材料力学-5梁的弯曲应力.ppt

1 第五章弯曲应力 材料力学 5 纯弯曲 1 弯曲构件横截面上的 内力 应力 平面弯曲时横截面s纯弯曲梁 横截面上只有M而无Q的情况 平面弯曲时横截面t横力弯曲 横截面上既有Q又有M的情况 2 研究方法 纵向对称面 P1 P2 例如 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时 该段梁的变形称为纯弯曲 如AB段 P P a a A B 纯弯曲 PureBending 5 a F 纯弯曲 梁弯曲变形时 横截面上只有弯矩而无剪力 横力弯曲 梁弯曲变形时 横截面上既有弯矩又有剪力 例 火车轮轴 6 1 研究对象 等直细长对称截面梁 2 前提 a 小变形 在弹性变形范围内 b 满足平面弯曲条件 c 纯弯曲 3 实验观察 凹边缩短 凸边伸长 横截面上只有正应力无剪应力 纵向纤维间无挤压作用 7 中性层 杆件弯曲变形时 其纵向线段既不伸长又不缩短的曲面 中性轴 中性层与横截面的交线 4 平面截面假设 横截面变形后保持为平面 只是绕中性轴旋转了一角度 8 1 变形分布规律 y y 任意纵向纤维至中性层的距离 中性层的曲率半径 纵向纤维ab 变形前 变形后 5 2梁的弯曲正应力 o 曲率中心 9 所以纵向纤维ab的应变为 横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律 曲率 则 曲率 则 当 a 10 2 应力分布规律 在线弹性范围内 应用胡克定律 b 对一定材料 E C 对一定截面 横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例 当 11 3 由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式 y 对称轴 由得 0 将 b 式代入 得 因此z轴通过截面形心 即中性轴通过形心 并垂直于载荷作用面 c 12 考虑平衡条件 为截面对中性轴的惯性矩 e 13 可得挠曲线的曲率方程 为常数 挠曲线是一条圆弧线 抗弯刚度 正应力的计算公式为 横截面上最大正应力为 截面的抗弯截面模量 反映了截面的几何形状 尺寸对强度的影响 14 简单截面的惯性矩 矩形截面 园形截面 15 矩形 圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量 竖放 b h h b 平放 若h b 则 16 17 注意 1 要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律 在中性轴上为零 而在梁的上下边缘处正应力最大 3 必须熟记矩形截面 圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式 2 梁在中性轴的两侧分别受拉或受压 正应力的正负号 拉或压 可根据弯矩的正负及梁的变形状态来确定 18 梁的弯矩图如图5 8b所示 由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大 其值为 例图5 8所示 一受均布载荷的悬臂梁 其长l 1m 均布载荷集度q 6kN m 梁由10号槽钢制成 由型钢表查得横截面的惯性矩Iz 25 6cm4 试求此梁的最大拉应力和最大压应力 1 作弯矩图 求最大弯矩 19 因危险截面上的弯矩为负 故截面上缘受最大拉应力 其值为 在截面的下端受最大压应力 其值为 2 求最大应力 20 1 C截面上K点正应力 2 C截面上最大正应力 3 全梁上最大正应力 4 C截面的曲率半径 已知E 200GPa 1 求支反力 压应力 例题 解 求 21 2 C截面最大正应力 C截面弯矩 C截面惯性矩 解 22 3 全梁最大正应力 最大弯矩 截面惯性矩 解 23 4 C截面曲率半径 C截面弯矩 C截面惯性矩 解 已知E 200GPa 24 梁的最大正应力 梁的危险截面 梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上 危险截面位于梁中部 危险截面位于梁根部 梁的最大正应力 梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处 5 3梁弯曲时的强度条件 25 弯曲正应力强度条件 可解决三方面问题 1 强度校核 即已知检验梁是否安全 2 设计截面 即已知可由确定截面的尺寸 3 求许可载荷 即已知可由确定 Mmax 梁内最大弯矩 WZ 危险截面抗弯截面模量 材料的许用应力 26 注意 27 作弯矩图 寻找需要校核的截面 要同时满足 分析 非对称截面 要寻找中性轴位置 T型截面铸铁梁 截面尺寸如图示 试校核梁的强度 例题 MPa 160 MPa 30 c t s s 28 2 求截面对中性轴z的惯性矩 1 求截面形心 解 29 4 B截面校核 3 作弯矩图 30 5 C截面要不要校核 4 B截面校核 3 作弯矩图 31 5 4弯曲时的切应力 1 矩形截面梁 2 工字形截面梁 32 3 圆形 圆环形截面梁 33 梁的剪应力强度条件是 下列情况须进行剪应力强度校核 若梁较短或载荷很靠近支座 梁的最大弯矩Mmax可能很小而最大剪力Fs max却相对较大 如果据此时的Mmax选择截面尺寸 就不一定能满足剪应力强度条件 对于一些组合截面梁 如其腹板的宽度b相对于截面高度很小时 横截面上可能产生较大的剪应力 对于木梁 它在顺纹方向的抗剪能力较差 而由剪应力互等定理 在中性层上也同时有 max作用 因而可能沿中性层发生剪切破坏 所以需要校核其剪应力强度条件 34 解 画内力图求危面内力 例2矩形 b h 0 12m 0 18m 截面木梁如图 7MPa 0 9MPa 试求最大正应力和最大剪应力之比 并校核梁的强度 A B L 3m 35 求最大应力并校核强度 应力之比 36 5 6梁的优化设计 弯曲正应力强度条件 在 一定时 提高弯曲强度的主要途径 一 选择合理截面 1 矩形截面中性轴附近的材料未充分利用 工字形截面更合理 1 根据应力分布的规律选择 37 2 为降低重量 可在中性轴附近开孔 38 2 根据截面模量选择 为了比较各种截面的合理性 以来衡量 越大 截面越合理 d h 39 3 根据材料特性选择 塑性材料 宜采用中性轴为对称轴的截面 脆性材料 宜采用中性轴为非对称轴的截面 例如T字形截面 即使最大拉 压应力同时达到许用应力值 40 二 合理安排载荷和支承的位置 以降低值 1 载荷尽量靠近支座 41 42 2 将集中力分解为分力或均布力 43 3 合理安排支座位置及增加支座 减小跨度 减小 44 三 选用合理结构 1 等强度梁 设计思想 按M x 的变化来设计截面 采用变截面梁 横截面沿着梁轴线变化的梁 增加支座 45 例如矩形截面悬臂梁 设h const b b x 则 x 0时 b 0 但要有足够的面积承受剪力 因此 而 沿梁轴线呈线性分布 46 本章结束