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第1章 光在各向同性介质中的传播 本章内容 1 1光波的特性1 2光波在介质界面上的反射和折射1 3光波在金属表面上的反射和折射 1 1光波的特性1 2光波在介质界面上的反射和折射 主要内容1 1 1光电磁波及Maxwell方程组1 1 2几种特殊形式的光波1 1 3光波场的时域频率谱1 1 4相速度和群速度1 1 5光波的横波性 偏振态 1 1光波的特性 1 电磁波谱 1 1 1光电磁波及Maxwell电磁方程 rays Cosmicrays Long waves X rays Radiowaves Microwave 2 Maxwell方程 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 1光电磁波及Maxwell电磁方程 说明 物质的不同决定了物质特性的不同 3 物质方程 各向异性介质 1 1 1光电磁波及Maxwell电磁方程 各向同性介质 4 波动方程 1 1 1光电磁波及Maxwell电磁方程 无源空间 0 对 1 1 10 式两边取旋度 并将 1 1 11 式代入 可得 对于各向同性均匀介质并考虑到 1 1 8 式 可得 1 1 1光电磁波及Maxwell电磁方程 利用矢量微分恒等式 1 1 12a 1 1 12b 同理得 令 1 1 13 1 1 1光电磁波及Maxwell电磁方程 1 1 16 波动方程 真空中的光速 介质折射率 一般介质 r或n是频率 波长 的函数 其取决于介质结构 5 光电磁场的能流密度 1 1 1光电磁波及Maxwell电磁方程 能流密度矢量 坡印廷矢量定义为 沿z方向传播的平面光波的光场可表为 则平面光波的能流密度表示为 由 1 10 式 平面光波场有 1 1 1光电磁波及Maxwell电磁方程 1 1 18 该式表明 平面光波的能量沿z方向以波动形式传播 实际应用中 通常用能流密度的时间平均值 S 表征光电磁场能量传播的平均效果 并称其为光强 以I表示 如果光电探测器的响应时间为T 则 式中 是比例系数 即在同一种介质中 1 1 1光电磁波及Maxwell电磁方程 将 1 18 式代入 进行积分可得 1 1 19 某些应用场合 由于只考虑某一种介质中的光强 只关心光强的相对值 因而往往省略比例系数 把光强写成 如果考虑的是不同介质中的光强 则比例系数不能省略 1 1光波的特性 主要内容1 1 1光电磁波及Maxwell方程组1 1 2几种特殊形式的光波1 1 3光波场的时域频率谱1 1 4相速度和群速度1 1 5光波的横波性 偏振态 1 1 2几种特殊形式的光波 说明 只讨论电场矢量 对于不同的边界条件 或者边值条件 其解的具体形式不同 1 1 2几种特殊形式的光波 1 平面光波 1 波动方程的平面光波解 直角坐标系 假设f不含x y变量 则波动方程可表示为 1 1 21 改写为 1 1 2几种特殊形式的光波 令 可以证明 因此 求解得 1 1 22 1 z vt 表示沿z方向以速度v传播的波 右行波 1 1 2几种特殊形式的光波 图1 2平面波示意图 2 z vt 表示沿 z方向以速度v传播的波 左行波 1 1 2几种特殊形式的光波 若平面波沿 z方向传播 其电场表示式为 1 1 23 2 单色平面光波 三角函数表示 1 1 2几种特殊形式的光波 1 1 24 复数表示 复振幅 考虑到初相位 2 单色平面光波 则 又 1 1 2几种特殊形式的光波 三角函数表示 1 1 28 相应复振幅 若单色平面光波沿任一波矢方向传播 则 1 1 29 复数表示 1 1 30 为与z轴的夹角 假定平面光波的波矢量平行于xOz平面 则在z 0平面上其复振幅可表为 则与之相应的相位共轭光波的复振幅可表为 该式表明 此相位共轭光波是与波来自同一侧的平面光波 其波矢量也平行于xOz平面 并且与z轴夹角为 对照 1 30 式 可将 1 28 式的复数共轭写成下列形式 说明 凡是描述真实物理量的参量都必须是实数 采用复数形式来描述 只是为了数学运算上的方便 对复数形式的量进行运算 只有取实部后才有物理意义 并且才能得到与三角函数运算相同的结果 由于对e i t kz 和ei t kz 取实部可得到相同结果 因此对于平面简谐光波而言 采用e i t kz 和ei t kz 两种形式完全等效 1 1 2几种特殊形式的光波 1 1 2几种特殊形式的光波 2 球面光波 采用标量波理论 且令f f r t 波动方程的形式为 球坐标系下 一个各向同性的点光源 向外发射球面光波 等相位面是以点光源为中心 随距离的增大而逐渐扩展的同心球面 1 1 2几种特殊形式的光波 1 1 19 解 单色球面光波 可以看出 球面光波的振幅与球面的曲率半径r成反比 f1 r vt 从原点沿r向外发散的球面光波 f2 r vt 向原点 点光源 传播的会聚球面光波 单色球面光波的波函数 复数形式为 1 1 2几种特殊形式的光波 3 柱面光波 圆柱坐标系中波动方程 1 1 19 一个各向同性的无线长线光源 向外发射柱面光波 等相位面是以线光源为中心轴 随距离的增大而逐渐展开的同轴圆柱面 单色柱面光波 1 1 2几种特殊形式的光波 4 高斯光束 研究表明 从稳定球面腔和共焦腔中所发出的激光束是高斯激光束 这种高斯激光束最显著的特征就在于 它的外轮廓是圆形双曲面 即旋转双曲面 或者椭圆形双曲面 等相面曲率半径在正无限大和负无限大之间连续变化 曲率中心在正无限大和负无限大之间连续变化 在垂直光传播轴线的平面内光场振幅分布遵循高斯分布 概念 特点 圆柱坐标系下 波动方程的形式 基模圆高斯光束的标量波解 光斑半径 中心振幅值下降到1 e的点所对应的光斑宽度 1 1 2几种特殊形式的光波 光斑半径随z的变化按双曲线规律扩展 高斯分布与光斑半径 基模圆高斯光束在其传播轴线附近 可以看作是一种非均匀的球面波 其等相位面是曲率中心不断变化的球面 振幅和强度在横截面内保持高斯分布 1 1 2几种特殊形式的光波 光束的分类 1 1 2几种特殊形式的光波 均匀平面光波均匀球面光波均匀柱面光波 高斯光束高次曲面光波 波动方程的特解1 同心光束解 波动方程的特解2 非同心光束解 1 1光波的特性 主要内容1 1 1光电磁波及Maxwell方程组1 1 2几种特殊形式的光波1 1 3光波场的时域频率谱1 1 4相速度和群速度1 1 5光波的横波性 偏振态 1 单色光波与复色光波 频率为 的单色平面光波可表为 1 1 3光波场的时域频率谱 复色光波可表为不同频率单色光波的叠加 1 1 51 exp i2 t 傅氏空间 或频率域 中频率为 的基元 取实部得cos 2 t 因此可将exp i2 t 视为频率为 的单位振幅简谐振荡 E 随 的变化称为E t 的频谱分布 或简称频谱 1 1 3光波场的时域频率谱 只考虑光波场在时间域内的变化 表示为E t 2 频率谱 傅里叶变换 1 1 52 因此可理解为 一个随时间变化的光波场振动E t 可以视为许多单频成分简谐振荡的叠加 各成分的振幅为E 1 1 3光波场的时域频率谱 一般情况下 由上式计算出来的E 为复数 它就是 频率分量的复振幅 可表示为 式中 E 为模 为辐角 因而 E 2就表征了 频率分量的功率 称 E 2为光波场的功率谱 可见 一个时域光波场E t 可以在频率域内通过它的频谱进行描述 无限长时间的等幅振荡 理想单色光波 1 1 3光波场的时域频率谱 即 等幅振荡光场对应的频谱只含有一个频率成分 0 我们称其为理想单色振动 其功率谱为 E 2 2 持续有限时间的等幅振荡 无吸收损耗作用的有限长波列 串 设振幅为1 或 相应的功率谱 1 1 3光波场的时域频率谱 其频谱的主要部分集中在从 1到 2的频率范围之内 主峰中心位于 0处 0称为振荡的表观频率或中心频率 1 1 3光波场的时域频率谱 为表征频谱分布特性 定义最靠近 0的两个强度为零的点所对应的频率 2和 1之差的一半为这个有限正弦波的频谱宽度 即 2 1 2 1 1 3光波场的时域频率谱 可见 振荡持续的时间越长 频谱宽度愈窄 当 0时 E 0 2 2当 0 1 T时 E 0 所以 3 衰减振荡 有吸收损耗作用的半无限长衰减波列 1 1 3光波场的时域频率谱 表达式 频谱 功率谱 可见 该衰减振荡也可看作无限多个振幅不同 频率连续变化的简谐振荡的叠加 0为中心频率 把最大强度一半所对应的两频率 2和 1之差 定义为这个衰减振荡的频谱宽度 1 1 3光波场的时域频率谱 由于 1 2时 E 2 2 E 0 2 2 即 1 1 3光波场的时域频率谱 化简得 所以 注意 在上面的有限正弦振荡和衰减振荡中 尽管表达式中含有exp i2 0t 的因子 但E t 已不再是单频振荡 换言之 我们只能说这种振荡的表观频率为 0 而不能简单地说振荡频率为 0 只有以某一频率作无限长时间的等幅正弦振荡 才可以说是严格的单色光 1 1 3光波场的时域频率谱 理想的单色光是不存在的 实际上能够得到的只是接近于单色光的准单色光 例如 3 准单色光 1 持续有限时间的等幅振荡 如果其振荡持续时间很长 以致于1 T 0 则E 的主值区间 0 1 T 0 1 T 很窄 可认为接近于单色光 2 对于衰减振荡 若 很小 相当于振荡持续时间很长 则频谱宽度很窄 也接近于单色光 1 1 3光波场的时域频率谱 对于一个实际表观频率为 0的振荡 若其振幅随时间的变化比振荡本身缓慢得多 则这种振荡的频谱就集中于 0附近的一个很窄的频段内 可认为是中心频率为 0的准单色光 1 1 3光波场的时域频率谱 场表达式 振动曲线在t t0时 振幅最大 且为A 当 t t0 t 2时 振幅降为A e 参数 t表征着振荡持续的有效时间 例如 在空间某点以表观频率 0振动 振幅为高斯函数的准单色光波 1 1 3光波场的时域频率谱 场表达式 频谱 变量代换 并将被积函数分为实部和虚部分别积分 得 1 1 3光波场的时域频率谱 相应的功率谱 该频谱宽度 表征了高斯型准单色光波的单色性程度 根据上述定义 有 E 2 2 E 0 2 e 计算可得 因此 1 1 3光波场的时域频率谱 1 1光波的特性 主要内容1 1 1光电磁波及Maxwell方程组1 1 2几种特殊形式的光波1 1 3光波场的时域频率谱1 1 4相速度和群速度1 1 5光波的横波性 偏振态 主要内容1 1 1光电磁波及Maxwell方程组1 1 2几种特殊形式的光波1 1 3光波场的时域频率谱1 1 4相速度和群速度1 1 5光波的横波性 偏振态 相应于的空间曲面为该单色光波的等相位面 1 单色光波的速度 相速度 单色光波场表示式 随距离变化的相位项 满足该式的是这个相位状态在不同时刻的位置 1 1 4相速度和群速度 对求微分 得 当0垂直于等相位面 即0 时 上式值最小 该v 就是等相位面的传播速度 简称为相速度 对于波矢量为的平面单色光波 其空间相位项为 设0为d方向上的单位矢量 并写成d 0ds 则 1 1 4相速度和群速度 所以当时 例如在色散介质的反常色散区 就有相速度v大于真空中光速度c的情况 这并不违背相对论的结论 特别说明 相速度是单色光波所特有的一种速度 并不表示光波能量的传播速度 因此平面单色光波的相速度为 1 1 4相速度和群速度 实际上的光波都不是严格的单色光波 它的光电场可表示为单色光波电场的叠加 即 以二色波为例 其光电场 2 复色光波的速度 1 1 4相速度和群速度 若E01 E02 E0 且 1 2 1 2 则 式中 1 1 4相速度和群速度 1 1 4相速度和群速度 可见对于复色波 其传播速度包含两种含义 1 等相位面的传播速度 称为相速度 2 等振幅面的传播速度 称为群速度 1 1 4相速度和群速度 1 复色波的相速度 令复色波相位为常数 则某时刻等相位面的位置z对时间的变化率即为等相位的传播速度 复色波的相速度 且 1 1 4相速度和群速度 2 复色波的群速度 复色波的振幅是时间和空间的余弦函数 任一时刻 满足 mt kmz 常数的z值 即为某等振幅面的位置 该等振幅面位置随时间的变化率即为等振幅面的传播速度 复色波的群速度 当 很小时 写成 1 1 4相速度和群速度 3 相速度与群速度之间的关系 由波数k 由k 2 由v c n 1 1 4相速度和群速度 dk 2 2 d dv c n2 dn 4 结果和结论 由此可见 在折射率n随波长变化的色散介质中 光波的相速度不等于群速度 对于dn d 0 正常色散介质 v vg 1 1 4相速度和群速度 对于dn d 0 反常色散介质 v vg 对于dn d 0 无色散介质 v vg 相速度等于群速度 只有真空才属于这种情况 1 1 4相速度和群速度 复色波是由许多单色光波组成的 只有复色波的频谱宽度很窄 各个频串集中在某一 中心 频率附近时 才能构成波群 上述关于复色波速度的讨论才有意义 如果 较大 得不到稳定的波群 则复色波群速度的概念没有意义 只有在色散很小的介质中传播时 群速度才可以视为一个波群的传播速度 由于光波的能量正比于电场振幅的平方 而群速度是波群等振幅点的传播速度 所以在群速度有意义的情况下 它即是光波能量的传播速度