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第一章 静电场中的电介质1-1 半径为a的 球带电量为q，电荷密度正比于距球心的居里。求空间的电位和电场分布。 解： 由题意可知，可设 再由于 ，代入可以求出常数 即 所以 当 时 由高斯定理可知 ； 当 时 由高斯定理可知 1-2 电量为q的8个点电荷分别位于边长为a的立方体的各顶角。求其对以下各点的电距：（1）立方体中心；（2）某一面的中心；（3）某一顶角；（4）某一棱的中点。若8个点电荷中4个为正电荷、4个为负电荷，重新计算上述问题 解 ：由电矩的定义 （一）八个电荷均为正电荷的情形 （1）立方体的在中心： 八个顶点相对于立方体中心的矢量和为 ，故 （2）某一面心： 该面的四个顶点到此面心的矢量和 ，对面的四个顶点到此点的矢量和 故；（3）某一顶角 ：其余的七个顶点到此顶点的矢量和为：故；（4）某一棱的中心 ；八个顶点到此点的矢量和为 故； （二）八个电荷中有四个正电荷和四个负电荷的情形与此类似；1-3 设正、负电荷q分别位于（0，0，/2）、（0，0，/2），如图所示。求场点P处电势计算的近似表达式，试计算在场点（0，0，），（0，0，）处电势的近似值，并与实际值比较 解：P 点的电势可以表示为： = 其中, 取场点分别为P1 (0,0,) P2(0,0,) 则对于P1点来说 , = 对于 P2来说 = =多极展开项去前两项 = 其中 =1 ， 把P1 (r=)点和P2 (r=)点代入上式可得 = =比较可得 P1点 ， 实际值 近似值 P2点 ， 实际值 近似值1-4 分别绘出电偶极子、电四极子和电八极子的图形，并给出其相应的电偶极子强度，电四极子强度，电八极子强度。 解 ： 参考课本P21 图1-10 偶极子强度 ; 四极子强度 ; 八极子强度1-5 试证明位于（0，0，）的点偶极子（方向沿Z轴）在场点的的展开式 为 = 解 ： 点电荷的多极展开式为 = +. 对于正电荷+q来说 =/2 = +. 对于负电荷-q来说 =/2 = +. = +. = +. = +. = 证毕1-6 （1）试证明电偶极子（）在电场E中的转矩势能分别为： ； =- （2）指出偶极子在电场中的平衡位置、稳态平衡位置。 （3）当和E的夹角从变到时，求电场力所做的功和偶极子的势能变 化。 解 （1）转矩 = = 2q = q = 势能 W = -q =-q =- （2）M=0 ,=0, 平衡位置 =0, W = -E 能量最低，稳态平衡 =, W = E 能量最大，不稳定 （3）电场力做功，是减少 因此 d为负 A= 势能变化 W = W2- W1 = 因此 ： 保守力做功等于势能增量的负值 A = -W1-7 两个电偶极子、相距，讨论两偶极子间的相互作用能。 解： 先假定 两个偶极子均与R成角，其他情形与此类似 W=-= 偶极子在处的电势为 = = W= = = = = 1-8 什么是电介质的极化？介质极化是由哪些因素决定的？ 答案略1-9 什么叫退极化场？试用极化强度P来表示一个介电常数的为的平板介质电容器的退极化场，宏观平均电场和极板上的重点电荷电场。 解 ： 极化电荷形成的电场来削弱自由电荷建立的电场为退极化电场 = -=1-10 在均匀电场中放一个半径为a的导体球，求球的感应电荷在远场处的电势及球内的电势、电场。由此证明导体球的引入，对于远场来言相当于引入了一个电偶极子。并求出导体球的极化率。 解： 导体球外 2 = 0 ra 边界条件为 ：（1）由于导体球为一个等势体 因此 r=a= （2）= 有 A1=-E0 An = 0 (n) 代入边界条件可知： B0 = a Bn 0 (n) -E0a + B1/a =0 因此 B1= 所以 如果导体球接地 则 从而有 所以 极化电荷产生的电势，电场为 =-P 导体球的偶极矩为： 导体球的极化率为：1- 11 试证明在电场中引入一偶极矩为的分子，则该分子具有的极化势能 为，其中为分子的极化率。 解 ：假定 分子固有偶极矩沿分子长轴取向 分子在电场感生偶极矩的长轴和短轴方向上的分量分别为 其中 = = （） = （）分子的势能为固有偶极矩势能（-）和感生偶极矩（-）之和 1-12 H2O分子可以看成是半径为R的离子与两个质子（）组成，如图所示，其中，间夹角为2，试证明分子偶极矩值为 = 解 ： 分子的 固有偶极矩为： 由于O2-受到H+H+的作用，使之发生位移极化,使O2-的正负电荷中心发生位 移为x 原子核的库仑吸引力 =- 2H+产生的电场力 为： 由于=F 所以 此时的分子偶极矩为 ： = 感生偶极矩为 由于 ， 所以 总的偶极矩为 =+1-13 在无限大电介质（）中有均匀电场，若在该介质中有一半径为a、介电常数为介质球，求球内外的电势、电场及介质球内电偶极矩。讨论介质球带来的影响，并将结果推广到 ： （1）1 （2）1 解 ： 由题意可解得： - - =（1） 当 时 ； 空腔球 （2） 当 时 ； 1-14 （1）求沿轴向均匀极化的介质棒中点的退极化场，已知细棒的截面积为 ，长度为，极化强度为P，如图（a）所示。 （2）一无限大的电介质平板，其极化强度为P，方向垂直于平板面。求板 中点O处的退极化场。已知板厚为d，如图（b）所示。 （3）求均匀极化的电介质球在球心的产生的退极化场。已知球半径为r， 极化强度为P，如图（c）所示。 （4）从（1）、（2）、（3）的计算结果，可以给出什么样的结论（电介质 地退极化场的大小与电介质的纵、横线度的关系）？ 解 （a）有题意可知 ： q = s = Ps 重点处的场强为： 由于存在 因此 （b）由于 所以 ： (c) 可见沿着极化方向，纵向尺度越大，横向尺度越小，退极化电场越弱；反 之，纵向尺度越小，横向尺度越大，退极化电场越强。1-15 试证明，昂沙格有效电场也适用于非极性介质，即昂沙格有效电场概括了洛伦兹有效电场。 解 ： 对于非极性电介质来说有 即 （由于，） 再由于 所以 ： 这是 昂沙格有效电场等于洛仑兹有效电场。证毕1-16 为什么说克莫方程师表征介质宏、微观参数的关系式。由该方程可以看出，随材料密度的提高，将如何变化。并给出克莫佯谬；即当密度到一定值时；密度再提高时。并论证这在实际情况中使不可能 的。 解 ：有克-莫方程 其中是宏观参数，为电介质微观粒子极化性质的微观极化参数； 故称克-莫方程为介质宏微观参数的关系式； 由摩尔极化表征 ： 由此式可得， 当介质密度升高到 ， ， 则有 当介质密度升高到 ， 1， 则有 0 对于电介质来说显然不可能为无穷大和为负值.1-17 已知CO2 在T300K时， ， ，n = 1.000185，求其固有的偶极矩。 解 ： 对于 CO T = 300K 时，=1.0076，n = 1.000185, n0=光频时 克-莫方程 对于极性气体来说，克-莫方程则为： = 29.410-30所以 ： 1-18 在某一种偶极子气体中，若每个偶极子的极化强度为1Debye，计算在室温下使此气体达到取向极化饱和值时所需要的电场。 解 ： 由题意可知 = 再令 = 0.1% 则有 1-19 （XO）H2CCH2（OX）这类分子由两个理想基团“CH2OX”通过一个碳碳单键“CC”相连接。已知每个分子基团“CH2OX”的偶极矩为2.50Debye，相对中间碳键成45o角。在标准状态下对该气体实验测量表明为1.01光学折射率为1.0005，试确定两个分子基团间的相对取向。 解 ： 由于 由 所以 =117.7o1-20 已知He原子（单原子气体）的极化率为，计算在标准状态下，其介电常数及折射率n，并与实验数据，n1.000035相比较。 解 ： 对于非极性气体来说有 ： 其中 ， 所以 与实验数据 相符合1-21 试说明为什么TiO2晶体具有较高的答案略1-22 试证明对非极性气体电介质，式中p为气体压力，T为气体的温度。 解 ：由题意可知 ： 近似有 所以有 当T不变时 把对p求导可得 ： 0 当p不变时 把对T求导可得 : 01-23 介电常数为的电介质充满整个空间，且其中存在均匀电场E0（见图（a）今在其中引入一个介电常数为的电介质球，图（b）（c）（d）为三种情况，其中线条为电力线，讨论三种情况下的介电常数与的关系及其相互作关系。 解 ： 由题意可 知 ： （b） 内部电场大，球内电场对外产生向外 的斥力，退极化场与方向一致； （c） 退极化电场与方向相反，削弱 了原电场； （d） E 很小，当 ，相当与金属导体 球，球体对电场产生屏蔽。124 对于离子晶体，若两个离子间的斥力取波恩函数时，试证明一对正、 负离子的位移极化率为，其中Ro为两离子间的距离，n 为波恩函数中的常数。 答案略125 列举一些材料的极化类型以及在各种频率下所能发生的极化形式。 答案略 思 考 题第 一 章11 什么是电介质的极化？表征介质极化的宏观参数是什么？ 答：电介质在电场作用下，在介质内部感应出偶极矩、介质表面出现 束缚电荷的现象称为电介质的极化。其宏观参数为介电常数。12 什么叫退极化电场？如何用极化强度P表示一个相对介电常数为的 平行板介质电容器的退极化电场、平均宏观电场、电容器极板上充电 电荷所产生的电场。 答：在电场作用下平板电介质电容器的介质表面上的束缚电荷所产 的、与外电场方向相反的电场，起削弱外电场的作用，所以称为 退极化电场。 退极化电场： 平均宏观电场： 充电电荷所产生的电场：13 氧离子的半径为，计算氧的电子位移极化率。 提示：按公式，代入相应的数据进行计算。14 在标准状态下，氖的电子位移极化率为 。试求出氖的 相对介电常数。 解： 氖的相对介电常数： 单位体积的离子数：N 而 所以：15 试写出洛伦兹有效电场表达式。适合洛伦兹有效电场时，电介质的介 电常数和极化率有什么关系？其介电常数的温度系数的关系式又如 何表示。 解：洛伦兹有效场： 和的关系： 介电常数的温度系数为：16 若用 表示球内极化粒子在球心所形成的电场，试表示洛伦兹有效电 场中0时的情况。 解：0时， 洛伦兹的有效场可以表示为17 试述KM方程赖以成立的条件及其应用范围。 答：克莫方程赖以成立的条件： 其应用的范围：体心立方、面心立方、氯化钠型以及金刚石结构 的晶体；非极性以及弱极性液体介质。18 有一介电常数为的球状介质，放在均匀电场E中。假设介质的引入 不改变外电场的分布，试证： 解； 按照洛伦兹有效电场模型可以得到：在时 所以 19 如何定义介电常数的温度系数？写出介电常数的温度系数、电容量温 度系数的数学表达式。 答：温度变化一度时，介电常数的相对变化率称为介电常数的温度 系数。 ， 110 列举一些介质材料的极化类型，以及举出在给中不同的频率下可能发 生的极化形式。 答：如高铝瓷，其主要存在电子和离子的位移极化，而掺杂的金红石 和钛酸钙陶瓷却除了含有电子和离子地位移极化外，还存在电子和离 子的弛豫极化。在光频区将会出现电子和离子的位移极化，在无线电 频率区可出现弛豫极化、偶极子的转向极化和空间电荷极化。111 什么是瞬间极化、缓慢式极化？它们所对应的微观机制各代表什么？ 答：极化完成的时间在光频范围内的电子、离子的位移极化称为瞬时 极化。而在无线电频率范围的弛豫极化、自发式极化都称作缓慢式极 化。电子、离子的位移极化的极化完成时间非常短，在 范围内，当外电场在光频范围内时，极化能跟的上外电场的变化，不 会产生极化损耗。而弛豫极化的完成所需要的时间比较长，当外电场 的频率比较高时，极化将跟不上外电场的频率变化，产生极化滞后的 现象，出现弛豫极化损耗。112 设一原子半径为的球体，电子绕原子核均匀分布，在外电场E作用 下，原子产生弹性位移极化，试求出其电子位移极化率。 答案参考课本简原子结构模型中关于电子位移极化率的推导方法。113 一平行板真空电容器，极板上的自由电荷密度为,现充以介电系数为 的介质。若极板上的自由电荷面密度保持不变，则真空时：平行板 电容器的场强E_，电位移D_，极化强度P_；充 以介质时：平行板电容器的场强E_，电位移D_，极 化强度P_，极化电荷所产生的场强_。 解：， ， ， ， 114 为何要研究电介质中的有效电场？有效电场指的是什么？它由哪几部 分组成？写出具体的数学表达式。 参考课本有效电场一节。115 氯化钠型离子晶体在电场作用下将发生电子、离子的位移极化。试解 释温度对氯化钠型离子晶体的介电常数的影响。 解：温度对介电常数的影响可以利用式： 对温度求导可得： 由上式可以看出，由于电介质密度的减少使得电子位移极化率以及离 子位移极化率所贡献的极化强度都减少，第一项为负值。但是温度的 升高又使得离子晶体的弹性联系减弱，离子位移极化加强，也就是第 二项为正值。然而第二项又与第一项相差不多。所以氯化钠型离子晶 晶体的介电常数是随着温度的升高尔增加，但增加的非常缓慢。116 试用平板介质电容器的模型（串、并联形式），计算复合介质的介电 系数（包括双组分、多组分）。 解：串联时： ， ， ， 可得 同理可得并联时： 117 双层介质在直流电场的作用下，其每一层电场在电压接通的瞬间、稳 态、电压断开的情形下是如何分布的？作图表示（注意e、g的大小； 电场的方向）。 答案略118 一平行板真空电容器，极板上的电荷面密度为。现 充以相对介电常数为的介质，若极板上的自由电荷密度保持不变 ，计算真空和介质中的E、P、D给为多少？束缚电荷产生的场强为多 少？ 解： 真空时： 介质中： 119 一平行板介质电容器，其板间距离，介电系数 2，外界的恒压电源。求电容器的电容量C；极板上的自由电荷q； 束缚电荷；极化强度P；总电矩；真空时的电场以及有效电场 。 解： 120 边长为10mm、厚度为1mm的方形平板介质电容器，其电介质的相对 介电系数为2000，计算相应的电容量。若电容器外接的电压， 计算：（1） 电介质中的电场；（2） 每个极板上的总电量；（3） 存储在介质电容器中的能量。 答案略121 通常可以给介质施加的最大电场（不发生击穿）为 左右，试 分析在此情况下，室温时可否使用朗日凡函数的近似式。 答案略122 求出双层介质中不发生空间电荷极化的条件。 答案略123 下面给出极性介质的翁沙格有效电场表示式如下： 试证明：上式已经包括了非极性介质的洛伦兹有效电场的形式。 答案略
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