换 1 2 3 绕平面上任意点P m n 的二维旋转变换矩阵 4 1 2二维复合变换 3 将图形从原点平移到P m n 1 将图形从点P m n 平移到原点O 2 绕原点旋转 绕平面上任意点p m n 的二维旋转变换的总变换矩阵 4 1 2二维复合变换 T1 T2 T3 T 设直线方程Ax By C 0 则 x轴上的截距为 C Ay轴上的截距为 C B斜率为 A B 2 让直线绕原点顺时针旋转 角 使之与x轴重合 1 将直线沿x轴平移C A 使之过原点 对任意直线的对称变换可分解为以下五步 6 对任意直线的对称变换 6 对任意直线的对称变换 3 图形对直线的对称变换变成对x轴的对称变换 4 让直线绕原点逆时针旋转 角 恢复到原来的倾斜位置 5 将直线平移回原来的位置 组合变换矩阵 关于任意轴的对称变换 第4章 图形几何变换 1 平移变换指空间的立体从一个位置移动到另一位置时 其形状 大小都不发生变换的变换 4 3 1三维基本变换 xyz1 T x ly mz n1 轴向比例变换 变换矩阵主对角线上的元素a e j s的作用是是图形产生比例变换 0 S 1 为图形整体放大 S 1 为图形整体缩小 S 0 为对称变换 比例变换 S 1 为恒等变换 xyz1 T xyzs x sy sz s1 xyz1 T axeyjz1 x y z 1 若a e j 则图形三方向的缩放比例相同 若a e j 则图形将产生类似变形 全比例变换 2 相对于原点的缩放变换 比例变换 比例变换 绕Z轴的二维旋转很容易推广到三维 即绕Z轴旋转 角 3 绕三维坐标轴的旋转变换 绕另外两个坐标轴旋转变换公式可由上式坐标参数x y z循环替换而得到 即 三维旋转变换设空间立体绕一轴旋转 角 且 角的正负按右手定则决定 1 绕X轴旋转 角 X坐标不变 Y Z坐标发生变化 2 绕Y轴旋转 角 Y坐标不变 X Z坐标发生变化 3 绕Z轴旋转 角 Z坐标不变 X Y坐标发生变化 3 绕三维坐标轴的旋转变换 3 绕三维坐标轴的旋转变换 绕y轴旋转90 1 对OXY平面的反射 特点 xy值不变 z坐标符号改变 xyz1 T xy z1 2 对YOZ平面的反射 特点 zy值不变 x坐标符号改变 xyz1 T xyz1 3 对XOZ平面的反射 特点 xz值不变 y坐标符号改变 xyz1 T x yz1 4 反射变换 5 错切变换 错切变换可以修改三维物体的形状 例子 沿X轴方向错切变换矩阵 Y Z轴方向坐标不变 6 仿射变换 坐标变换形式 每一个变换后的坐标都是原坐标的线性函数 具有特性 平行线变换到平行线且有限点变换到有限点 平移 旋转 缩放 反射和错切都是仿射变换的特例 任何仿射变换总可以表示成这五种变换的组合 三维图形变换矩阵通式为4x4方阵 比例 反射 旋转 错切 平移 投影变换 总体比例变换 空间点 xyz 的四维齐次坐标 XYZH 表示 三维空间点的变换为 xyz1 T x y z 1 变换前点的坐标 变换后点的坐标 三维图形的变换矩阵 lmn 1x3 pqr T s 1x1 7 变换通式 1 关于任意给定点的缩放变换 4 3 2三维复合变换 例 设三维空间中有一条任意直线 它由直线上一点Q和沿直线方向的单位方向向量n确定 Q点坐标为 直线向量求绕这条直线旋转角的旋转变换矩阵 2 关于任意轴线的三维旋转 按以下五步实现 1 平移对象 使得旋转轴通过坐标原点 2 旋转对象 使得旋转轴与某一坐标轴重合 如 绕Y轴旋转 角的变换 使该直线与Z轴重合 3 绕坐标轴完成指定的旋转 如 绕Z轴旋转 角的旋转变换 4 利用逆旋转使旋转轴回到其原始方向 如 做第2步的逆变换 即做绕Y轴 旋转变换 5 利用逆平移使旋转轴回到其原始位置 如 做第1步的逆变换 即做 x0 y0 z0 平移变换 2 关于任意轴线的三维旋转 第4章 图形几何变换 4 4图形几何变换的模式 图形几何变换的两种模式 变换的固定坐标系模式相对于同一个固定坐标系先调用的变换先执行 后调用的变换后执行 4 4图形几何变换的模式 某些图形软件包提供两种图形变换模式 可方便地控制变换的次序 图形模式 矩阵合并时 先调用的矩阵放在右边 后调用的矩阵放在左边 也称为固定坐标系模式 这种模式的特点是每一次变换均可看成相对于原始坐标系执行的 空间模式 又称活动坐标系模式 先调用的矩阵放在左边 后调用的矩阵放在右边 连续执行几次变换时 每一次变换均可看成是在上一次变换形成的新坐标系中进行的 4 4图形几何变换的模式 1 先把图形绕z轴旋转30 然后再沿x轴平移距离7 图形模式 示例 先旋转后平移 先平移后旋转 2 先把图形沿x轴平移距离7 然后再绕z轴旋转30 Rotate 30 0 0 1 Translate 7 0 0 draw triangle 可看成先对坐标系oxy作旋转 得到相应的坐标系ox y 然后再相对于新坐标系ox y 作平移得到最后结果 空间模式 示例 经变换后得到的三角形相对于原始坐标系的位置与图5 1 c 是一样的 只是考虑变换的方式不同 先平移后旋转 在绘图的情况下多用图形模式 因为用户比较容易估计变换后的结果 整体变换的基础上再作一些较独立的局部变换时 常用空间模式如机械手经过变换后移动到适当位置 手腕和手指的运动是相对于手臂的 如果在手臂上建立了一个坐标 考虑手腕手指的运动就简单多了 当手臂作移动后 固定在手臂上的坐标便成为新坐标 手腕和手指的运动就可以在新坐标中考虑 这种多次变换的情况要用空间模式 不同的应用要用不同的变换模式