全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学理.doc

考试结束前机密2006年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学（理工农医类）考生注意：1答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚2本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上一填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知集合A1，3，21，集合B3，若BA，则实数 。2已知圆440的圆心是点P，则点P到直线10的距离是 。3若函数（0，且1）的反函数的图像过点（2，1），则 。4计算： 。5若复数同时满足2，（为虚数单位），则 。6如果，且是第四象限的角，那么 。7已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 。8在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，），则OAB的面积是 。9两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本。将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）。10如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 。11若曲线|1与直线没有公共点，则、分别应满足的条件是 。12三个同学对问题“关于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路。甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”。丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”。参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 。二选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ）ABCD（A）；（B）；（C）；（D）14若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 （ ）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件15若关于的不等式4的解集是M，则对任意实常数，总有 （ ）（A）2M，0M； （B）2M，0M； （C）2M，0M； （D）2M，0M16如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”已知常数0，0，给出下列命题：若0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若0，且0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；若0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 （ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3三解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17（本题满分12分）求函数2的值域和最小正周期。18（本题满分12分）北2010ABC如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）PABCDOE在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60。（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点。（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。21（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1。（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值。22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数有如下性质：如果常数0，那么该函数在0，上是减函数，在，上是增函数。（1）如果函数（0）的值域为6，求的值；（2）研究函数（常数0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）。2006年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学参考答案一、(第1题至笫12题)1. 1 2. 3. 4. 5. 1+i 6. 7. 8. 5 9. 10. 36 11. k=0,1b1 12. a10二、(第13题至笫16题)13. C 14. A 15. A 16. D三、(第17题至笫22题)17.解：y=cos(x+) cos(x)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)函数y=cos(x+) cos(x)+sin2x的值域是2,2,最小正周期是.18.解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700.于是,BC=10., sinACB=,ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.19.解：(1) 在四棱锥P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角, PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1, 由POBO,于是,PO=BOtg60=,而底面菱形的面积为2.四棱锥P-ABCD的体积V=2=2.(2)解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在RtAOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,0),B(1,0,0),D(1,0,0)P(0,0, ).E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).设的夹角为,有cos=,=arccos,异面直线DE与PA所成角的大小是arccos. 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点,得EFPA,FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角).在RtAOB中AO=ABcos30=OP,于是, 在等腰RtPOA中,PA=,则EF=.在正ABD和正PBD中,DE=DF=.cosFED=异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.20.证明：（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x12,y2).当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,)、B(3,).=3当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x3),其中k0.当 y2=2x y=k(x3) 得ky22y6k=0,则y1y2=6. 又x1=y, x2=y, =x1x2+y1y2=3.综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题.(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为Y=(X+1),而T(3,0)不在直线AB上.说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x12,y2)满足=3,可得y1y2=6.或y1y2=2,如果y1y2=6.,可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).21.证明(1)当n=1时,a2=2a,则=a；2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2,an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列.解(2)由(1)得an=2a, a1a2an=2a=2a=a,bn=(n=1,2,2k).（3）设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn.原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k)=(bk+1+b2k)(b1+bk)=.当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.22.解(1) 函数y=x+(x0)的最小值是2,则2=6, b=log29. (2)设0x1x2,y2y1=.当x1y1, 函数y=在,+)上是增函数；当0x1x2时y20),其中n是正整数.当n是奇数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数,在(,上是增函数, 在,0)上是减函数.当n是偶数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数,在(,上是减函数, 在,0)上是增函数.F(x)= +=因此F(x) 在 ,1上是减函数,在1,2上是增函数.所以,当x=或x=2时, F(x)取得最大值()n+()n；当x=1时F(x)取得最小值2n+1.