苏科版九级下相似三角形的性质专题练习含答案.doc

第六章图形的相似（相似三角形的性质）一选择题1如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A1：16B1：4C1：6D1：22ABC与DEF的相似比为1：4，则ABC与DEF的周长比为（）A1：2B1：3C1：4D1：163如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中QMB的正切值是（）AB1CD24已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为，则ABC与DEF对应中线的比为（）ABCD5在四边形ABCD中，B=90，AC=4，ABCD，DH垂直平分AC，点H为垂足设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）ABCD6如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，且DEAC，AE、CD相交于点O，若SDOE：SCOA=1：25，则SBDE与SCDE的比是（）A1：3B1：4C1：5D1：257如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）ABCD8如图，在ABC中，AD和BE是高，ABE=45，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，CBE=BAD有下列结论：FD=FE；AH=2CD；BCAD=AE2；SABC=4SADF其中正确的有（）A1个 B2 个 C3 个 D4个 9如图的ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点若B=90，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（）A B C D10如图，CB=CA，ACB=90，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGCA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：AC=FG；SFAB：S四边形CBFG=1：2；ABC=ABF；AD2=FQAC，其中正确的结论的个数是（）A1B2C3D411如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，PEF、PDC、PAB的面积分别为S1、S2、S3，若AD=2，AB=2，A=60，则S1+S2+S3的值为（）ABCD412如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等网格中三个多边形（分别标记为，）的顶点均在格点上被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m=n的是（）A只有B只有CD二填空题13如图，已知ADEABC，若ADE=37，则B= 14如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若SDEC=3，则SBCF=15如图，ACBC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与ACB的平分线交于点E，连接BE若SACE=，SBDE=，则AC=16如图，已知点C为线段AB的中点，CDAB且CD=AB=4，连接AD，BEAB，AE是DAB的平分线，与DC相交于点F，EHDC于点G，交AD于点H，则HG的长为 17如图，已知ABC和DEC的面积相等，点E在BC边上，DEAB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是18如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DEBC，若ADE与ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB=19如图，已知ABC、DCE、FEG、HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI= 20如图，矩形EFGH内接于ABC，且边FG落在BC上，若ADBC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为21如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：EBG=45；DEFABG；SABG=SFGH；AG+DF=FG其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）三解答题22如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当BOD与BCE相似时，求点E的坐标23从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图1，在ABC中，CD为角平分线，A=40，B=60，求证：CD为ABC的完美分割线（2）在ABC中，A=48，CD是ABC的完美分割线，且ACD为等腰三角形，求ACB的度数（3）如图2，ABC中，AC=2，BC=，CD是ABC的完美分割线，且ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长24如图，ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分CAE（1）求证：ADBC；（2）过点C作CGAD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长25如图，ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm（1）求证：AEHABC；（2）求这个正方形的边长与面积26如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AED=B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且（1）求证：ADFACG；（2）若，求的值27如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E（1）求证：AG=CG（2）求证：AG2=GEGF28如图，在RtABC中，ACB=90，AC=5cm，BAC=60，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0t5），连接MN（1）若BM=BN，求t的值；（2）若MBN与ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值29如图，ABC与CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图中的CDE绕着点C顺时针旋转（090），得到图，AE与MP、BD分别交于点G、H请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图，写出PM与PN的数量关系，并加以证明30【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明如图1，矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H求证： =；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AMBN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，ABC=90，AB=AD=10，BC=CD=5，AMDN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值参考答案与解析一选择题1（2016临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A1：16B1：4C1：6D1：2【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可【解答】解：两个相似三角形的面积比是1：4，两个相似三角形的相似比是1：2，两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键2（2016重庆）ABC与DEF的相似比为1：4，则ABC与DEF的周长比为（）A1：2B1：3C1：4D1：16【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果【解答】解：ABC与DEF的相似比为1：4，ABC与DEF的周长比为1：4；故选：C【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键3（2016淄博）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中QMB的正切值是（）AB1CD2【分析】根据题意得出PAMQBM，进而结合勾股定理得出AP=3，BQ=，AB=2，进而求出答案【解答】解：连接AP，QB，由网格可得：PAB=QBA=90，又AMP=BMQ，PAMQBM，=，AP=3，BQ=，AB=2，=，解得：AM=，tanQMB=tanPMA=2故选：D【点评】此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，正确得出PAMQBM是解题关键4（2016兰州）已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为，则ABC与DEF对应中线的比为（）ABCD【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答【解答】解：ABCDEF，ABC与DEF的相似比为，ABC与DEF对应中线的比为，故选：A【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比5（2016金华）在四边形ABCD中，B=90，AC=4，ABCD，DH垂直平分AC，点H为垂足设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）ABCD【分析】由DAHCAB，得=，求出y与x关系，再确定x的取值范围即可解决问题【解答】解：DH垂直平分AC，DA=DC，AH=HC=2，DAC=DCH，CDAB，DCA=BAC，DAN=BAC，DHA=B=90，DAHCAB，=，=，y=，ABAC，x4，图象是D故选D【点评】本题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型6（2016随州）如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，且DEAC，AE、CD相交于点O，若SDOE：SCOA=1：25，则SBDE与SCDE的比是（）A1：3B1：4C1：5D1：25【分析】根据相似三角形的判定定理得到DOECOA，根据相似三角形的性质定理得到=， =，结合图形得到=，得到答案【解答】解：DEAC，DOECOA，又SDOE：SCOA=1：25，=，DEAC，=，=，SBDE与SCDE的比是1：4，故选：B【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键7（2016泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）ABCD【分析】过F作FHAD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF=2，根据平行线分线段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性质得到=，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到=，求得AN=AF=，即可得到结论【解答】解：过F作FHAD于H，交ED于O，则FH=AB=2BF=2FC，BC=AD=3，BF=AH=2，FC=HD=1，AF=2，OHAE，=，OH=AE=，OF=FHOH=2=，AEFO，AMEFMO，=，AM=AF=，ADBF，ANDFNB，=，AN=AF=，MN=ANAM=，故选B【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键8（2016丹东）如图，在ABC中，AD和BE是高，ABE=45，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，CBE=BAD有下列结论：FD=FE；AH=2CD；BCAD=AE2；SABC=4SADF其中正确的有（）A1个B2 个C3 个D4个【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，证明ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=AB，延长FD=FE，正确；证出ABC=C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，BAD=CAD=CBE，由ASA证明AEHBEC，得出AH=BC=2CD，正确；证明ABDBCE，得出=，即BCAD=ABBE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BCAD=AE2；正确；由F是AB的中点，BD=CD，得出SABC=2SABD=4SADF正确；即可得出结论【解答】解：在ABC中，AD和BE是高，ADB=AEB=CEB=90，点F是AB的中点，FD=AB，ABE=45，ABE是等腰直角三角形，AE=BE，点F是AB的中点，FE=AB，FD=FE，正确；CBE=BAD，CBE+C=90，BAD+ABC=90，ABC=C，AB=AC，ADBC，BC=2CD，BAD=CAD=CBE，在AEH和BEC中，AEHBEC（ASA），AH=BC=2CD，正确；BAD=CBE，ADB=CEB，ABDBCE，=，即BCAD=ABBE，AE2=ABAE=ABBE，BCAD=ACBE=ABBE，BCAD=AE2；正确；F是AB的中点，BD=CD，SABC=2SABD=4SADF正确；故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键9（2016台湾）如图的ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点若B=90，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（）ABCD【分析】由DEBC可得求出AE的长，由GFBN可得，将AE的长代入可求得BN【解答】解：四边形DEFG是正方形，DEBC，GFBN，且DE=GF=EF=1，ADEACB，AGFANB，由可得，解得：AE=，将AE=代入，得：，解得：BN=，故选：D【点评】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键10（2016深圳）如图，CB=CA，ACB=90，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGCA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：AC=FG；SFAB：S四边形CBFG=1：2；ABC=ABF；AD2=FQAC，其中正确的结论的个数是（）A1B2C3D4【分析】由正方形的性质得出FAD=90，AD=AF=EF，证出CAD=AFG，由AAS证明FGAACD，得出AC=FG，正确；证明四边形CBFG是矩形，得出SFAB=FBFG=S四边形CBFG，正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出ABC=ABF=45，正确；证出ACDFEQ，得出对应边成比例，得出DFE=AD2=FQAC，正确【解答】解：四边形ADEF为正方形，FAD=90，AD=AF=EF，CAD+FAG=90，FGCA，C=90=ACB，CAD=AFG，在FGA和ACD中，FGAACD（AAS），AC=FG，正确；BC=AC，FG=BC，ACB=90，FGCA，FGBC，四边形CBFG是矩形，CBF=90，SFAB=FBFG=S四边形CBFG，正确；CA=CB，C=CBF=90，ABC=ABF=45，正确；FQE=DQB=ADC，E=C=90，ACDFEQ，AC：AD=FE：FQ，ADFE=AD2=FQAC，正确；故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键11（2016日照）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，PEF、PDC、PAB的面积分别为S1、S2、S3，若AD=2，AB=2，A=60，则S1+S2+S3的值为（）ABCD4【分析】先作辅助线DHAB于点D，然后根据特殊角的三角函数值可以求得DH的长度，从而可以求得平行四边形的面积，然后根据三角形的相似可以求得S1+S2+S3的值【解答】解：作DHAB于点H，如右图所示，AD=2，AB=2，A=60，DH=ADsin60=2=，SABCD=ABDH=2=6，S2+S3=SPBC=3，又E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，SPEF=3=，即S1=，S1+S2+S3=+3=，故选A【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答问题12（2016江西）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等网格中三个多边形（分别标记为，）的顶点均在格点上被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m=n的是（）A只有B只有CD【分析】利用相似三角形的判定和性质分别求出各多边形竖直部分线段长度之和与水平部分线段长度之和，再比较即可【解答】解：假设每个小正方形的边长为1，：m=1+2+1=4，n=2+4=6，则mn；在ACN中，BMCN，=，BM=，在AGF中，DMNEFG，=， =，得DM=，NE=，m=2+=2.5，n=+1+=2.5，m=n；由得：BE=，CF=，m=2+2+1+=6，n=4+2=6，m=n，则这三个多边形中满足m=n的是和；故选C【点评】本题考查了相似多边形的判定和性质，对于有中点的三角形可以利用三角形中位线定理得出；本题线段比较多要依次相加，做到不重不漏二填空题13（2016宁德）如图，已知ADEABC，若ADE=37，则B=37【分析】根据相似三角形的对应角相等，可得答案【解答】解：由ADEABC，若ADE=37，得B=ADE=37，故答案为：37【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题关键14（2016梅州）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若SDEC=3，则SBCF=4【分析】根据平行四边形的性质得到ADBC和DEFBCF，由已知条件求出DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，DEFBCF， =（）2，E是边AD的中点，DE=AD=BC，=，DEF的面积=SDEC=1，=，SBCF=4；故答案为：4【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方15（2016遵义）如图，ACBC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与ACB的平分线交于点E，连接BE若SACE=，SBDE=，则AC=2【分析】设BC=4x，根据面积公式计算，得出BC=4BD，过E作AC，BC的垂线，垂足分别为F，G；证明CFEG为正方形，然后在直角三角形ACD中，利用三角形相似，求出正方形的边长（用x表示），再利用已知的面积建立等式，解出x，最后求出AC=BC=4x即可【解答】解：过E作AC，BC的垂线，垂足分别为F，G，设BC=4x，则AC=4x，CE是ACB的平分线，EFAC，EGBC，EF=EG，又SACE=，SBDE=，BD=AC=x，CD=3x，四边形EFCG是正方形，EF=FC，EFCD，=，即=，解得，EF=x，则4xx=，解得，x=，则AC=4x=2，故答案为：2【点评】本题考查的是相似三角形的性质、角平分线的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键16（2016山西）如图，已知点C为线段AB的中点，CDAB且CD=AB=4，连接AD，BEAB，AE是DAB的平分线，与DC相交于点F，EHDC于点G，交AD于点H，则HG的长为3【分析】根据AB=CD=4、C为线段AB的中点可得BC=AC=2、AD=2，再根据EHDC、CDAB、BEAB得EHAC、四边形BCGH为矩形，BC=GE=2，继而由AE是DAB的平分线可得DAE=HEA即HA=HE，设GH=x得HA=2+x，由DHGDAC得=，列式即可求得x【解答】解：AB=CD=4，C为线段AB的中点，BC=AC=2，AD=2，EHDC，CDAB，BEAB，EHAC，四边形BCGH为矩形，HEA=EAB，BC=GE=2，又AE是DAB的平分线，EAB=DAE，DAE=HEA，HA=HE，设GH=x，则HA=HE=HG+GE=2+x，EHAC，DHGDAC，=，即=，解得：x=3，即HG=3，故答案为：3【点评】本题主要考查勾股定理、平行线的性质和判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点，根据相似三角形的性质得出对应边成比例且表示出各边长度是关键17（2016舟山）如图，已知ABC和DEC的面积相等，点E在BC边上，DEAB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是7【分析】根据题意，易得CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长【解答】解：ABC与DEC的面积相等，CDF与四边形AFEB的面积相等，ABDE，CEFCBA，EF=9，AB=12，EF：AB=9：12=3：4，CEF和CBA的面积比=9：16，设CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，CDF与四边形AFEB的面积相等，SCDF=7k，CDF与CEF是同高不同底的三角形，面积比等于底之比，DF：EF=7k：9k，DF=7故答案为：7【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是会用割补法计算面积18（2016乐山）如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DEBC，若ADE与ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB=2【分析】由DEBC，易证ADEABC，由相似三角形的性质即可求出AB的长，进而可求出DB的长【解答】解：DEBC，ADEABC，ADE与ABC的周长之比为2：3，AD：AB=2：3，AD=4，AB=6，DB=ABAD=2，故答案为：2【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方19（2016黄冈）如图，已知ABC、DCE、FEG、HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=【分析】由题意得出BC=1，BI=4，则=，再由ABI=ABC，得ABICBA，根据相似三角形的性质得=，求出AI，根据全等三角形性质得到ACB=FGE，于是得到ACFG，得到比例式=，即可得到结果【解答】解：ABC、DCE、FEG是三个全等的等腰三角形，HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4，=， =，=，ABI=ABC，ABICBA；=，AB=AC，AI=BI=4；ACB=FGE，ACFG，=，QI=AI=故答案为：【点评】本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解ABCDEF，ACDEFG是解题的关键20（2016安顺）如图，矩形EFGH内接于ABC，且边FG落在BC上，若ADBC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为【分析】设EH=3x，表示出EF，由ADEF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长【解答】解：如图所示：四边形EFGH是矩形，EHBC，AEHABC，AMEH，ADBC，设EH=3x，则有EF=2x，AM=ADEF=22x，解得：x=，则EH=故答案为：【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键21（2016安徽）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：EBG=45；DEFABG；SABG=SFGH；AG+DF=FG其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）【分析】由折叠性质得1=2，CE=FE，BF=BC=10，则在RtABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=ADAF=2，设EF=x，则CE=x，DE=CDCE=6x，在RtDEF中利用勾股定理得（6x）2+22=x2，解得x=，即ED=；再利用折叠性质得3=4，BH=BA=6，AG=HG，易得2+3=45，于是可对进行判断；设AG=y，则GH=y，GF=8y，在RtHGF中利用勾股定理得到y2+42=（8y）2，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于A=D和，可判断ABG与DEF不相似，则可对进行判断；根据三角形面积公式可对进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对进行判断【解答】解：BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，1=2，CE=FE，BF=BC=10，在RtABF中，AB=6，BF=10，AF=8，DF=ADAF=108=2，设EF=x，则CE=x，DE=CDCE=6x，在RtDEF中，DE2+DF2=EF2，（6x）2+22=x2，解得x=，ED=，ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，3=4，BH=BA=6，AG=HG，2+3=ABC=45，所以正确；HF=BFBH=106=4，设AG=y，则GH=y，GF=8y，在RtHGF中，GH2+HF2=GF2，y2+42=（8y）2，解得y=3，AG=GH=3，GF=5，A=D， =， =，ABG与DEF不相似，所以错误；SABG=63=9，SFGH=GHHF=34=6，SABG=SFGH，所以正确；AG+DF=3+2=5，而GF=5，AG+DF=GF，所以正确故答案为【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长三解答题22（2016广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当BOD与BCE相似时，求点E的坐标【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；（2）由直线AD与x轴的交点为（2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（，），D（0，1）代入得：，解得：故直线AD的解析式为：y=x+1；（2）直线AD与x轴的交点为（2，0），OB=2，点D的坐标为（0，1），OD=1，y=x+3与x轴交于点C（3，0），OC=3，BC=5BOD与BEC相似，或，=或，BE=2，CE=，或CE=，BCEF=BECE，EF=2，CF=1，E（2，2），或（3，）【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键23（2016宁波）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图1，在ABC中，CD为角平分线，A=40，B=60，求证：CD为ABC的完美分割线（2）在ABC中，A=48，CD是ABC的完美分割线，且ACD为等腰三角形，求ACB的度数（3）如图2，ABC中，AC=2，BC=，CD是ABC的完美分割线，且ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明ABC不是等腰三角形，ACD是等腰三角形，BDCBCA即可（2）分三种情形讨论即可如图2，当AD=CD时，如图3中，当AD=AC时，如图4中，当AC=CD时，分别求出ACB即可（3）设BD=x，利用BCDBAC，得=，列出方程即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，A=40，B=60，ACB=80，ABC不是等腰三角形，CD平分ACB，ACD=BCD=ACB=40，ACD=A=40，ACD为等腰三角形，DCB=A=40，CBD=ABC，BCDBAC，CD是ABC的完美分割线（2）当AD=CD时，如图2，ACD=A=48，BDCBCA，BCD=A=48，ACB=ACD+BCD=96当AD=AC时，如图3中，ACD=ADC=66，BDCBCA，BCD=A=48，ACB=ACD+BCD=114当AC=CD时，如图4中，ADC=A=48，BDCBCA，BCD=A=48，ADCBCD，矛盾，舍弃ACB=96或114（3）由已知AC=AD=2，BCDBAC，=，设BD=x，（）2=x（x+2），x0，x=1，BCDBAC，=，CD=2=【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型24（2016泰州）如图，ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分CAE（1）求证：ADBC；（2）过点C作CGAD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长【分析】（1）由AB=AC，AD平分CAE，易证得B=DAG=CAG，继而证得结论；（2）由CGAD，AD平分CAE，易得CF=GF，然后由ADBC，证得AGFBGC，再由相似三角形的对应边成比例，求得答案【解答】（1）证明：AD平分CAE，DAG=CAG，AB=AC，B=ACB，CAG=B+ACB，B=CAG，B=DAG，ADBC；（2）解：CGAD，AFC=AFG=90，在AFC和AFG中，AFCAFG（ASA），CF=GF，ADBC，AGFBGC，GF：GC=AF：BC=1：2，BC=2AF=24=8【点评】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质注意证得AGFBGC是关键25（2016怀化）如图，ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm（1）求证：AEHABC；（2）求这个正方形的边长与面积【分析】（1）根据EHBC即可证明（2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用AEHABC，得=，列出方程即可解决问题【解答】（1）证明：四边形EFGH是正方形，EHBC，AEH=B，AHE=C，AEHABC（2）解：如图设AD与EH交于点MEFD=FEM=FDM=90，四边形EFDM是矩形，EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，AEHABC，=，=，x=，正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型26（2016杭州）如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AED=B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且（1）求证：ADFACG；（2）若，求的值【分析】（1）欲证明ADFACG，由可知，只要证明ADF=C即可（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明【解答】（1）证明：AED=B，DAE=DAE，ADF=C，=，ADFACG（2）解：ADFACG，=，又=，=，=1【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型27（2016大庆）如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E（1）求证：AG=CG（2）求证：AG2=GEGF【分析】根据菱形的性质得到ABCD，AD=CD，ADB=CDB，推出ADGCDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到EAG=DCG，等量代换得到EAG=F，求得AEGFGA，即可得到结论【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，ABCD，AD=CD，ADB=CDB，F=FCD，在ADG与CDG中，ADGCDG，EAG=DCG，AG=CG；（2）ADGCDG，EAG=F，AGE=AGE，AEGFGA，AG2=GEGF【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键28（2016梅州）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=5cm，BAC=60，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0t5），连接MN（1）若BM=BN，求t的值；（2）若MBN与ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值【分析】（1）由已知条件得出AB=10，由题意知：BM=2t，由BM=BN得出方程，解方程即可；（2）分两种情况：当MBNABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；当NBMABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；（3）过M作MDBC于点D，则MDAC，证出BMDBAC，得出比例式求出MD=t四边形ACNM的面积y=ABC的面积BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果【解答】解：（1）在RtABC中，ACB=90，AC=5，BAC=60，B=30，AB=2AC=10， 由题意知：BM=2t，BM=BN，解得：（2）分两种情况：当MBNABC时，则，即，解得：当NBMABC时，则，即，解得：综上所述：当或时，MBN与ABC相似（3）过M作MDBC于点D，则MDAC，BMDBAC，即，解得：MD=t设四边形ACNM的面积为y，y=根据二次函数的性质可知，当时，y的值最小此时，【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键29（2016丹东）如图，ABC与CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图中的CDE绕着点C顺时针旋转（090），得到图，AE与MP、BD分别交于点G、H请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图，写出PM与PN的数量关系，并加以证明【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证ACEBCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PMPN；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；（3）PM=kPN，由已知条件可证明BCDACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=BD，PN=AE，进而可证明PM=kPN【解答】解：（1）PM=PN，PMPN，理由如下：ACB和ECD是等腰直角三角形，AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS），AE=BD，EAC=CBD，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，PM=BD，PN=AE，PM=PM，PMBD，PNAE，AEBD，NPD=EAC，MPA=BDC，EAC+BDC=90，MPA+NPC=90，MPN=90，即PMPN；（2）ACB和ECD是等腰直角三角形，AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCDACEBCDAE=BD，CAE=CBD 又AOC=BOE，CAE=CBD，BHO=ACO=90点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，PM=BD，PMBD；PN=AE，PNAEPM=PNMGE+BHA=180MGE=90MPN=90PMPN （3）PM=kPN ACB和ECD是直角三角形，ACB=ECD=90ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCDBC=kAC，CD=kCE，=kBCDACEBD=kAE 点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，PM=BD，PN=AEPM=kPN【点评】本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质和三角形中位线定理的运用，熟记和三角形有关的各种性质定理是解答此题的关键30（2016烟台）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明如图1，矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H求证： =；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AMBN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，ABC=90，AB=AD=10，BC=CD=5，AMDN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值【分析】（1）过点A作APEF，交CD于P，过点B作BQGH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，PDAQAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（2）只需运用（1）中的结论，就可得到=，就可解决问题；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得=设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10y，在RtCSD中根据勾股定理可得x2+y2=25，在RtARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10y）2=100，解就可求出x，即可得到AR，问题得以解决【解答】解：（1）过点A作APEF，交CD于P，过点B作BQGH，交AD于Q，如图1，四边形ABCD是矩形，ABDC，ADBC四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，AP=EF，GH=BQ又GHEF，APBQ，QAT+AQT=90四边形ABCD是矩形，DAB=D=90，DAP+DPA=90，AQT=DPAPDAQAB，=，=；（2）如图2，EFGH，AMBN，由（1）中的结论可得=， =，=故答案为；（2）过点D作平行于AB的直线，交过点