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数学必修（二）知识梳理与解题方法分析第一章 空间几何体一、本章总知识结构二、各节内容分析1.1空间几何体的结构1.本节知识结构2、教学重点和难点重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台、球的结构特征。难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。1.2空间几何体三视图和直观图1、本节知识结构2、教学重点和难点重点：画出简单几何体的三视图，用斜二测法画空间几何体的直观图。难点：识别三视图所表示的空间几何体。1.3 空间几何体的表面积与体积1、本节知识结构2、教学重点和难点重点：了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式。难点：球体积和的表面积的推导。三、高考考点解析本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容：1.多面体的体积（表面积）问题；2.点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离）问题“等体积代换法”。（一）多面体的体积（表面积）问题1【06上海理】 在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60（1）求四棱锥PABCD的体积；【解】（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角,PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1,由POBO,于是，PO=BOtg60=,而底面菱形的面积为2.四棱锥P-ABCD的体积V=2=2.2【06上海文】 在直三棱柱中，.（2）若与平面所成角为，求三棱锥的体积。【解】 （2）AA1平面ABC,ACA1是A1C与平面ABC所成的角，ACA1=45.ABC=90，AB=BC=1，AC= AA1=。三棱锥A1-ABC的体积V=SABCAA1=。3【06四川理】 如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点，（）求三棱锥PDEN的体积。【解】（）作，交于，由面得面在中，。（二）点到平面的距离问题“等体积代换法”。1【06福建理】 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（III）求点E到平面ACD的距离。【解】 （III） 设点E到平面ACD的距离为， 在中， 而 点E到平面ACD的距离为2【06湖北文】 如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。（）求点到平面的距离。【解】（）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即为到平面AMN的距离。在中，。故点到平面AMN的距离为1。3【06湖南理】 如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2, 。（III）求点到平面的距离。【解】（）由（）知，AD平面PQM，所以平面QAD平面PQM 。过点P作PHQM于H，则PHQAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离。连结OM。因为OM=AB=2=OQ，所以MQP=45。又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45=。即点P到平面QAD的距离是。4【06江西文】 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。（1）求O点到面ABC的距离； 【解】（1）取BC的中点D，连AD、OD。 ，则 BC面OAD。过O点作OHAD于H，则OH面ABC，OH的长就是所要求的距离。，。 面OBC，则。，在直角三角形OAD中，有 （另解：由知：）ABCA1VB1C15【06山东理】 如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边所在的平面与底面ABC垂直，且ACB=90，设（）求点A到平面VBC的距离；【解】（）解法1：过A作于D，为正三角形， D为的中点.BC平面 ，又， AD平面，线段AD的长即为点A到平面的距离.在正中，.点A到平面的距离为.解法2：取AC中点O连结，则平面，且=.由（）知，设A到平面的距离为x， ，即，解得.即A到平面的距离为.所以，到平面的距离为.第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、本章的知识结构二、各节内容分析2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系1、本节知识结构2、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换。3.内容归纳总结（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论： 它给出了确定一个平面的依据。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。符号语言：。公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：。（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线，经过空间任意一点O作直线，我们把与所成的角（或直角）叫异面直线所成的夹角。（易知：夹角范围） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：2.2 直线、平面平行的判定及其性质1、本节知识结构2、教学重点和难点重点：通过直观感知、操作确认，归纳出判断定理和性质 。难点：性质定理的证明。3.内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（2）定理之间的关系及其转化两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”。2.3 直线、平面平垂直的判定及其性质1、本节知识结构2、教学重点和难点重点：通过直观感知、操作确认，概括出判断定理和性质 。难点：性质定理的证明。3.内容归纳总结（一）基本概念1.直线与平面垂直：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面垂直，记作。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。直线与平面的公共点叫做垂足。2. 直线与平面所成的角：角的取值范围：。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法：二面角的取值范围：两个平面垂直：直二面角。（二）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。（满足条件与垂直的平面有无数个）判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线（三）定理之间的关系及其转化：两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意从“高维”到“低维” 的转化，即“空间问题”到“平面问题”的转化。三、高考考点解析第一部分、三类角（异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角）的求解问题（一）异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线1异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量，掌握好概念是解题的关键，其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角”，然后证明这个角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角（简言之：“转化角”、“证明”、“求角”）。以上三个步骤“转化角”是求解的关键，因为转化的过程往往就是求解的过程其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题（角问题）”。1【06广东】 如图所示，、分别是、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,。（II）求直线与所成的角。【解】（II）第一步：将“问题”转化为求“平面角”问题根据定义和题设，我们只能从两条异面直线的四个顶点出发作其中一条直线的平行线，此题我们只能从点D作符合条件的直线。连结DO，则ODB即为所求的角。第二步：证明ODB就是所求的角在平面ADEF中，DE/AF，且DE=AF，所以四边形ODEF为平行四边形 所以DO/EF所以根据定义，ODB就是所求的角。第三步：求角由题设可知：底面ABCD为正方形 DA平面ABCD 平面 DABC又 AFBC BC平面ADO DOBC DOB为直角三角形 在RtODB， （或用反三角函数表示为：）2【06山东文】 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又.（）求异面直接与所成角的余弦值.【解】平面， 又，由平面几何知识得：（）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，四边形是等腰梯形， 又 四边形是平行四边形。 是的中点，且又， 为直角三角形，在中，由余弦定理得：故异面直线PD与所成的角的余弦值为。3【06上海理】 在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【解】（2）取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB的中点,得EFPA,FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）。在RtAOB中AO=ABcos30=OP,于是,在等腰RtPOA中,PA=,则EF=.在正ABD和正PBD中，DE=DF=. cosFED=异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.4【06重庆文】 如图（上右图），在正四棱柱中，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求：（）异面直线与所成角的大小；【解】解法一：由为异面直线所成的角。连接.因为AE和分别是平行平面与平面的交线，所以,由此可得,再由得在。解法二：由为异面直线所成的角。因为和分别是平行平面与平面的交线，所以，由此可得从而，于是在5【06福建理】 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。方法一：（II） 取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线， 异面直线AB与CD所成角的大小为6【06湖南理】 如图4, 已知两个正四棱锥
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