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第三部分 开放体系问题第十一章含时问题与量子跃迁本章讨论量子力学中的时间相关现象。它们包括：含时问题求解的一般讨论、含时微扰论、量子跃迁也即辐射的发射和吸收问题。如果说，以前各章主要研究量子力学中的稳态问题，本章则专门讨论非稳态问题。根据第五章中有关叙述，由于我们所处时空结构的时间轴固有的均匀性，孤立量子体系的Hamilton量必定不显含时间，从而遵守不显含时间的Schrdinger方程。因此，这里含时Schrdinger方程所表述的量子体系必定不是孤立的量子体系，而是某个更大的可以看作孤立系的一部分，是这个孤立系的一个子体系。当这个子体系和孤立系的其他部分存在着能量、动量、角动量、甚至电荷或粒子的交换时，便导致针对这个子体系的各类含时问题。在了解本章（以及下一章）内容的时候，有时需要注意这一点。11.1含时Schrdinger方程求解的一般讨论1,时间相关问题的一般分析量子力学中，时间相关问题可以分为两类：i,体系的Hamilton量不依赖于时间。这时，要么是散射或行进问题，要么是初始条件或边界条件的变化使问题成为与时间相关的现象。“行进问题”例如，中子以一定的自旋取向进入一均匀磁场并穿出，这是一个自旋沿磁场方向进动的时间相关问题； “初始条件问题”比如，波包的自由演化，这是一个与时间相关的波包弥散问题。更一般地说，初态引起的含时问题可以表述为：由于Hamilton量中的某种相互作用导致体系初态的不稳定。例如Hamilton量中的弱相互作用导致初态粒子的衰变等； 最后，“边界条件变动”也能使问题成为一个与时间相关的现象。例如阱壁位置随时间变动或振荡的势阱问题等。ii,体系的Hamilton量依赖于时间。这比如，频率调制的谐振子问题或是时间相关受迫谐振子问题，交变外电磁场下原子中电子的状态跃迁问题等等。如果问题允许有精确的、解析的解，就称相应的Hamilton量为可积的，相应系统为可积体系。所谓“解是精确的”是指，所求的波函数能够被表述为解析的形式或是一个积分 含时问题精确求解的论述可参见M. Kleber，Exact Solutions for Time-dependent Phenomena in Quantum Mechanics， Phys. Reports， 236，No.6 (1994)。情况和经典力学相似，在量子力学中，时间相关可积体系比定态可积系统更少。绝大多数时间相关问题只能以各种近似方法求解。由于课程所限，这里只叙述时间相关的一部分问题和某些基本的近似方法。2,含时系统初始衰变率的一个普遍结论现在研究的问题可以一般地提为 (11.1)注意，通常情况是，不同时刻的可能彼此不对易，因而，时间演化算符不存在如下简明紧凑的形式 于是，解也就不能写成这种简明紧凑的形式。含时量子体系问题的类型和相关计算都很复杂，但却存在一个共同的普遍结论。定义：任意不稳定量子体系演化到时刻初态仍存活着，而不衰变(或不跃迁)的概率可定义为 (11. 2)可以证明：任何不稳定量子体系在初始时刻的衰变(或跃迁)的速率必定为零： （11. 3）证：由于 和 于是令取极限，即得（11. 3）式。 由于这是含时体系的一个普遍结论，当然也是下面各类含时微扰论的共同特征。表面上看，这里的量子力学结论（11. 3）式和放射源的负指数衰变的统计规律是互相抵触的（初始衰变速率是）。然而，后者描述的是处于统计平衡的量子系综（“在时间上先先后后”被制备出的大量同一种不稳定粒子），因而在时间内的衰变数必定正比于当时的粒子数，并且“可以认为”比例系数与无关（因为有各种存活“年令”的不稳定粒子均衡混合着）。这样一来，对t积分自然就得到负指数的统计衰变规律；而（11. 3）式是指“在同一时刻”被制备出的、因而具有同一存活年令的、大量同一种不稳定粒子的衰变规律。两者所研究的量子系综不同，并不相互矛盾。3,衰变体系长期衰变规律的一个分析 本段内容可见L. Fonda，G.C. Ghirardi and A. Rimini，Decay Theory of Unstable Quantum Systems，Rep. Prog. Phys.，Vol. 41，587 (1978)。和上面初始时刻衰变特性偏离负指数相呼应，下面证明，体系初态的衰变概率曲线当时也将偏离负指数规律。假定所研究的不稳定体系是个孤立系，它初态的衰变完全由于内部相互作用所致。于是Hamilton量将不显含，并且有如记，到时刻初态的存活概率即为。我们假定，Hamilton量的能谱有一个下限。这个假定从物理上看是合理的，因为由于跃迁(特别是自发跃迁)的存在，没有这个下限的量子系统将会因为不断地向下跃迁、不断地释放能量而最终坍缩掉，从而失去研究的价值。设的本征函数族为，这里表示（除能量外的）标记能量本征态所必须的另一些量子数。于是 ，这里 . 。显然有由于的这个绝对可积性质，可以直接引用富里叶变换理论中的Riemann-Lebesque定理 参见，例如，河田龙夫著，富里哀变换与拉普拉斯变换，(现代应用数学丛书)，第三页，上海科学技术出版社，1961年。，得知不但如此，根据富里叶变换理论中的Payley和Wiener定理 出处见前注中Fonda文章的参考文献，为Payley和Wiener合著的书：复数域中的富里叶变换，美国罗德岛州，普诺未登斯，美国数学学会，第18页，定理12。：如果A(t)的富里叶变换像函数（）在某个下限频率以下恒为零（现在在能谱下限以下恒为零），则A(t)必定满足于是，若要此积分当时收敛，必须有这里、为某两个常数并且；另一方面，由于，相应是负值，最后得 (11.4)这个结果表明，量子体系存在基态要求：在长的衰变时间下，不衰变概率必定偏离负指数规律，并且要慢于负指数的衰减。4,量子Zeno效应存在性的理论论证理论研究发现 这个纯量子效应最早在理论上由Sudarshan等人提出，参见J. Math. Phys.，18，756 (1977)； Phys. Rev. D，16，520 (1977)。相关论述很多，这里改进的简化论述取自 Y.D. Zhang，J.W. Pan and H. Rauch，Some Studies about Quantum Zeno Effects， 此文收在Fundamental Problems in Quantum Theory， edited by D.M. Greenberger and A. Zeilinger， Annals of the New York Academy of Sciences，Vol. 755，353 (1995)。，频繁地对一个不稳定体系进行量子测量将会抑制或阻止它的衰变(或跃迁)。极端而言，连续的量子测量将使不稳定体系稳定地保持在它的初态上，完全不发生衰变或跃迁。这种不稳定初态的存活概率随测量频度的增加而增加的现象就是量子Zeno效应。根据上面的推导并结合下面叙述可以看到，这种效应其实就是量子测量理论和方程的一个直接推论，是一种完全不存在经典对应的纯量子现象。应当强调指出，这里的量子测量是完整意义上的量子测量，也即第一章中所论述的那一类可以分解为谱分解、随机坍缩和初态演化三个阶段的量子测量。设一个含时量子体系的初态为，按上面Riemann-Lebesque定理，随着这个不稳定体系的演化，其初态的存活概率将越来越小。当然，这个按它的物理含义应当只适用于，自开始演化之后，直到时刻才执行检验初态存活与否的量子测量，在时间间隔内不再进行任何这类量子测量。现在问，如果在之间再附加以若干次这类量子测量，上面意义下的这个实测值会不会发生变化? 下面根据量子测量理论所作的分析表明，的实测值应当增加。具体如下：将区间等分为份，在每一时刻进行一次量子测量，以确认体系是否仍处在上。按上面关于含义的叙述，第一次在时刻测量时，初态存活概率为，按测量理论，除衰变或跃迁的已经不予计入了以外，剩下的这部分将坍缩成为初态，并以此时刻为初始时刻再次重新开始演化，演化到时刻，再次作类似测量，于是，经两次测量后到时刻，总计的初态存活概率成为。如此继续推论下去，最后可得：在内经受次测量后，初态的存活概率为当足够大时足够小，可将展开并保留到一阶项如果令，就过渡到在内为连续测量的理想极限情况。设这时存活概率为，有注意(11.3)式：，最后得到 (11.5)即当一个不稳体系经受连续量子测量时，将一直处于它的初态而不发生(本应发生的)衰变或跃迁。当然，尽管连续测量在原则上是存在的，但实验上常常不易实现，因此用实验检验这一效应存在与否时，只需做到：对于给定的区间，用实验检验存活概率的如下不等式即可，这里应当指出两点：其一，最近有论文表明，如果测量频度在一定范围内，也可以造成反量子Zeno效应加速衰变的效应，具体要看衰变曲线的形状决定。但此处推导已经表明，不论衰变曲线的形状如何，只要测量的频度够密，最终结果是反量子Zeno效应将消失，总归是量子Zeno效应。其二，以上关于量子测量及相关的讨论当然是理想化的、概念性的。尽管如此，上面叙述还是足以令人相信：量子Zeno效应揭示，在量子测量过程中时间实际上是停滞了。就是说，测量导致量子体系演化时间的塌缩 R。Coveney，et。al。，时间之箭， 第一推动丛书，江涛，向守平译，湖南科学技术出版社，1995。！这一深邃而难以捉摸的现象竟然直接蕴含在量子理论的公设，特别是第三、第四这两个公设之中，这是让人兴奋而又令人费解的。5,相互作用图象中的处理Hamilton量中含时项往往只是一小部分，就是说含时项中含有一个小参数，于是有可能将含时Hamilton量分解成为一个不含时而且本征值本征矢量为已知的部分，加上一项含时的难于解析处理的部分。即常常（并不总是）能够将表示为 (11.6)这时，对Schrdinger方程作幺正变换（这就是常说的转入相互作用图象），记于是有完成左边时间微商，即得相互作用图象下的Schrdinger方程， (11.7)由于减除了的直接作用，方程(11.7)中态矢随时间的导数将和相互作用中小参数成正比。这个特点极便于对方程作逐级近似，这正是这个图象的优点。将(11.7)式及初条件合并写成积分方程， (11.8)通常采用迭代法求解这个积分方程（将上一级近似解代入方程右边积分号下，按右边计算出这一级的近似解，再代入积分号下求下一级近似解，等等）。从开始如此迭代，展开后即得(11.9)这里右边各项分别包含了的零次幂、一次幂、二次幂、等等。由于算符正比于中所含的小参数，大括号内各项即成为关于这个小参数的幂级数展开式，很便于作各级近似下的截断处理。这正是由于(11.7)式是从原先Hamilton量中经幺正变换消减去了（加在上的）主要部分的缘故。注意，一般与不对易，因此即便不含时，也总会含时。 举个例子。设，其中含有小参量，可当作微扰。于是记，转入相互作用图象，即引进变换即得相互作用图象中态矢运动的Schrdinger方程利用(5.79)式，算出右边的变换，得这里。当不是的实函数时，此方程不易解析求解。这时便可利用上面迭代所得的级数展开近似求解， 注意这里积分号内的算符和并不依赖于时间。6,受迫振子计算 和经典理论的情况相似，受迫振子模型在量子理论，特别是在量子场论、量子光学、固体理论中有广泛的应用。受迫振子是指一个受含时外力作用的谐振子，更一般地，还可以受一个与速度成正比的阻尼力的作用。此体系的Hamilton量为 （11.10）这里和为两个实函数。转入Fock空间并利用量子变换来解决这一含时问题。为此先作变换（参见第五章相干态叙述）这里是玻色子。于是得 （11.11）对此波色子作平移变换，其中复数是的待定函数，即将此变换引入现在的问题：得到 （11.12）由于于是可得 （11.13）现在，选取待定函数，使它满足如下方程和初条件：按一阶线性非齐次微分方程通解表达式，可求得为于是原先方程变换成为对的如下简单可解的方程： （11.14）求积此方程，最后得到的解为： （11.15）这里，乘积的具体结果要视如何而定。例如，若，则是参数的相干态。这时进一步计算可将中间因子化为正规乘积形式，向右抽出含湮灭算子的乘子，作用到其后的并取出值，如此化简之后，已经容易直接计算下去。7,变频振子计算随时间变化振子也是量子理论中一个重要的含时模型，Hamilton量为 （11.16）严格求解这一问题可用广义线性量子变换理论（GLQT） GLQT是Y.D. Zhang以及Z. Tang, S.X. Yu, L. Ma, J.W. Pan 和X.W. Xu等人的工作，其中部分文章为： J. of Math. Phys., Vol. 34, 5639 (1993); Nuovo Cimento, 109 B, 387 (1994); Commun. Theor. Phys., Vol. 24, 185 (1995); J. Phys. A: Math. Gen., Vol. 27, 6563 (1994); Commun. Theor. Phys., Vol. 27, 87 (1997); Phys. Rev. E, Vol. 56, 2553 (1997); Chin. Phys. Lett., Vol. 14, 812 (1997); Chin. Phys. Lett., Vol. 14, 241 (1997); Acta Physica Sinica, Vol. 48, 37 (1999)。本节叙述即取自这里最后一篇文章。按GLQT，可以假定将此含时量子体系的时间演化算符取为 （11.17）这时涉及的待定参量一共有四个：、，它们均为时间的实函数，且。符号“”表示对算符和取正规顺序，即算符在乘积的左边而在乘积的右边，如，等等。由于（取），GLQT给出这种满足以下变换关系式， （11.18）展开即为将代入Schrdinger方程，得因为初条件是任意的，从等式两边将其删去，即得算符方程：，或 （11.19）考虑到算符已取为正规乘积形式，因此可将时间导数运算直接送入的正规乘积号之内，按普通求导方式计算。将的表达式代入此算符方程，并注意变换关系式及，即可得到 （11.20）于是，对于给定的和所列的初条件，求解此四个系数函数，和的微分方程，然后将它们代入表达式，即得到解为相应的波函数为 （11.21）这里是给定的初态波函数。利用积分公式不难算出这个对的积分，最后得到 （11.22）11.2时间相关微扰论与量子跃迁1,含时扰动及量子跃迁的概念体系的Hamilton量原来为，自某一时刻（）起经受一扰动，总Hamilton量成为。这时可按与时间是否有关而区分为两种情况：第一，若与时间无关，要么是个定态微扰论问题，即定态波函数及其本征值的修正问题；要么属于定态框架下的散射或跃迁问题，这看问题的提法及初态情况而定。与此相应，作为展开基矢的本征函数族，原则上既可选的也可以选择的，但通常情况是的本征函数族难于求解，只能采用的本征函数族作为展开基矢。第二，若与时间有关，则是个非定态问题。体系能量已不再守恒，状态波函数的概率分布一般会随时间变化。此时只能选择的本征函数族作为展开基矢。这里应当注意的是，用本征函数族对含时问题的未知态展开时，展开式系数应当与时间有关，是“变系数展开”： 于是 （11.23）从而，演化到时刻，系统处于态的概率为 (11.24)详细些说就是，体系在时刻处于初态，经受在（）时间段内扰动，至时刻体系跃迁到的态的量子跃迁概率。2,量子跃迁系数基本方程组及其一阶近似现在，根据上面变系数展开法具体地近似计算量子跃迁概率。由相互作用表象中态矢的方程(11.8)两边作用以，并在积分号下中间插入的完备性关系，得到为便于一般性考虑，将刚加上扰动的时刻改记为，上式成为(11.25)这里，。这里既可以是有限值，也可以为无限远的过去（）。研究(11.25)式一个特殊情况。如果时刻体系处在的一个本征态上，在（）时间段内经受扰动，到时刻的跃迁系数方程组为 (11.26)这里已经将向态的跃迁系数由改记为，以表示是由态出发的跃迁。对于发生跃迁()的情况，有 （11.27）相应的跃迁概率为如果体系初始时刻处于混态这里，即体系分别以的概率（而不是概率幅）处于态上，则向态(全部)的跃迁概率为 积分方程组(11.27)式是研究量子跃迁问题的基本方程组。为具体求解，假定含有一个可以看作小量的参数，于是就可以对这个方程组作逐阶迭代近似。最简单的一阶近似是将方程组右边积分号下的未知系数代以零阶近似的。由此即得方程组左边跃迁系数的一阶近似值（）显然，这里的叙述也可以应用于。此时如假定与无关而将积分积出，由方程(11.26)得 ,当值够大时，会出现不合理情况。由这种分析可知，此处所做近似应当要求对角矩阵元对时间的积分值很小虽然积分时间间隔比大很多。， （11.28）由此得知，只在区间内有扰动，在以外都撤除（当然，前面已说过，、也可以分别假定为和)的情况下，从至时刻系统自态跃迁到态的跃迁概率为 (11.29)（11.29）式是一阶近似下讨论造成的量子跃迁问题的出发点。注意，只要积分区间比大很多，积分上下限便可近似取为。由于在区间之外已撤除，此处富里叶积分在上下限处是收敛的。附带指出，这里的表达式显然满足前面的普遍结论。11.3几种常见含时微扰的一阶近似计算1,常微扰假定微扰与时间无关，并且按体系特征时间尺度衡量，是在足够长时间内加在系统上。这时，按上面一阶近似所得方程(11.29)，单位时间内体系从态跃迁向态的概率 (即跃迁速率)为即 (11.30)这里（量纲为）只涉及两个单态之间的跃迁。其中表示能量守恒，度量造成的在态和之间的跃迁强度。出现能量函数说明，这时所有使能量改变的跃迁都是不可能的。若向连续态跃迁(比如，在静电场扰动之下原子电离)，设内有态数目，其中为附近单位能量间隔内末态的态密度。则单位时间内向附近的连续末态跃迁的概率 (11.31)这个公式很有用，所以Fermi称它为“2号黄金规则 L.I. 席夫，量子力学， 第327页，人民教育出版社，1982，李淑娴，陈崇光译。”。关于末态态密度的计算，参见后面光电效应中（11.53）式的推导。2,周期微扰设微扰呈周期变化，即 （11.32）这里与无关。于是当充分大时，由于，方括号中第一个-函数表示电子向下跃迁并向扰动电磁场放出光子； 第二个-函数表示电子从扰动电磁场吸收光子并向上跃迁。若假定是后者，由，即得单位时间内由态的跃迁速率为 (11.33)注意此结果和常微扰很相象，只是-函数中多了项。这表明，周期变化的电磁场可以看作该频率的一束光子，量子跃迁系数的一阶近似只考虑（该频率）光子的单光子吸收和单光子发射。就是说，对真实物理过程作了单光子近似。11.4不撤除的微扰1,不撤除微扰的一般叙述现在考虑这一类微扰：，有限。就是说，在上加上含时微扰之后就一直持续下去不再撤除。这当然包括了在某个时刻突然加在体系上并一直不变地持续下去的所谓Sudden微扰这一特殊情况。这时上一节的基本公式不适用。因为在处不为零，积分在上限处急剧振荡而不确定。这种不确定现象可以用如下办法绕过去：将理解成由两部分所组成：和。于是第一项相应于定态微扰，而第二项则引起量子跃迁。数学上相应于对实施分部积分(设)，即 （11.34）于是 （11.35）这里右边第一项是在无限缓慢变化条件下，到时刻，扰动对初态的一阶定态微扰修正。而在处它正是本征态的一阶近似表示。它描述了原先态的静态变形，并不涉及状态之间的动态量子跃迁。第二项包含所有与初态不同的状态，积分上限含时，表示量子跃迁。此时的跃迁概率为(11.36)2,特例之一 Sudden微扰对于时刻突然加上的常微扰，为时刻的单位阶跃函数。即Sudden微扰情况，有 （11.37） (11.38)以上是当本征态难于求解，只使用本征态展开的情况。相应地，对跃迁的物理解释当然也是在的本征态之间进行。另有一类Sudden扰动。比如中某个参数突然改变（例如谐振子弹性系数突然改变，原子核衰变使原子序数突变等等）。这时，Hamilton量虽然突变为，但状态来不及突变。于是原先的定态便成为新Hamilton量的初态，开始新一轮演化。这时跃迁便简单地体现为两类态矢(的和的)之间的内积，特殊情况便是两套基矢之间的内积。比如，（在时刻）谐振子弹性系数突然改变为，假定原先处于的基态，则粒子在新基矢中仍处于基态的概率为 （11.39）当然，如果新Hamilton量的本征态可解，就不必假定扰动很小。 另外，可以证明：如果很小，严格结果将化为上面微扰结果 参见朗道，非相对论量子力学，上册，第180页。因为，设初态处于的能级，末态为的能级，即有于是若是微扰，则，这样便得到转化为上面用的基矢表示的Sudden微扰(11.38)式。3,特例之二 绝热微扰一种扰动，如果以十分缓慢的方式加于体系上。就是说，这种扰动相对于体系跃迁过程的内禀时间尺度而言，持续时间足够的长，而在该时间尺度内变化又足够的小，就称这种扰动为绝热扰动。这里，体系的内禀时间是各能级跃迁的特征时间（主要是邻近能级之间）。在绝热扰动下，处于无简并定态的体系，在变化过程中将处于准稳定平衡状态，体系的无量纲量子数将保持不变。常微扰结果也说明，在绝热微扰时，无简并定态的体系仍将留在该态上 这里是指扰动前后系统的哈密顿量不变的情况。参见：朗道，非相对论量子力学，上册，第179页。如果散射前后系统的哈密顿量改变，则这里的结论须作推广。 绝热微扰与Sudden微扰虽然同属于不撤除微扰，但情况完全相反。这时微扰以十分缓慢的方式从起渐浸地施加到体系上，直到时刻全部加上，不再撤除。为形象地描述这种变化，引入绝热因子（），将哈密顿量写为 （11.40）这就是说，在的初始时刻，系统处于的一个定态 随即在整个演化过程中，以足够缓慢的速度加入，在时刻成为 直到时刻全部加上，成为的一个定态 注意，这里的（）和（）虽然相互对应（即，如果是的基态，则是的基态），但一般并不相等。 从本征函数族的观点来看，绝热扰动的结果出现了（除原先态之外）别的态（）。按（11.28）式，一阶近似跃迁振幅为 （11.41）4,Sudden微扰和绝热微扰的一个比较（突然加上的）Sudden微扰与（足够缓慢加上的）绝热微扰对系统的影响会很不相同。为了说明这一点，举一个无限深方势阱拆除势垒的例子。设方向运动的粒子被堵在两面刚性墙之间（），并处于基态。再设时刻，以突然和足够缓慢这两种方式将两堵墙分开并相距无穷远，看最后结果如何不同。突然拆除：这时粒子与墙之间没有能量交换，粒子将以无限深方势阱的基态波函数为初态波包，按新的Hamilton量作自由粒子含时演化（波包弥散）。由于这时动能（即总能量）守恒，粒子自由运动的动能等于阱内时的能量。绝热拆除：粒子在两墙拉开过程中的任一时刻，始终处于该时刻阱宽的基态上。于是当两墙拆除至无穷远时，粒子的总能量（现在是自由粒子运动的动能）将为 说明在墙拉开时，粒子向两面墙作功并将自己的能量完全交给了墙。顺便指出，此例并非主张存在静止粒子。粒子动能为零并不合理，那是由于此处模型设计得过于理想和简单（即便如此，也需要无穷长的时间）。11.5光场与物质的相互作用1, 概论众所周知，光辐射和物质之间存在相互作用，这种相互作用决定着光辐射被物质的吸收和发射。经典理论成功地描述了光辐射的传播，然而却无法正确描述光的吸收和发射。量子理论辉煌成就之一在于，能够全面正确地描述光和物质的相互作用，包括相互作用导致的光吸收和光辐射。尽管量子电动力学理论本身还存在着问题，但可以说，它是迄今为止人类所建立的最成功、最精确的物理理论。辐射和物质相互作用的全量子理论。这应当是从统一的量子化观点处理相互作用着的双方：电磁场和物质粒子。这里区分为两种情况：非相对论量子电动力学：粒子原子及其中的电子遵从Schrdinger方程，电磁场被量子化成为量子电磁场。相对论量子电动力学：粒子遵从Dirac方程和Klein-Gordon方程，电磁场为量子电磁场。这便是常称的量子电动力学的辐射理论。由于课程所限，这里只给出光场对物质作用的量子力学理论，可称作半量子理论：这个理论的实质是对物质中的原子、分子、电子采用量子力学的观点，但对光场却采用经典电磁波观点。于是成为如下一幅物理图象：量子力学中的原子(及原子中的各层电子)在经典电磁场的强迫振动下，发生能级之间的量子跃迁，与此同时便产生出光子或湮灭着光子。用半量子理论能够给出光辐射和物质相互作用的一部分正确结果，包括产生或湮灭光子的能量、谱线强度、偏振状态、禁戒规则和角分布等等。但是，由于它的不彻底性，也如同非相对论量子力学的局限性一样（参见第十二章），不能解释处于激发态原子的自发辐射、强辐射场中的多光子过程、以及光场中物质粒子的产生和湮灭等进一步的问题。其中自发辐射问题，Einstein曾依据热力学平衡的一般观念，半唯象但却普适地处理了自发辐射和受激辐射之间的关系，见本节4。2, 受激原子的量子跃迁按半量子理论，原子和电磁场所组成的体系的Hamilton量为这里，是原子核的库仑场，、属于原子中电子。经典的外加电磁场的矢势为。选择矢势满足库仑规范，上述Hamilton量成为 (11.42)如果电磁场不十分强，可如Zeeman效应中所作的那样，将中的项略去。由于电子位置矢径变化只局限于原子尺度之内，因此当电磁场波长远大于原子尺度时，就意味着：在电子运动的空间范围内，电磁场可以看成是空间均匀的（只随时间振荡），也即这便是常说的“电偶极近似”。在此近似下可取。于是 （11.43）这就是不十分强的电磁场在偶极近似下对原子中电子的扰动算符。 与此相应，此电磁场的场强为这里，还有再考虑到，此电磁场的能流密度为设为此电磁场对时间的平均能量密度，可得 现在，假设电子跃迁前后所处初末态为和，能量为和，并记。注意Coulomb场中有，于是有等式将此式代入（11.43）式，得到在初末态之间的矩阵元为这里是电子的电偶极矩算符。由周期微扰叙述可知，对于吸收光子激发跃迁的情况()，只需取第二项，即将此式模平方，利用表示式消去经典场振幅模平方，即得 （11.44）假定原子中的指向是无规的，可取方向为轴，即得方向余弦的平方平均为。于是有 （11.45）将此式代入周期微扰公式(11.33)，最后得到在辐射场扰动和电偶极近似下，吸收辐射所产生的跃迁速率为 （11.46）以上计算是针对电磁场频谱为单色的情况。如果电磁场频谱是连续的，将理解为电磁场在附近单位频率间隔内的平均能量密度，则总的跃迁速率将为 (11.47)3，电偶极辐射上面的受激跃迁将伴随着光子的发射与吸收。所辐射的光子称为电偶极辐射。现对上面结果作一些讨论。i, 和入射光的频谱有关，并正比于其中有关的能量密度。ii,电偶极扰动下，分立态之间的跃迁选择定则可以推导如下：由于并注意到这里中的连带Legendre多项式采用了Ferrer定义。 可得三个分量不全都为零的条件为 (11.48)这便是电偶极跃迁的选择定则。iii,角动量守恒和辐射光子的极化状态问题电子运动：分量位相 电子运动：分量位相为零时，分量位相已为， 已到， 分量位相才到零，左手旋转。与此相应，沿方 右手旋转。与此相应，沿方向发射的光子为右手螺旋。在 向发射的光子为左手螺旋。-面内观察它则为垂直轴 在-面内观察它也为垂直的线偏光。 轴的线偏光。 设原子沿轴方向发出一个角动量为的光子：这时光子的极化状态为右手螺旋（正螺度）。由于中心场和电偶极近似，角动量守恒，电子相应自态态跃迁时，它的应减少一个，即（），由ii, 中的表达式可知：电子的分量为零，和分量中含的项的矩阵元不为零，并且它们之间有如下关系： (11.49)说明电子的电偶极矩矩阵元为绕轴左手旋转，如图，即电子在跃迁中减少。偶极辐射的其他特征在经典电动力学中都有叙述，这里不再赘述。如果是另附有方向磁场的Zeeman效应场合，原子将向轴取向（相应地，前面对无规取向的平均应予取消），电子能级发生分裂，的跃迁对应于比正常谱线频率略高的分裂谱线。这时从磁场方向观察这条谱线将为正螺度的圆偏振光（光学中的左旋光）。设原子沿轴方向发出一个角动量为的光子：这时光子的极化状态为左手螺旋（负螺度）。与此相应，电子自态态跃迁时，增加一个，即应有()。这时， 的分量为零，和分量中只有含的项不为零，它们之间关系为 （11.50）说明电子跃迁时矩阵元为绕轴右手螺旋，如图。如果在Zeeman效应的场合，的跃迁相应于频率略低于正常谱线的分裂谱线，沿磁场方向观察它将为负螺度的圆偏振光（光学中的右旋光）。对于的发射光子的情况，只有不为零，由于辐射场的横向性质，沿轴方向将观察不到这种辐射，而在-平面内观察光子将沿轴作线偏振。这个光子不带走角动量，因为电子自态向态跃迁时、的期望值均未改变(前两者仍为零，后者仍为)。显然这对应于Zeeman效应中的线偏振光谱线。4自发辐射 考虑大量同类原子与辐射场相互作用并达到热平衡，平衡温度为，假设原子的任意两个能级为，处在态上的原子数分别为。首先，计算辐射场的能量密度分布。考虑辐射场中边长为的立方体。利用在边界的驻波条件可得容许驻波的波数，为波数是分立的，整波波数最小间距是。于是，在中频率范围内电磁场驻波振动模数目为。这里乘2是由于每个振动模都有两个相互垂直的极化状态。注意，于是辐射场单位体积内频率在的驻波振子数密度自由度数目密度等于 (11.51)接着，如1.1.1中Planck所做的，在能量子这一重大假设下，根据M-B分布律，求出给定温度下能量子的平均能量 (11.52)将它乘到(11.51)上，即得黑体辐射能量密度的Planck公式（1.1.1的（1.3）式）， (11.53) 现在，考虑原子数目的热平衡分布问题。Einstein认为，向上跃迁的受激辐射跃迁（）原子数应该与辐射场相关的能量密度成正比；而向下跃迁的（）原子数内，一部分是受辐射场扰动后的受激辐射、另一部分则是自发辐射。前者与成正比；后者只与原子自身性质有关，与外场无关。由于假设达到热平衡，可以写出内关于能量数值的细致平衡方程， (11.54)这里系数是原子向上跃迁的受激辐射吸收系数，是原子向下跃迁的受激辐射衰减系数，两者量纲都是。是单位体积内原子向下跃迁的自发辐射系数，即自发辐射速率（量纲是）。由M-B分布律，得。代入(11.54)式，得到 (11.55)这段内容即为Einstein处理自发辐射唯象理论的主要思想。进一步，为了确定这三个系数，特别是若要得出自发辐射系数，就不可以继续采用经典理论或唯象理论，而要进入量子理论。为此借助黑体辐射能量密度的Planck公式（11.53）。简单地将两者相比较，即得，。为确定，利用前面吸收辐射产生跃迁的跃迁速率（11.47）式，即得 (11.56)此式表明，对辐射场作了一阶线性近似后，吸收系数当然地与辐射场性质无关，只和原子初末态有关。而进一步作偶极近似后，它只和电子位置矢量在初末态的跃迁矩阵元有关。将表达式代入中，得到单位时间内激发原子自发衰减速率， （11.57）此式乘以光子能量即得自发衰变辐射功率。 例算：计算氢原子自发跃迁速率。不计自旋，求态的平均寿命。此时是三条能级向基态的自发跃迁，即。由于空间各向同性，跃迁矩阵元与初态的磁量子数无关，即有于是，三条能级的自发跃迁速率相等。利用求得平均寿命为注意，自发衰变平均寿命正比于，说明激发定态的自发衰变是一类纯量子现象，甚至从量子力学定态概念难以解释的现象。只当将量子逻辑推向前进，破除粒子数守恒限制，脱出量子力学的力学理论框架，进入量子场论范围，发现了真空涨落，它才得到了完美的解释。5，受激氢原子的光电效应上面的跃迁过程是针对电子初、末态均为分立态的情况，这就是通常原子受辐射场激发(或退激发)的情况。但实际上也存在原子被辐射场所电离的光电效应。这时电子的末态在渐近意义下为自由状态。由于现在为吸收光子的情况，辐射场扰动为 （11.58）这里，为简化计算，略去原子核库仑场对逸出电子状态的影响，从而取末态为 此近似与扰动的频率及初态有关。当原子电离能，和处于态时，误差可以忽略。，并取为箱归一化的表达式（最终结果表明与箱归一化体积无关）。同时，取初态为基态。于是有于是 其中积分为 跃迁速率为 (11.59)现在，散射末态为连续分布，关于它的态密度计算如下：设值附近单位能量间隔内、方向附近单位立体角内出射电子的态密度为，则有末态所占的相空间体积 （11.60）对于现在的非相对论情况，也即，可得于是向内的跃迁速率为这里。注意此时归一化体积已被消去了。上面已论述过，电磁场的能量密度，于是入射到原子上的能流密度为最后得到光电过程的微分截面， (11.61)取方向为轴，就的所有方向对立体角积分，得到光电过程的总截面 (11.62)注意，这个结果是在对电磁场作电偶极近似和对末态作自由电子近似这两个假设下得到的。若要第二个近似成立，要么电磁场频率足够高（但这会与第一个近似产生矛盾），要么要求初态为态，正如这推导中所做的。 对于类氢原子，可作替换，为原子序数。于是，若要求时，可得的结果。或许，从表面看来，这个要求（不很小）和电偶极近似（入射光子频率不很高）会有矛盾。实际上，在一定范围内两者可以兼容。这可用下面估算来说明。 电偶极近似下：，这可以等价地转换为而近似下： ，这里Bohr半径，。由于精细结构常数很小，对于两个不等式的组合，显然会存在合适的的取值范围。
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