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2013年全国高考数学试题分类解析圆锥曲线部分1.（安徽理科第2题、文科第3题）双曲线的实轴长是（A）2 (B) (C) 4 (D) 4答案：C解：双曲线的方程可化为，则所以。2.(安徽理科第21题）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。解：由知，三点在垂直轴的直线上，可设，则，即设由可得：，消去可得：，两式消去可得整理并消去，所求曲线方程为：。3.（安徽文科第17题）设直线（I）证明与相交；（II）证明与的交点在椭圆解：(1)若，则，所以，此时与相交。(2) 设与相交于，则M点既在直线上，又在直线上，两式相乘得：，将代入式中有： ，整理即得：，即与的交点在椭圆3.（北京理科第14题）曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于常数 的点的轨迹.给出下列三个结论： 曲线C过坐标原点； 曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则FPF的面积不大于。其中，所有正确结论的序号是 解：4.（北京理科第19题）已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值.解：（2）由题意知，当时，可以求得 当时，设切线的方程为，由得，设A和B的坐标分别为则，又与圆相切，则即，所以，当且仅当时，等号成立，符合题意。综合以上得：的最大值为2.5.（北京文科8）已知点。若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为 （A）4 (B)3 (C)2 (D)1答案：A解析：，若面积为2，则点C到AB的距离为，直线的方程为，设，C点到AB的距离为，此方程有4个不同实数解。也可以求出与直线的距离为的两条直线方程，然后判断直线和抛物线的交点个数。6.（北京文科10）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 . 答案：27.（北京文科19） 已知椭圆的离心率为，右焦点为。斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为。（）求椭圆的方程；（）求的面积。解：（1）椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，联立有：，设A和B的坐标分别为，其中AB的中点为E，则，因为为底边，所以，解得，此时可以求得，。8. （福建理科第7题、文科11题） 设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足=4:3:2， 则曲线的离心率等于 A. B.或2 C.2 D.答案：A解析：若曲线是椭圆，则，若曲线是双曲线，则9.（福建理科17）已知直线l：y=x+m，mR。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。解：（1）根据题意，切点是直线和轴的交点，由切线的性质得，即，所以，故圆的方程是（2） 直线关于轴对称的直线方程是，代入到抛物线方程中有 ，直线和抛物线相切时，该方程有切只有一个解，所以解得:.所以当时，直线与抛物线相切，时，直线和抛物线不相切。10.（福建文科18）直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。（1） 求实数b的值；（2） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.解：（1）；（2）圆A的方程为本小题满分14分）11.（广东理科19）设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切（1）求的圆心轨迹的方程；（2）已知点，且为上动点，求的最大值及此时点的坐标解：（1）设，圆的半径为，则的圆心轨迹是以为焦点的双曲线，的圆心轨迹的方程为（2）的最大值为2，此时在的延长线上，如图所示，必在的右支上，且，直线的斜率， 的最大值为2，此时为12.（广东理科21）在平面直角坐标系上，给定抛物线：实数满 足，是方程的两根，记（1）过点作的切线交轴于点证明：对线段上的任一点，有；（2）设是定点，其中满足，过作的两条切线，切点分别为，与轴分别交于线段上异于两端点的点集记为证明：；（3）设，当点取遍时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）解：（1）是抛物线上的点，则切线的斜率过点的抛物线的切线方程为：，即在线段上，不妨设方程的两根为，则， 当时， 当时，综上所述，对线段上的任一点，有（2）由（1）知抛物线在处的切线方程为，即切线恒过点，则， 当时， 当时，综合可得由（1）可知，若，点在线段上，有 由（1）可知，方程的两根或，或若，即则、 、 综合可得综上所述； （3）由，求得两个交点则， 过点作抛物线的切线，设切点为，切线与轴的交点为由（2）知，解得， 若，则点在线段上由，得，由，得，令，则， 若，则点在线段的延长线上方程的两根为， 即或 ，同理可得综上所述，13.（广东文科8）设圆C与圆外切，与直线相切，则C的圆心轨迹为 A抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆解：设圆心为，由题意知，且有，整理得，是抛物线，选A。14.（广东文科21）在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段的垂直平分线上一点，且满足（1）当点在上运动时，求点的轨迹的方程；（2）已知，设是上动点,求+的最小值，并给出此时点的坐标；（3）过点且不平行与轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围。解：（1），又M是线段的垂直平分线上一点， 而是定点，M为动点，点在定直线上，由抛物线的定义可知，点的轨迹是以为焦点，以为抛物线的方程，则为所求。 （2）由抛物线的定义可知，设在准线上的射影为，则，所以+，此时，代入抛物线方程得： ，点的坐标是。 （3）设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组得 ，消去得，显然 则故当时，直线与轨迹E有且只有两个不同的交点。15.（湖北理科4、文科4）将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为，则xyOFABCD A. B. C. D. 【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为和，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为，所以选C.16.（湖北理科20、文科21）平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线.（）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系；（）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在上是否存在点，使得的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。解：（1）设动点的坐标为，当时，由题可知，即，化简整理得：，显然两点在曲线上，所以，曲线的方程是：，又，化为标准方程为，分以下几种情况讨论曲线的形状 当时，曲线为它表示圆心在原点，半径为的圆； 当，它表示焦点在轴上的椭圆； 当时，它表示焦点在轴上的椭圆； 当时，它表示焦点在轴上的双曲线。（2） 由（1）知，当时，曲线为，时，此时，由得 ，又，若存在这样的点，则，平方得：，而，所以或时存在这样的点，当或时，不存在这样的点。当或时，设，则,又设，即。综合以上可得: (1)当时，在曲线上存在点使得，且此时； (2)当时，在曲线上存在点使得，且此时； (3)当或，在曲线上不存在点使得。17.（湖南理科5、文科6）设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ） A4 B3 C2 D1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。18（湖南理科21）.(本小题满分13分） 如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。（）求，的方程；（）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.（i）证明：；(ii)记MAB,MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。解析：（I）由题意知，从而，又，解得。故的方程分别为。（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由得，设，则是上述方程的两个实根，于是。又点的坐标为，所以故，即。（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.于是由得，解得或，则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标于是因此由题意知，解得 或。又由点的坐标可知，所以故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。19（湖南文科21）已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值解析：（I）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为由，得设则是上述方程的两个实根，于是 因为，所以的斜率为设则同理可得故当且仅当即时，取最小值1620.（江西理科14）若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .答案： 解析：设过点（1，）的直线方程为：当斜率存在时，根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到k=,直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标（），当斜率不存在时，直线方程为：x=1，根据两点A：（1,0），B：（）可以得到直线：2x+y-2=0,则与y轴的交点即为上顶点坐标，与x轴的交点即为焦点，根据公式，即椭圆方程为： 另:过圆外一点，作圆的两条切线，切点弦所在的直线方程为 ，由条件可得AB的直线方程为，即。21.（江西理科20）是双曲线：上一点，分别是双曲线的左、右顶点，直线的斜率之积为.（1） 求双曲线的离心率；（2） 过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为双曲线上的一点，满足，求的值.解：（1）已知双曲线E：，在双曲线上，M，N分别为双曲线E的左右顶点，所以，直线PM，PN斜率之积为而，比较得（2）设过右焦点且斜率为1的直线L：，交双曲线E于A，B两点，则不妨设，又，点C在双曲线E上：(*)又在双曲线上，则 ，代入(*）式有 (*)，联立直线L和双曲线E方程消去y得：由韦达定理得：，代入（*）式得，而整理得：，或22.（四川理科、文科14）双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离为4，那么点P到左准线的距离是 . 答案：解析：，点显然在双曲线右支上，由双曲线的第一定义可知，点到左焦点的距离为，设点P到左准线的距离为，双曲线的离心率为，由双曲线的第一定义可知，解得，即点P到左准线的距离为。23.（四川理科21）椭圆有两顶点，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点直线与直线交于点 (1)当时，求直线的方程； (2)当点异于两点时，求证：为定值。解析：(1)由已知可得椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为由条件知:，所以椭圆的方程为当直线的斜率不存在时，直线与椭圆的两个交点即为长轴的两个顶点，由于，故不合题意；所以可设直线的方程为，联立，消去并整理得: ，此时，恒成立。设，则，化简得：，解得，所以直线的方程为：。或。（2） 当直线的斜率不存在时，可知直线与平行，不合题意。设直线的方程为 ，由于直线与相交，且异于两点，因此，且， 令得，设，则直线的方程为 ，直线的方程为，两直线消去得：，即，与异号。又由（1）得：，将其代入上式有：,又,所以与的符号相同，与异号，解得，故为定值1.24.（四川文科21）过点C的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、 ，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q（1）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（2）当点P异于点B时，求证：为定值本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思 想方法及推理运算能力解：（1）由已知得，解得，所以椭圆方程为 椭圆的右焦点为，此时直线的方程为 ，代入椭圆方程得 ，解得，代入直线的方程得 ， 所以， 故（2） 当直线与轴垂直时与题意不符设直线的方程为 代入椭圆方程得解得， 代入直线的方程得，所以D点的坐标为 又直线AC的方程为，又直线BD的方程为， 联立得，因此，又 所以故为定值425.（江西文科12）若双曲线的离心率，则_.答案：48. 解析：根据双曲线方程：知， ，并在双曲线中有：，离心率e=2=,m=4826（江西文科19）19.(本小题满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值解析：（1）直线AB的方程是，联立，消去得： ，所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：（2） 将代入上述方程，化简得，从而,从而设=，又，即，即，解得27.（浙江理科8、文科9）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则 （A） （B） （C） （D）【答案】 C 【解析】由双曲线1知渐近线方程为，又椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆方程可化为，联立直线与椭圆方程消得，又将线段AB三等分，解之得.另解：设渐进线与椭圆相交于C，则，又渐近线的斜率为2，故可设倾斜角为，则有，代入椭圆方程即得。28.（浙江理科17）设分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是 .【答案】 【解析】设直线的反向延长线与椭圆交于点，又，由椭圆的对称性可得，设，设直线的方程为，代入椭圆方程中有：，整理得：，又有得，由，消去得，反代得：所以，此时A点的坐标是29（浙江理科21）已知抛物线，圆的圆心为点。（）求点到抛物线的准线的距离；（）已知点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆 的两条切线，交抛物线于两点，若过两点的直线 垂足于，求直线的方程. （）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：所以圆心到抛物线的距离是 （）解：设，由题意若，则一条切线的斜率不存在，此时和抛物线只有一个交点，故得，设过点P的圆C2的切线方程为，则 即 设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以 ， 将切线方程代入得， 由于是此方程的根，故所以，由,得，解得即点P的坐标为，此时所以直线的方程为。30（浙江文科22）（本大题满分15分）如图，设P为抛物线：上的动点。过点做圆 的两条切线，交直线：于两点。 （）求的圆心到抛物线 准线的距离。（）是否存在点，使线段被抛物线在点处的切线平分，若存在， 求出点的坐标；若不存在，请说明理由。解：（）解：由题意可知，抛物线C1的准线方程为： 所以圆心M到抛物线C1准线的距离为 （）解：设点P的坐标为(x0, x02)，抛物线C1在点P处的切线交直线于点D。 再设A,B,D的横坐标分别为，过点P(x0, x02)的抛物线C1的切线方程为： （1） 当时，过点与圆C2的切线PA为：。 可得。 所以。 设切线PA.PB的斜率为，则 （2） （3） 将分别代入（1），（2），（3），得 从而 又， 即 同理 所以是方程的两个不相等的根，从而，因为，所以即。从而进而得综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为31（山东理8）已知双曲线的两条渐近线均和圆:相切,且双曲线的右焦点为圆的圆心,则该双曲线的方程为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】由圆:得:,因为双曲线的右焦点为圆的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆相切,所以,即,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为,故选A.32（山东理22）已知动直线与椭圆: 交于、两不同点，且的面积=,其中为坐标原点.（）证明和均为定值;（）设线段的中点为，求的最大值；（）椭圆上是否存在点使得?若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.【解析】（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，两点关于x轴对称，所以因为在椭圆上，因此又因为所以由、得此时 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知，将其代入，得，其中即（*）又所以因为点O到直线的距离为所以又整理得且符合（*）式，此时综上所述，结论成立。 （II）解法一： （1）当直线的斜率不存在时，由（I）知因此 （2）当直线的斜率存在时，由（I）知所以 所以，当且仅当时，等号成立.综合（1）（2）得| | |的最大值为解法二：因为 所以即当且仅当时等号成立。因此 |OM|PQ|的最大值为 （III）椭圆上不存在三点，使得证明：假设存在，由（I）得因此只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点.33（山东文9）设(，)为抛物线：上一点，F为抛物线的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是（ ） (A)(0，2) (B)0，2 (C)(2，+) (D)2，+)【答案】C【解析】设圆的半径为r,因为(0,2)是圆心, 抛物线的准线方程为,由圆与准线相交知4,因为点 (，)为抛物线：上一点，所以有,又点 (，)在圆 ,所以,所以,即有,解得或, 又因为, 所以, 选C.34（山东文15）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .【答案】【解析】由题意知双曲线的焦点为，即=,又因为双曲线的离心率为，所以故，所以双曲线的方程为35（山东文22）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（）求的最小值；（）若，（i）求证：直线过定点；y（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.【解析】（）由题意:设直线,由消y得:,设、,的中点,则由韦达定理得: =,即,所以中点的坐标为,因为三点在同一直线上，所以，即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.（）（i）证明:由题意知直线的方程为,所以由得交点的纵坐标为,又因为,且，所以,又由（）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得, =0,与实数无关,所以直线过定点(-1,0).（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,由（i）知点G,所以点B,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，得所以解得或6，又因为,所以舍去,即=1，此时=1， =1，的中垂线为，圆心坐标为， ,圆半径为，圆的方程为综上所述, 点，能关于轴对称,此时的外接圆的方程为36（辽宁理3、文7）已知F是抛物线的焦点，A,B是该抛物线上的两点，则线段AB的中点到y轴的距离为 (A) (B) 1 (C) (D)解：设，由抛物线的定义可知，所以，选C。37（辽宁理13）已知点在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率 为_.解：点在双曲线上，则，又，则，38（辽宁理20、文21）如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点在轴上，椭圆的短轴为，且的离心率都为，直线，与交于两点，与交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为。（1）设，求与的比值；（2）当变化时，是否存在直线，使得，并说明理由解：（1）设的方程为，由与的离心率相同，则可得得方程为，设直线，分别与与的方程联立得：，当时，分别用表示的纵坐标，可知（2） 当时，不符合题意，时，当且仅当的斜率与的斜率相等，即，解得：，因为，又 所以，解得，所以当时，不存在直线，使得；当时，存在直线，使得。39（天津理18）（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点已知为等腰三角形（）求椭圆的离心率；（）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （I）解：设，由题意，可得即整理得（舍），或所以（II）解：由（I）知可得椭圆方程为直线PF2方程为A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得解得 得方程组的解不妨设，设点M的坐标为，由于是由即，化简得将所以因此，点M的轨迹方程是40（天津文6）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ）ABCD答案：B41（天津文18）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2。点满足 （）求椭圆的离心率； （）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程。本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。 （）解：设，因为，所以，整理得（舍）或 （）解：由（）知，可得椭圆方程为，直线的方程为A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得。解得，得方程组的解不妨设，所以于是圆心到直线PF2的距离因为，所以整理得，得（舍），或所以椭圆方程为42（全国大纲理10）已知抛物线C：的焦点为，直线与交于，两点则(A) (B) (C) (D) 【答案】D【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.【解析】联立消去得,解得,不妨设点在轴的上方,于是，两点的坐标分别为(4,4),(1,),又,可求得.在中,由余弦定理.43（全国大纲理15、文16）已知、分别为双曲线: 的左、右焦点，点，点的坐标为(2，0)，为的平分线则 .【答案】6【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质.【解析】为的平分线， 又点，由双曲线的第一定义得.44（全国大纲理21、文22）已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足.(I)证明：点在上；(II)设点关于点的对称点为，证明：、四点在同一圆上.【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。【解析】(I),的方程为,代入并化简得. 设,则 由题意得 所以点的坐标为.经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 (II)由和题设知，的垂直平分线的方程为. 设的中点为,则,的垂直平分线的方程为. 由、得、的交点为. , ,故 ,又 , ,所以 ,由此知、四点在以为圆心,为半径的圆上【点评】本题涉及到平面向量，有一定的综合性和计算量，完成有难度. 首先出题位置和平时模拟几乎没有变化，都保持全卷倒数第二道题的位置，这点考生非常适应的。相对来讲比较容易，是因为这道题最好特点没有任何的未知参数，我们看这道题椭圆完全给出，直线过了椭圆焦点，并且斜率也给出，平时做题斜率不给出，需要通过一定条件求出来，或者根本求不出来，这道题都给了，反而同学不知道怎么下手，让我求什么不知道，给出马上给向量条件，出了两道证明题，这个跟平时做的不太一样，证明题结论给大家，需要大家严谨推导出来，可能叙述的时候有不严谨的地方。这两问出的非常巧妙，非常涉及解析几何本质的内容，一个证明点在椭圆上的问题，还有一个疑问既然出现四点共圆，这都是平时很少涉及内容。从侧面体现教育深层次的问题，让学生掌握解析几何的本质，而不是把套路解决。其实几年前上海考到解析几何本质问题，最后方法用代数方法研究几何的问题，什么是四点共圆？首先在同一个圆上，首先找到圆心，四个点找圆形不好找，最简单的两个点怎么找？这是平时的知识，怎么找距离相等的点，一定在中垂线，两个中垂线交点必然是圆心，找到圆心再距离四个点距离相等，这就是简单的计算问题。方法确定以后计算量其实比往年少.45（全国课标理7）设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为（A） （B） （C）2 （D）3【答案】B【解析】不妨设双曲线的方程为：，直线的方程为：，由可得直线与双曲线的交点坐标为，所以.46（全国课标理14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线交于两点，且的周长为16，那么的方程为 .【答案】【解析】 设椭圆C的方程为,则的周长为故椭圆C的方程为47（全国课标理20） 在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，点的轨迹为曲线.（）求的方程；（）为上的动点，为在点处得切线，求点到距离的最小值。【解析】()设,由已知得.所以, =(0,-3-y), .再由题意可知,即.所以曲线的方程式为()设为曲线上一点，因为,所以的斜率为.因此直线的方程为，即.则点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以点到距离的最小值为2.48（陕西理2、文2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （ ）（A） （B） （C） （D）【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键【解】选B 由准线方程得,且抛物线的开口向右（或焦点在轴的正半轴），所以49（陕西理17）如图，设是圆上的动点，点是在轴上投影，为PD上一点，且（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度【分析】（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算【解】（1）设点M的坐标是，P的坐标是，因为点是在轴上投影，为PD上一点，且，所以，且，P在圆上，整理得，即C的方程是（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，设此直线与C的交点为，将直线方程代入C的方程得：，化简得，所以线段AB的长度是，即所截线段的长度是50（陕西文17）设椭圆: 过点（0，4），离心率为（1）求的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被所截线段的中点坐标【分析】（1）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解【解】（1）将点（0，4）代入的方程得, b=4,又 得，即， 的方程为（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，将直线方程代入的方程，得，即，解得， AB的中点坐标，即所截线段的中点坐标为注：用韦达定理正确求得结果，同样给分51（全国课标4）椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选D.52（全国课标5）已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直. 与交于两点，为的准线上一点，则的面积为（A）18 （B）24 （C）36 （D）48【答案】C【解析】设抛物线的焦点为,则，有抛物线的定义可知到的距离是，所以故选C.53（上海理3）设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则 【答案】16【解析】根据焦点公式：54（上海文22）已知椭圆（常数），点是上的动点，是的右顶点，定点的坐标为（1）若与重合，求的焦点坐标；（2）若，求的最大值与最小值；（3）若的最小值为，求的取值范围【解析】 当与重合时，椭圆方程为，故曲线 的焦点坐标分别为4分 设曲线上点当时，椭圆方程为，点在椭圆上，当 时，； 当时，分 设曲线上点，点在椭圆上，所以令，其对称轴为，又的最小值为，当时，取最小值， 且，解得分55（重庆理15）设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为_答案：解析：若使圆C的半径最大，则圆与抛物线和直线同时相切，设圆的方程为联立方程组，代入消元得：则，求得，此时圆的半径为。56（重庆理20）如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为 （）求该椭圆的标准方程； （）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由 解：（I）由解得，故椭圆的标准方程 （II）设，则由得因为点M，N在椭圆上，所以，故 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知因此 所以所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为57（重庆文9）设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为A B C D，答案：B解析：设双曲线的方程为，左准线的方程为，它与两条渐近线的交点坐标分别是，则与轴的交点为，若左焦点在以为直径的圆内，则，所以，所以58（重庆文21）如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是 （）求该椭圆的标准方程； （）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线与 的斜率之积为，问：是否存在定点，使得与点P到直线： 距离之比为定值；若存在，求的坐标，若不存在，说明理由。 解：（I）由解得，故椭圆的标准方程为 （II）设，则由得因为点在椭圆上，所以，故 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知因此所以所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得|PF|与点到直线的距离之比为定值。59（江苏18）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点设直线的斜率为（1）当直线平分线段，求的值；（2）当时，求点到直线的距离；（3）对任意，求证：解：（1）由椭圆的方程可得：，的中点的坐标是，即。（2） 当时，直线的方程为，代入椭圆的方程有， ，则直线的方程是，故点到直线 的距离。(3) 设，则 又，两式相减得：故，即对任意，求证：。另解：设直线的方程为，可以得到则，所以直线的方程为，代入椭圆方程有整理得：，则是方程两个实根。故有，所以，代入直线方程得，故，即对任意，求证：。
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