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推理与证明测试题一、选择题(每题5分,共50分)1、由数列1,10,100,1000,猜测该数列的第n项可能是( )。A10n;B10n-1;C10n+1;D11n.2、类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是( )。各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。A;B;C;D。3、一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的的个数是 ( )(A)12 (B) 13 (C)14 (D)154、在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c的值是( )120.51abc(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45、设数列的前n项和为,令,称为数列,的“理想数”,已知数列,的“理想数”为2004,那么数列2, ,的“理想数”为( )A 、2008 B、 2004 C、 2002 D 、20006、计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0 9和字母A F共16个计数符号,这些符号与十进制的数字的对应关系如下表:十六进制01234567十进制01234567十六进制89ABCDEF十进制89101112131415例如,用十六进制表示E+D=1B,则( )A 6E B 72 C 5F D B07、若数列的前8项的值各异,且对任意的都成立,则下列数列中,可取遍的前8项值的数列是( )A B C D 8、设定义域为R的函数f(x),若关于x的方程f2(x)bf(x)c0有3个不同的实数解x1、x2、x3,则等于( )A5 BC13D9、正实数及函数满足,且,则 的最小值为 ( ) 4 2 10设函数 则的值为( )txjyA. a B. b C. a, b中较小的数 D. a, b中较大的数二、填空题(每题5分,共20分)11、设函数是定义在R上的奇函数,且的图像关于直线对称,则12、设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点,若用f(n)表示n条直线交点的个数,则f(4)= , 当n4时,f(n)=13、若数列,(nN)是等差数列,则有数列b=(nN)也是等差数列,类比上述性质,相应地:若数列c是等比数列,且c0(nN),则有d=_ (nN)也是等比数列。14、定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 已知数列是等和数列,且,公和为5,那么值为_,这个数列的前n项和的计算公式为_。三、解答题.15设都是正数,求证。16(12分)已知:,求证:(1);(2)中至少有一个不小于。17(14分)如图是所在平面外一点,平面,是的中点,是上的点,。求证:。18(14分)已知:通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:_= ( * )并给出( * )式的证明。19(14分)已知函数,当时,值域为,当时,值域为,当时,值域为,其中a、b为常数,a1=0,b1=1(1)若a=1,求数列an与数列bn的通项公式;(2)若,要使数列bn是公比不为1的等比数列,求b的值;20(14分)对于函数,若存在成立,则称不动点。如果函数 有且只有两个不动点0,2,且 (1)求函数的解析式;(2)已知各项不为零的数列,求数列通项;(3)如果数列满足,求证:当时,恒有成立。推理与证明测试题参考答案一、选择题(1)B(2)C(3)C(4)A(5)C(6)A(7)B(8)D(9)C(10)D二、填空题11012. 5 , 13. 14. 3 , ( 当n为偶数时,;当n为奇数时, )三、解答题15证明:16(1)证明: (2)假设都小于,则,即有 由(1)可知,与矛盾,假设不成立,即原命题成立17证明:取PB的中点,连结,是的中点,平面,平面,MQAB,取的中点,连结QD,则QDPA,QD=QB,又,AB平面QMN,18 一般形式: 证明 左边 = = = = = 原式得证(将一般形式写成 等均正确。)19解:a10,f(x)axb在R上为增函数,anaan1ban1b,bnbn1b(n2),数列an,bn都是公差为b的等差数列。又a1=0,b1=1,an=(n1)b,bn1(n1)b(n2)a0,bnabn1b,由bn是等比数列知为常数。又bn是公比不为1的等比数列,则bn1不为常数,必有b0。20。解:依题意有,化简为 由违达定理, 得解得 代入表达式,由得 不止有两个不动点,(2)由题设得 (*)且 (*)由(*)与(*)两式相减得:解得(舍去)或,由,若这与矛盾,即是以-1为首项,-1为公差的等差数列,;(3)采用反证法,假设则由(1)知,有,而当这与假设矛盾,故假设不成立,.关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:由得0或结论成立;若,此时从而即数列在时单调递减,由,可知上成立.比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.
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