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第四章 一元函数的积分及其应用 第一节 不定积分一、原函数与不定积分的概念定义1.设是定义在某区间的已知函数，若存在函数，使得或,则称为的一个原函数定义2.函数的全体原函数叫做的不定积分，记为:其中 叫做被积函数 叫做被积表达式 叫做积分常数“”叫做积分号 二、不定积分的性质和基本积分公式性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即 .性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即 性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即 .性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即 三、换元积分法和分部积分法定理1. 设可导，并且 则有该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法定理2.设是可微函数且，若具有原函数，则该方法叫第二换元积分法 1) v 容易求得 ; 解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序, 前者为后者为第二节 定积分概念一、原函数与不定积分的概念二、定积分的定义和存在定理三、定积分的几何意义与定积分的性质1定积分的几何意义2. 定积分的性质性质1.性质2. (是常数).性质3. .性质4.推论1. 如果在 上， (ab).推论2. 性质5. .性质6. 设M与m分别是函数上的最大值及最小值，则 ().性质7 .(定积分中值定理) 如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，使下式成立： ()可积的充分条件:定理1.，则定理2.且只有有限个间断点 ，则第三节 微积分基本公式一、微积分基本公式 1. 变上限函数 定义1. 设函数在区间上连续，则它在任意一个子区间上可积，则 ( )是上限变量的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数. 2. 微积分基本公式定理2.1.定积分的换元积分法定理3.注：设在上连续,证明(1)若在为偶函数，则 =；(2)若在上为奇函数，则 =0.2.定积分的分部积分法定理4. 第四节 定积分的应用（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了=v=）一、定积分的微元法其实质是找出的微元的微分表达式.二、定积分在几何中的应用1. 平面图形的面积 .2. 旋转体的体积三、定积分在物理上的应用1.变力做功2.液体静压四、定积分在医学上的应用
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