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柏努利方程应用例题 河北科大化原 例1 如图所示 水从储水箱A经异径水平管段B及C流至大气中 已知水箱内液面与管子中心线间的垂直距离为5 5m 保持恒定 管段B的直径为管段C的两倍 水流经B C段的摩擦阻力分别为 hf B 15J Kg及 hf C 30J Kg有水箱至管段B及有管段B至管段C的突然缩小损失可以忽略 而管段C至外界的出口损失不能忽略 试求 1 水在管段c中的流速 2 水在管段B中的流速 3 管段B末段内侧的压强 解 水箱上方有水补充 侧面有溢流管 箱内液位恒定 故本题为无外加功的不可压缩流体作定态流动 计算所要求各项目时 可采用无外功加入的柏努利式 水在管路C中的流速uC在水箱1 1 面及管C出口内侧2 2 面间列柏努利式 以水平管中心线为基准面 1 其中 z1 5 5mp1 0 表压 u1 0 因水箱截面很大 故u1很小 可认为u1 0 z2 0p2 0 2 2 面在管口内侧 接近外界大气压 故可认为p2与外界大气压相等 其表压为零 u2 uc 待求值 题意忽略水箱至管B 由管B至管C的突然缩小损失可以忽略 故由1 1 至2 2 两面间的总摩擦力为 式中hf A hf B hf C分别为水流经水箱 管B及管C的摩擦阻力 因水箱内的流速几乎等于零 故hf A 0 因此 取水的密度 1000kg m3 将以上诸值代入式1 解得uC 4 232m s 2 水在管路B中的流速uB水是不可压缩流体 故可用连续性方程式求uB 简化之 或 上式说明不可压缩流体在管道中的流速与直径的平方成反比 3 管B出口内侧压强管B出口内侧压强可以在1 1 及3 3 管B出口内侧 面或3 3 及2 2 面间列柏努利式 算出的结果是一致的 今在1 1 及3 3 面间列柏努利式 仍以管中心线为基准面 取水的密度 1000kg m3 其中 解得 管B出口表压强p3 3 84 104Pa 例2 用离心泵将密度为1200kg m3的水溶液由敞口贮槽A送至高位槽B 已知离心泵吸入管路上各种流动阻力之和 hf a 10J kg 压出管路的 hf b 30J kg 两槽液面维持恒定 其间垂直距离为20m 每小时液面的输送量为30m3 若离心泵的效率为0 65 试求泵的轴功率 解 根据题意画出如本题附图所示的流程示意图 本题属于由外功加入的不可压缩流体坐定态流动 在由外功加入的系统中应用伯努利方程式时 两个截面必须选在泵的两侧 才能将泵向系统输入的能量计入 这两个截面的具体位置视具体情况而定 本题以选 槽液面1 1 及B槽液面2 2 为宜 因这两个面上机械能以及其间的 hf 1 2均为已知或可算出 若选图中3 3 及4 4 两个面 虽然算出的We与选1 1 及2 2 时算出的是一样 但3 3 及4 4 面上各种机械能与其间的摩擦阻力 hf 3 4均未可知 且在本题条件下又缺乏计算数据 故不能选用3 3 及4 4 两个面 选贮槽液面1 1 及高位槽液面2 2 为衡算范围 以1 1 面为基准面 其中z1 0z2 20mp1 0 表压 p2 0 表压 u1 0u2 0 hf 1 2 hf a hf b 10 30 40J kg We 20 9 81 40 236 2J kg 由以上计算过程知 泵提供的能量用于将溶液提升至高位槽以及克服流动过程中流动阻力 伯努利方程式是以1kg为基准推导的 故We是1kg流体在流动过程中获得的能量 称为有效功 故有效功率为 Ne We qm 236 2 30 1200 3600 2632J s 2632W由于泵体内有各种损耗 泵轴消耗的功率为 N 2362 0 65 3634W 3 7KW 例3 如本题附图所示 每小时有12 104kg的水在倾斜放置的变径管内从下向作定态流动已知细管直径d1 100mm 粗管直径d2 240mm 图中2 2 面比1 1 面高H2 300mm 1 1 面与2 2 面间有软管与水银压差计相连 其上指示剂读数R 20mm 试求 1 1 1 与2 2 面间的摩擦阻力 2 若流量不变 而将输水管水平放置 计算压差计上指示剂读数 3 分析倾斜放置时1 1 与2 2 面间能量变化情况 4 由两种放置情况下的指示剂读数数值分析两截面间的压强差 解 1 1 1 与2 2 面间的摩擦阻力本题属于无外功加入的不可压缩流体定态流动情况 故应采用式 1 12a 进行计算 在1 1 与2 2 面间列柏努利式 以过1 1 面中心的水平面0 0 为基准面 1 或 其中 本题输水管是倾斜放置的 故不能采用根据水平管导出的式 1 6 进行计算 p1 p2 应另行推导计算式 在附图的压差计上取等压参考面m及n 则pm pn 参考图可以写出 整理得 2 上式为倾斜管路上液柱压差计读数与两侧压面间压强差的关系式 该式也适用于垂直管路 取 H2O 1000kg m3 Hg 13600kg m3 故 将以上各式值代入式1 2 管子改为水平放置时压差计上的读数将柏努利方程式中各物理量加注上 表示水平放置的情况 仍在前述条件下列柏努利方程式 或 其中 因为管子水平放置 故可直接用式 1 6 求p1 p2 流量及管径没有变化 故流速及摩擦阻力也无变化 解得 R 0 02m 20mm 由此看出水平放置后压差计读书没有变化 3 倾斜放置时1 1 与2 2 面间能量变化情况1 1 与2 2 面间能量变化情况列于本例附表中 由上表看出 水由1 1 面流到2 2 面位能升高 同时又有能量损失 而两面间无外功加入 故这些能量只能由两截面间的动能及静压能来供给 也就是说1 1 面上一部分动能与一部分静压能当流体流到2 2 面时转变为位能和用于克服摩擦阻力 4 由两种放置情况的压差计读数分析两截面间的压强差由前面计算结果知两种放置情况时压差计读数均为0 02m 而倾斜放置时压强差为5415Pa 水平放置时为2471Pa 例4 用离心泵将密度为1200kg m3的水溶液由敞口贮槽A送至高位槽B 已知离心泵吸入管路上各种流动阻力之和 hf a 10J kg 压出管路的 hf b 10J kg 两槽液面维持恒定 其间垂直距离为20m 每小时溶液的输送量为30m3 若离心泵效率为0 65 试求泵的轴功率 解 根据题意画出本题附图所示的流程示意图 本题属于有外功加如的不可压缩流体作定态流动 故用式 1 12c 进行计算 在有外功加入的系统中应用柏努利方程时 两个界面必须选在泵的两侧 才能将泵向系统输入的能量计入 这两个截面的具体位置视具体情况而定 本题以选A槽液面1 1 及B槽液面2 2 为宜 因这两个面上机械能以及其间的 hf 1 2均为已知或可算出 若选图中3 3 及4 4 两个 面 虽然算出的We与选1 1 及2 2 时算出的是一样 但3 3 及4 4 面上各种机械能与其间的摩擦阻力 hf 3 4均为已知 且在本题条件下又缺乏计算数据 故不能选用3 3 及4 4 两个面 选贮槽液面1 1 及高位槽液面2 2 为衡算范围 以1 1 面为基准面 其中 z1 0z2 20mp1 0 表压 p2 0 表压 u1 0u1 0 We 20 9 81 40 236 2J kg 由以上计算过程可知 泵提供的能量用于将溶液提升至高位槽以及克服流动过程中的流动阻力 柏努利方程式是以1kg流体为基准推导的 故We是1kg流体在流动过程中获得的能量 称为有效功 故有效功率为 由于泵体内有各种损耗 泵轴消耗的功率为 例5 用泵将水从贮槽送至敞口高位槽 两槽液面均衡定不变 输送管路尺寸为 57 3 5mm 泵出口垂直管段A B截面上的测压口有软管与两支液柱压差计相连 其上指示剂水银柱的读数分别为R 40mm及R 1200mm 右边压差计的左侧指示剂液面与截面A的垂直距离H 1000mm 右侧开口水银面上灌有一段R 20mm的清水 A B两截面间的管长 即垂直距离 为6m 管路中摩擦系数为0 02 当地大气压强为1 0133 105Pa 试求 水在管路中的流速 截面A上的压强 解 令Pa 大气压强 取水的密度为 H2O 1000kg m3 水银的密度 Hg 13600kg m3 水在管路中的流速水在管路中的流速或流量直接影响流动的阻力 故可用式 1 19 计算流速 1 上式中的 hf可由柏努利式算出 分析题给数据应取截面A及B作衡算范围 因二者间的垂直距离为已知 压强差可由压差计算出 速度相等 且无外功加入 故可算出 hf AB 然后 由式 1 计算出管路中的流速 以截面A为基准面 2 或 3 其中 由于左边压差计装在垂直管道上 故不能用式 1 6 计算 而应采用例 1 8 中为倾斜管推导的但也适用于垂直管的式 2 来计算 将以上诸值代入式 3 上式中 hf AB即式 1 中的 hf 故 解得管路中流速u 2 029m s 2 截面A上的压强前项已算出pA pB的值 此处再利用右边压差计的数据算出截面B上的压强pB后 即可算出pA 在右边压差计上作等压参口面T及S pT pS 参考图知 整理之 例6 实验室测定离心泵性能时 采用本题附图所示的定态流动流程 每小时以45m3 20 的清水为工作介质 泵的出口管直径为 85 4mm 出口管直径为 75 4mm 在泵的进口和出口附近分别装有真空表及压强表 已测得真空表上读数为2 6 104Pa 压强表读数为2 6 105Pa 两测压口中心线间的垂直距离为0 5m 因其间管路较 短 故流体在两表间的摩擦阻力可以忽略 泵由电动机直接带动 传动效率可视为1 已测得电动机输出功率为5 5kW 试求泵的效率 解 本题属于有外功加入的不可压缩流体作定态的流动 已知泵的轴功率 要求计算泵的效率 因 Ne N 故应先采用式 1 12b 求出泵的有效功We 进一步算出有效功率Ne 前已述及 计算泵的有效功率时 作为衡算范围的两个截面应在泵的两侧 在本题条件下 只能选过两测压口中心的截面1 1 及2 2 因这两个面上的机械能 为已知或可算出 且其间的摩擦阻力可以忽略 若选两槽液面 虽然其上的机械能为可知值 但其间的总摩擦力为未知 且缺乏必要的计算数据 在两测压口中心截面1 1 及2 2 间列柏努利式 以2 2 面的中心线为基准面 取 H2O 1000kg m3 其中z1 0 We 待求值z2 0 5m 解得 例7 每小时将400kg 平均分子量为28kg kmol的气体由气柜定态输送到密闭设备内 输送过程中气体温度基本恒定在20 下 已测得压强表A和B上的读数分别为1060Pa和100Pa 两侧压面间的全部摩擦阻力可用 hf a b 5G2的经验公式求算 式中 hf a b为压强表A B间的总摩擦力 J kg G为气体在管路中的质量流率 kg m2 s 两测压口中心线间的垂直距离为5m 全系统输送管路的直径相同 试求输送管路直径 当地大气压强为1 0133 105 解 本题属于无外功加入的恒温定态输送可压缩流体系统 分析题给数据可知以选过两测压口中心的截面a a 及b b 为衡算截面最合适 但这两截面上的绝对压强之比若小于20 才能在其间应用柏努利式 故可以在a a 及b b 面间应用柏努利式 但式中的密度应取两截面间的平均密度 m 在a a 及b b 面间列柏努利式 以过a a 中心的水平线为基准面 或 其中 a a 及b b 面间的管路直径相等 质量流量也相等 但压强不同 故体积流量不同 从而ua ub 不过因为pa与pb相差不大 故取ua ub 因此 已知 hf a b 5G2 将以上诸值代入式 1 5G2 5 9 81 819 1 解得 G 12 41kg m3 s 由质量流率定义知 或 由计算过程看到 可压缩流体在等径管中作等温定态流动时 因沿程压强有变化 故管路各截面上速度不等 但质量流率相同 题中给出 hf a b 5G2 而不给出 hf a b f u 的关系 其理由即在此 但要指出 在计算中如采用G u 常数的关系计算G 其中 及u必定要采用同一截面上的数值 前面计算中曾假设在此可进行核算 ua与ub相差不大 故假设ua ub是可以的 假如遇到不能取ua ub的情况 这时可用下面的情况处理 再从1截面到任一截面 在1 2之间 列柏努利方程 则 Pa gz1 u12 2 Px gzx ux2 2u1 0 Px Pa gz1 gzx ux2 2 Pa gz1为定值 当gzx ux2 2为最大值时 Px Pmm显然细管中u最大 在细管最上端 gzx ux2 2可望达到最大 zx 0 5m ux d2 d1 2u2 36 20 2 4 43 14 35 m s Px Pa z1 zx g 2 ux2 1 013 105 1 0 5 1000 9 81 1000 2 14 352 3244 N m2 在该处将发生汽化现象