高中数学必修2课件全册(人教A版).ppt

必修二 第一章 1 1 1 3 1 2 空间几何体的结构 1 1 主要内容 1 1 1棱 锥 台 球的结构特征 1 1 2简单组合体的结构特征 空间几何体导入 空间几何体导入 奥运场馆 鸟巢 奥运场馆 水立方 世博场馆 中国馆 世博轴 演艺中心 观察下面的图片 这些图片中的物体具有什么几何结构特征 你能对它们进行分类吗 分类依据是什么 观察实例 思考共性 观察实例 思考共性 观察实例 思考共性 观察实例 思考共性 归类分析 归类分析 多面体 我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面相邻两个面的公共边叫做多面体的棱棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 多面体 面 面ADD1A1 面ABCD等 棱A1A 棱AB等 顶点A 顶点B等 棱 顶点 归类分析 归类分析 旋转体 一个矩形绕着它的一条边所在的一条直线旋转所成的封闭几何体叫做圆柱 这条定直线叫做圆柱的轴 我们把一个平面图形绕着它所在平面内的一条直线旋转所行成的封闭几何体叫做旋转体 这条定直线叫做旋转体的轴 探究问题 分别以直角三角形的不同的边所在的直线为轴旋转三角形得到的旋转体形状相同吗 如果不同请你画出来 结构特征 柱 锥 台 球 1 1 1 1 棱柱的结构特征 什么叫棱柱 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面围成的多面体叫做棱柱 底面 侧面 侧棱 顶点 记为 棱柱ABCDEF A B C D E F 棱柱的底面可以是三角形 四边形 五边形 把这样的棱柱分别叫做三棱柱 四棱柱 五棱柱 三棱柱 四棱柱 五棱柱 棱柱的分类 棱柱的表示 三棱柱ABC A B C 四棱柱ABCD A B C D 六棱柱ABCD A B C D E F 常见的棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正方体 你能举出关于棱柱的生活实例吗 2 棱锥的结构特征 什么是棱锥 一般地 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共点的三角形 由这些面围成的多面体叫做棱锥 符号表示 四棱锥S ABCD 棱锥的分类 常见的棱锥 三棱锥 四棱锥 五棱锥等 依据底面多边形的边数进行分类 底面是n边形的棱锥叫做n棱锥 你能举出关于棱柱的生活实例吗 思考 这两个几何体与棱锥有什么关系 S A B C D E O 3 棱台的结构特征 什么是棱台 一般地 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 底面和截面中间的部分的多面体叫做棱台 侧面 下底面 上底面 侧棱 顶点 四棱台ABCD A B C D 三棱台 棱台的应用 4 圆柱的结构特征 什么叫圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴 其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 底面 轴 侧面 母线 旋转轴叫做圆柱的轴 垂直于轴的边旋转而成的面叫圆柱的底面 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面 无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 棱柱和圆柱统称为柱体 5 圆锥的结构特征 什么叫圆锥 与圆柱一样 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴 其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 轴 底面 侧面 母线 旋转轴叫做圆锥的轴 垂直于轴的边旋转而成的面叫圆锥的底面 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面 无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线 探究圆锥的轴 底面 侧面 母线的定义 6 圆台的结构特征 什么是圆台 与棱台类似 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 底面和截面中间的部分的旋转体叫做棱台 上底面 侧面 轴 母线 下底面 探究 类比圆柱 圆锥 圆台可以看成由什么平面图形旋转得到 棱台和圆台统称为台体 7 球的结构特征 什么叫球 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体 简称球 球心 球的半径 棱柱 棱锥与棱台都是多面体 它们在结构上有哪些相同点和不同点 三者关系如何 当底面发生变化时 它们能否互相转化 圆柱 圆锥与圆台呢 探究 问题 侧面都是等边三角形的棱锥不可能是 A 三棱锥B 四棱锥C 五棱锥D 六棱锥 D 探究 小结 空间几何体的结构特征1 棱柱的结构特征2 棱锥的结构特征3 棱台的结构特征4 圆柱的结构特征5 圆锥的结构特征6 圆台的结构特征7 球的结构特征 作业 P8 p9习题1 11 2 简单组合体的结构特征 1 1 2 答 不一定是 如右图所示 不是棱柱 问题2 有两个面互相平行 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗 答 不一定是 如右图所示 不是棱柱 问题1 有两个面互相平行 其余各面都是四边形的几何体是棱柱吗 凸多面体和凹多面体 把多面体的任何一个面伸展为平面 如果所有其他各面都在这个平面的同侧 这样的多面体叫做凸多面体 正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 多面体 正多面体的展开图 简单组合体 现实世界中的物体表示的几何体 除柱体 锥体 台体和球体等简单几何体外 还有大量的几何体是是由简单几何体组合而成的 这些几何体叫做简单组合体 观察实物图形判断这些几何体是怎样由简单几何体组成的 探究 简单组合体的构成 一 由简单几何体拼接而成二 由简单几何体截取或挖去一部分而成 观察两个实物几何体 你能说出它们各由哪些简单几何体组合而成吗 1 2 世博轴的曲面是如何构成的 思考1 世博中国馆是外形如何构成的 思考2 课后思考题 观察本地标志性建筑思考其外观几何体是如何构成的 思考3 小结 凸多面体正多面体简单的组合体 作业 P7练习1 2 3P9习题1 1A3 4 5 空间几何体的三视图和直观图 1 2 主要内容 1 2 2空间几何体的三视图 1 2 3空间几何体的直观图 1 2 1中心投影与平行投影 中心投影与平行投影 1 2 1 投影 我们知道 光线是直线传播的 由于光的照射 在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子 这种现象叫做投影 其中 我们称光线叫投影线 把留下物体的屏幕叫做投影面 投影面 投影线 中心投影 定义把光由一点向外散射形成的投影 叫做中心投影 一个点光源把一个图形照射到一个平面上 这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影 中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多 但直观性强 看起来与人的视觉效果一致 最像原来的物体 所以在绘画时 经常使用这种方法 平行投影 定义我们把一束平行光线照射下形成的投影 叫做平行投影 平行投影的投影线是平行的 在平行投影中 投影线正对着投影面时 叫做正投影 否则叫做斜投影 斜投影 正投影 投影线斜对着投影面 投影面 光线 对比三种投影 a 中心投影 b 斜投影 c 正投影 平行投影 探究 问题1 一个三角形ABC在中心投影下 得到三角形A B C 问这两个三角形是否相似 为什么 问题2 一个三角形ABC在平行投影投影下 得到三角形A B C 问这两个三角形是否全等 为什么 小结 投影中心投影平行投影 空间几何体的三视图 1 2 2 三个互相垂直的投影面 视图 是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图 从左向右方向的投影线 从上到下方向的投影线 从前向后方向的投影线 三视图概念 三视图的形成 正视图 侧视图 俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影所得的投影图称为 俯视图 光线从几何体的前面向后面正投影所得的投影图称为 正视图 光线从几何体的左面向右面正投影所得的投影图称为 侧视图 三视图的平面位置 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图在平面图中的一般位置 正视图 侧视图 俯视图统称为三视图 三视图的关系 结论 1 一个几何体的正视图和侧视图的高度一样 2 正视图与俯视图的长度一样3 侧视图与俯视图宽度一样 正视图 侧视图 俯视图 定义 长 宽 高 长 宽 宽相等 长对正 高平齐 长 左 右方向的长度 宽 前 后方向的长度 高 上 下方向的长度 举例画出三视图 圆锥 正视图 侧视图 俯视图 正三棱锥 正视图 侧视图 俯视图 举例画出三视图 举例画出三视图 六棱柱 正视图 侧视图 俯视图 举例画出三视图 根据三视图想象其表示的几何体 根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征 圆台 俯视图 正视图 侧视图 根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征 正四棱台 正视图 侧视图 俯视图 简单组合体的三视图 知识小结 小结 三视图的概念三视图的形成三视图的平面位置三视图的关系三视图的举例简单组合体的三视图 作业 P15练习1 2 3 4P20 21习题1 21 2 3 1 2 3空间几何体的直观图 空间几何体的直观图 1 2 3 斜二测画法 问 正方体的每个面都是正方形 但在平面图中有几个面画成正方形 平行四边形 观察正方体的平面图 正方形的水平直观图 x y x y 水平直观图 1 水平方向线段长度不变 2 竖直方向的线段向右倾斜450 长度减半 3 平行线段仍然平行 变化规则 0 0 水平直观图 正三角形的水平直观图 M 0 水平直观图 直角梯形的水平直观图 A D x y 正六边形的水平直观图的画法 水平直观图 斜二测画法 定义 上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法 有如下步骤和规则 3 水平线段等长 竖直线段减半 2 与坐标轴平行的线段保持平行 1 在原图形中建立平面直角坐标系xoy 同时建立直观图坐标系 确定水平面 x y o 0 空间几何体的直观图 例1 画长 宽 高分别为4cm 3cm 2cm的长方体ABCD A B C D 的直观图 水平方向的矩形画成平行四边形的直观图竖直方向 z轴 的线段长度不变 斜二测画法 由几何体的三视图可以得到几何体的直观图 反思提高 思考题 如图 A B C 是水平放置的 ABC的直观图 则在 ABC的三边及中线AD中 最长的线段是 小结 正方形的水平直观图正三角形的水平直观图直角梯形的水平直观图正六边形的水平直观图斜二测画法长方体的直观图 作业 P19 20练习1 2 3 4 5P21习题1 2A 4 5B组1 2 3 空间几何体的表面积与体积 1 3 主要内容 1 3 2球的表面积和体积 1 3 1柱体 椎体 台体的表面积与体积 1 3 1 柱体 锥体 台体的表面积与体积 什么是面积 面积 平面图形所占平面的大小 S ab a b A a h B C a b h a b A r 圆心角为n0 r c 特殊平面图形的面积 正三角形的面积 正六边形的面积 正方形的面积 a a a 设长方体的长宽高分别为a b h 则其表面积为 多面体的表面积 正方体和长方体的表面积 长方体的表面展开图是六个矩形组成的平面图形 其表面是这六个矩形面积的和 S 2 ab ah bh 特别地 正方体的表面积为S 6a2 多面体的表面积 一般地 由于多面体是由多个平面围成的空间几何体 其表面积就是各个平面多边形的面积之和 棱柱的表面积 2 底面积 侧面积 棱锥的表面积 底面积 侧面积 侧面积是各个侧面面积之和 棱台的表面积 上底面积 下底面积 侧面积 多面体的表面积 例1 已知棱长为a 底面为正方形 各侧面均为等边三角形的四棱锥S ABCD 求它的表面积 解 四棱锥的底面积为a2 每个侧面都是边长为a的正三角形 所以棱锥的侧面积为 所以这个四棱锥的表面积为 旋转体的表面积 圆柱 一般地 对于圆柱 圆锥 圆台等旋转体 其底面是平面图形 圆形 其侧面多是曲面 需要按一定规则展开成平面图形进行面积的计算 最终得到这些几何体的表面积 圆柱的侧面展开图是一个矩形 底面是圆形 旋转体的表面积 圆锥 侧面展开图是一个扇形 底面是圆形 圆台 底面是圆形 侧面展开图是一个扇状环形 旋转体的表面积 旋转体的表面积 例2 一个圆台形花盆盆口直径为20cm 盆底直径为15cm 底部渗水圆孔直径为1 5cm 盆壁长15cm 为了美化花盆的外观 需要涂油漆 已知每平方米用100毫升油漆 涂100个这样的花盆需要多少油漆 精确到1毫升 解 由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积 所以涂100个花盆需油漆 0 1 100 100 1000 毫升 空间几何体的体积 体积 几何体所占空间的大小 长方体的体积 长 宽 高 正方体的体积 棱长3 棱柱和圆柱的体积 柱体的体积V Sh 底面积S 棱锥和圆锥的体积 A B C D E O S 底面积S 棱台和圆台的体积 例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5 8kg 铁的密度是7 8g cm3 已知螺帽的底面是正六边形 边长为12mm 内孔直径为10mm 高为10mm 问这堆螺帽大约有多少个 V 2956 mm3 2 956 cm3 5 8 100 7 8 2 956 252 个 解答 小结 常见平面图形的面积多面体的表面积和体积棱柱 棱锥 棱台的表面积和体积旋转体的表面积和体积圆柱 圆锥 圆台的表面积和体积 作业 P27练习1 2P28 29习题1 3A组1 2 3 4 5 6 球的体积和表面积 1 3 2 球的表面积 球 球的体积 球面距离 球的体积和表面积 设球的半径为R 则有体积公式和表面积公式 R 解 设球的半径为R 则圆柱的底面半径为R 高为2R 球的体积和表面积 例1如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 求证 1 球的体积等于圆柱体积的 2 球的表面积等于圆柱的侧面积 1 因为 2 因为 球的体积和表面积 例2 已知正方体的八个顶点都在球O的球面上 且正方体的棱长为a 求球O的表面积和体积 解答 正方体的一条对角线是球的一条直径 所以球的半径为 球的体积和表面积 例3已知A B C为球面上三点 AC BC 6 AB 4 球心O与 ABC的外心M的距离等于球半径的一半 求这个球的表面积和体积 球面距离 球面距离即球面上两点间的最短距离 是指经过这两点和球心的大圆的劣弧的长度 球心O A B 大圆圆弧 大圆劣弧的圆心角为 弧度 半径为R 则弧长为L R 球面距离 例4 已知地球的半径为R 在地球的赤道上经度差为1200的两点间距离 答案 作业 P28练习1 2 3P29 30习题B组1 2 3 第二章 2 1 2 3 2 2 2 1 空间点 直线 平面之间的位置关系 主要内容 2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 2 1 3空间中直线与平面之间的位置关系 2 1 1平面 2 1 1 平面 构成图形的基本元素 点 线 面 点无大小 线无粗细 面无厚薄 点 直线 平面 可无限延伸的 平面是可无限延展的 平面的表示 平面的画法 一般来说 常用正方形或长方形表示平面 如图一 在画立体图时 为了增强立体感 常常把平面画成平行四边形 如图二是按照斜二测画法得到的平面的水平直观图 图一 图二 平面的符号表示 1 希腊字母 平面 平面 平面 2 一个或几个拉丁字母 平面M 平面AC 平面ABCD等 A B C D 平面的表示 平面的表示 两个相交平面的画法和表示 平面 和平面 相交于一条直线a 被遮住的部分画虚线 平面 平面 直线a 平面的表示 直线和平面都可以看成点的集合 点P在直线l上 点A在平面 内 用集合符号表示点与直线 点与平面 直线与平面的关系 点P在直线l外 点A在平面 外 直线l在平面 内 或者说平面 经过直线l 直线l在平面 外 平面的基本性质 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 思考1 如何让一条直线在一个平面内 作用 为判断直线与平面的位置关系提供依据 集合符号表示 平面经过这条直线 平面的基本性质 公理2过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 思考2 经过两点可以确定一条直线 那么经过几个点可以确定一个平面呢 作用 判断几个点共面或直线在同一个平面内 集合符号表示 不共线的三点确定一个平面 已知A B C三点不共线 则存在惟一平面 使得A B C 平面的基本性质 思考3 如果两个平面有一个公共点 那么还会有其它公共点吗 如果有这些公共点有什么特征 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 作用 判断两个平面位置关系的基本依据 例题 例1如图 用符号表示下列图形中点 直线 平面之间的位置关系 解 1 A B l a A a B 2 a b l a l P b l P a b P 例2 已知直线a 和点P P a 求证经过点P和直线a有且只有一个平面 探究问题 根据公理1探究直线与平面的各种位置关系 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个平面的合理性 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系 小结 1 平面的表示 概念 图形 符号等2 平面的基本性质公理1公理2公理33 判断共面的方法 作业 P43练习1 2 34P51习题A组1 2 2 1 2 空间中直线与直线之间的位置关系 两条直线的位置关系 思考1 同一平面内两条直线有几种位置关系 空间中的两条直线呢 C 1 教室内日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何 2 天安门广场上 旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何 两条直线的位置关系 如图 长方体ABCD A B C D 中 线段A B所在直线分别与线段CD 所在直线 线段BC所在直线 线段CD所在直线的位置关系如何 观察 两条直线的位置关系 定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 异面直线的图示 两条直线的位置关系 A 空间中既不平行又不相交的两条直线 B 平面内的一条直线和这平面外的一条直线 C 分别在不同平面内的两条直线 D 不在同一个平面内的两条直线 E 不同在任何一个平面内的两条直线 关于异面直线的定义 你认为下列哪个说法最合适 问题 两条直线的位置关系 空间中的直线与直线之间有三种位置关系 不同在任何一个平面内 没有公共点 同一平面内 有且只有一个公共点 同一平面内 没有公共点 如图是一个正方体的表面展开图 如果将它还原为正方体 那么AB CD EF GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对 探究 直线EF和直线HG 直线AB和直线CD 直线AB和直线HG 答 3对 平行直线 如图 在长方体ABCD A B C D 中 BB AA DD AA 那么BB 与DD 平行吗 观察 答 平行 平行直线 公理4平行于同一直线的两条直线互相平行 空间中的平行线具有传递性 如果a b b c 那么a c 三条平行线共面 三条平行线不共面 平行直线 已知三条直线两两平行 任取两条直线能确定一个平面 问这三条直线能确定几个平面 三条平行线共面 三条平行线不共面 问题 平行直线 例2如图 空间四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 在上例中 如果再加上条件AC BD 那么四边形EFGH是什么图形 探究 答 四边形EFGH是菱形 等角定理 在平面上 我们容易证明 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 空间中 结论是否仍然成立 思考1 如图 四棱柱ABCD A B C D 的底面是平行四边形 ADC与 A D C ADC与 B A D 的两边分别对应平行 这两组角的大小关系如何 思考2 ADC A D C ADC B A D 1800 如图 在空间中AB A B AC A C 你能证明 BAC与 B A C 相等吗 思考3 等角定理 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同 那么这两个角相等 异面直线所成的角 思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角 常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系 这个角叫做两条直线的夹角 在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢 a 平面内两条相交直线 空间中两条异面直线 异面直线所成的角 已知两条异面直线a b 经过空间任一点O作直线 把与所成的锐角 或直角 叫做异面直线a与b所成的角 异面直线所成的角 我们规定两条平行直线的夹角为0 那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么 如果两条异面直线所成角为900 那么这两条直线垂直 探究 记直线a垂直于b为 a b 异面直线所成的角 探究 1 在长方体中 有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线 2 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直 那么 另一条直线是否也与这条直线垂直 3 垂直于同一条直线的两条直线是否平行 垂直 异面直线所成的角 例3已知正方体 1 哪些棱所在直线与直线是异面直线 2 直线和的夹角是多少 3 哪些棱所在的直线与直线垂直 解 1 由异面直线的定义可知 棱所在的直线分别与直线是异面直线 2 由可知 为 异面直线与的夹角 所以与的夹角为 在如图所示的长方体中 AB 且AA1 1 求直线BA1和CD所成角的度数 30O 练习1 如图 在四面体ABCD中 E F分别是棱AD BC上的点 且 已知AB CD 3 求异面直线AB和CD所成的角 练习2 n直线相交最多有几个交点 练习3 本节小结 1 空间直线的三种位置关系 2 平行线的传递性 3 等角定理 4 异面直线所成的角 基本知识 基本方法把空间中问题通过平移转化为平面问题 作业 P48练习1 2P51 52习题2 1A组3 4 1 2 3 6 5 6 B组1 2 1 3 空间中直线与平面之间的位置关系 主要内容 直线与平面的位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 直线与平面 思考 1 一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面 可能有几种关系 2 如图 线段A B所在直线与长方体ABCD A B C D 的六个面所在平面有几种位置关系 直线与平面 直线和平面的位置关系有且只有三种 1 直线在平面内 有无数个公共点 a 记为 a 直线与平面 2 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a 记为 a A A 直线与平面 3 直线与平面平行 没有公共点 a 记为 a 直线与平面 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 记为 a a a a a A A 或 直线与平面 例1 下列命题中正确的个数是 1 若直线l上有无数个点不在平面 内 则l 2 若直线l与平面 平行 则l与平面 内的任意一条直线都平行3 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行 那么另一条也与这个平面平行4 若直线l与平面 平行 则l与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A 0 B 1 C 2 D 3 B 主要内容 直线与平面的位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 作业 P49练习P51 53习题2 1A组4 4 5 B2 3 平面与平面之间的位置关系 2 1 4 平面与平面之间的位置关系 思考 1 拿出两本书 看作两个平面 上下 左右移动和翻转 它们之间的位置关系有几种 2 如图 围成长方体ABCD A B C D 的六个面 两两之间的位置关系有几种 两个平面的位置关系 两个平面的位置关系有且只有两种 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 分类的依据是什么 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 两个平面平行或相交的画法及表示 m m 已知平面 直线a b 且 a b 则直线a与直线b具有怎样的位置关系 探究1 a b 答 平行或异面 探究2 相交于一条交线 三条交线 三条交线 如果三个平面两两相交 那么它们的交线有多少条 画出图形表示你的结论 一个平面可以把空间分成几个部分 两个平面可以把空间分成几个部分 三个平面可以把空间分成几个部分 探究3 小结 平面与平面的位置关系平面与平面相交平面与平面平行 作业 P50练习P52习题2 1A组7 8 直线 平面平行的判定及其性质 2 2 主要内容 2 2 2平面与平面平行的判定 2 2 3直线与平面平行的性质 2 2 1直线与平面平行的判定 2 2 4平面与平面平行的性质 直线与平面平行的判定 2 2 1 1 直线在平面内 有无数个公共点 2 直线和平面相交 有且只有一个公共点 3 直线和平面平行 无公共点 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 直线和平面的位置关系 复习 直线和平面的三种位置关系的画法 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 若将一本书平放在桌面上 翻动书的封面 观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系 观察 如图 设直线b在平面 内 直线a在平面 外 猜想在什么条件下直线a与平面 平行 a b 思考 直线和平面平行 直线和平面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 判定定理 判定定理的证明 已知 求证 证明 所以经过a b确定一个平面 因为a 而a 所以 与 是两个不同的平面 所以 b 未完 因为b b 下面用反证法证明a与 没有公共点 判定定理的证明 假设a与 有公共点P 而 b 得P b 所以点P是a b的公共点 这与a b矛盾 所以a 例1求证 空间四边形相邻两边中点的连线 平行于经过另外两边的平面 已知 空间四边形中 分别是的中点 求证 平面 证明 连结 例2在长方体ABCD A1B1C1D1中 1 作出过直线AC且与直线BD1平行的截面 并说明理由 2 设E F分别是A1B和B1C的中点 求证直线EF 平面ABCD 直线与平面平行的判定定理可简述为 线线平行 则线面平行 小结 通过直线间的平行 推证直线与平面平行 即将直线与平面的平行关系 空间问题 转化为直线间的平行关系 平面问题 思想方法 作业 P55 56练习1 2P62习题2 2A组3 4 平面与平面平行的判定 2 2 2 思考1 我们知道 两个平面的位置关系是平行或相交 问 对于两个平面 你猜想在什么条件下可保证平面 与平面 平行 1 三角板的一条边所在直线与桌面平行 这个三角板所在平面与桌面平行吗 2 三角板的两条边所在直线分别与桌面平行 三角板所在平面与桌面平行吗 思考2 1 一般地 如果平面 内有一条直线平行于平面 那么平面 与平面 一定平行吗 2 如果平面 内有两条直线平行于平面 那么平面 与平面 一定平行吗 思考3 两个平面平行的判定 判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 平面平行的判定定理的证明 已知 在平面 内 有两条直线 相交且和平面 平行 求证 证明 用反证法证明 假设 同理 这与题设和是相交直线是矛盾的 例1已知 在正方体ABCD A B C D 中 求证 平面AB D 平面BC D 例题分析 例2在三棱锥P ABC中 点D E F分别是 PAB PBC PAC的重心 求证 平面DEF 平面ABC 直线 交与点 求证 平面 平面 练习 已知 小结 1 知识小结2 思想方法 面面平行 线线平行 线面平行 作业 P58练习1 2 3P62习题2 2A组7 8 直线与平面平行的性质 2 2 3 直线与平面平行的判定定理是什么 复习 定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 问 其逆定理是否成立 如果直线a与平面 平行 那么直线a与平面 内的直线有哪些位置关系 思考1 若直线a与平面 平行 那么在平面 内与直线a平行的直线有多少条 这些直线的位置关系如何 思考2 教室内日光灯管所在的直线与地面平行 如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行 思考3 性质定理及证明 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 已知 求证 证明 直线与平面平行 教室内日光灯管所在的直线与地面平行 如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行 问题解决 灯管 地面 例1在图中所示的一块木料中 棱BC平行于平面A C 1 要经过平面内的一点P和棱BC将木料据开 应怎样画线 2 所画的线和平面AC是什么位置关系 例2已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面 求证另一条也平行于这个平面 如图 已知直线a b和平面 a b a a b都在平面 外 求证 b 练习 如果三个平面两两相交 有三条交线 如果有两条交线平行 那么第三条交线和这两条交线的位置关系如何 三条交线两两平行 小结 直线与平面平行的性质定理可简述为 线面平行 则线线平行 思想方法 线面平行的性质定理不但提供了用线面平行来证明线线平行的方法 也提供了作平行线的一种方法 作业 P61 63习题2 2A组1 2 5 6 平面与平面平行的性质 2 2 4 复习1 两个平面的位置关系是 平行或相交 两个平面平行的判定 判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 复习2 若 则直线l与平面 的位置关系如何 思考1 两个平面平行的性质 结论1 如果两个平面平行 那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 若 直线l与平面 相交 那么直线l与平面 的位置关系如何 思考2 若 平面 分别与平面 相交于直线a b 那么直线a b的位置关系如何 为什么 思考3 a b 两个平面平行的性质定理 定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 即 这个定理判定两直线平行的依据之一 例1求证 夹在两个平行平面间的平行线段相等 例2在正方体ABCD A B C D 中 点M在CD 上 试判断直线MB 与平面BDA 的位置关系 并说明理由 例3如图 已知AB CD是夹在两个平行平面 之间的线段 M N分别为AB CD的中点 求证 MN 平面 练习1 相交于一条交线 三条交线两两平行 三条交线相交于一点 如果三个平面两两相交 那么它们的交线位置如何 一条斜线和两个平行平面相交 求证它和两个平面所成的角相等 应用举例 练习2 小结 知识小结几个结论和性质的应用思想方法 线面平行或线线平行 面面平行 作业 P61练习P63习题2 2B组2 3 4 直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 主要内容 2 3 2平面与平面垂直的判定 2 3 3直线与平面垂直的性质 2 3 1直线与平面垂直的判定 2 3 4平面与平面垂直的性质 直线与平面垂直的判定 2 3 1 直线和平面的位置关系 复习1 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 旗杆与地面的位置关系 观察 线面垂直 大桥的桥柱与水面的位置关系 思考1 直线和平面垂直 旗杆与地面中的直线的位置关系如何 将一本书打开直立在桌面上 观察书脊 想象成一条直线 与桌面的位置关系呈什么状态 此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何 思考2 思考3 一条直线与一平面垂直的特征是什么 特征 直线垂直于平面内的任意一条直线 直线和平面垂直 如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直 我们说直线l与平面 互相垂直 定义 平面的垂线 垂足 平面内任意一条直线 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线 那么这条直线是否与这个平面垂直 思考4 l 如图 准备一块三角形的纸片 做一个试验 过 ABC的顶点A翻折纸片 得到折痕AD 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 BD DC于桌面接触 1 折痕AD与桌面垂直吗 2 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面 垂直 探究 当且仅当折痕AD是BC边上的高时 AD所在直线与桌面所在平面 垂直 1 有人说 折痕AD所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直 就可以判断AD垂直平面 你同意他的说法吗 2 如图 由折痕 翻折之后垂直关系不变 由此你能得到什么结论 思考5 线面垂直的判定 判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直 例1 如图 已知 求证 根据直线与平面垂直的定义知 因为直线 例2已知 正方体中 AC是面对角线 BD 是与AC异面的体对角线 求证 AC BD 证明 连接BD因为正方体ABCD A B C D 所以DD 平面ABCD又因为所以因为AC BD为对角线所以AC BD因为DD BD D所以AC 平面D DB所以AC BD A B D C A B C D 例3在三棱锥P ABC中 PA 平面ABC AB BC PA AB D为PB的中点 求证 AD PC 如图 直四棱柱 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱 中 底面四边形满足什么条件时 答 底面四边形ABCD对角线相互垂直 探究 直线与平面垂直的判定定理可简述为 线线垂直 则线面垂直 小结 通过直线间的垂直 推证直线与平面垂直 即将直线与平面的垂直关系 空间问题 转化为直线间的垂直关系 平面问题 思想方法 前面讨论了直线与平面垂直的问题 那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢 问题提出 直线与平面所成的角 第2课时 线面角相关概念 P 斜线PA与平面 所成的角为 PAB l A 1 斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角 2 平面的垂线与平面所成的角为直角 3 一条直线与平面平行或在平面内 则这条直线与平面所成的角的00角 一条直线与平面所成的角的取值范围是 例1在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求直线A1B和平面ABCD所成的角 2 求直线A1B和平面A1B1CD所成的角 例2如图 AB为平面 的一条斜线 B为斜足 AO 平面 垂足为O 直线BC在平面 内 已知 ABC 60 OBC 45 求斜线AB和平面 所成的角 如图 BAD为斜线AB与平面 所成的角 AC为平面 内的一条直线 那么 BAD与 BAC的大小关系如何 BAD BAC E 解 作BO AD于O BE AC于E 则BD BEsin BAD sin BAC 思考1 o 两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何 反之成立吗 一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何 思考2 1 两条平行直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形 2 两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形 3 两条异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形 思考3 小结 1 直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量 线面垂直和线面平行是特殊情况 2 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角 3 求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影 作业 P67练习1 2 3 平面与平面垂直的判定 2 3 2 卫星轨道面 地球赤道面 概念 直线上的一点将直线分割成两部分 每一部分都叫做射线 平面上的一条直线将平面分割成两部分 每一部分叫半平面 概念 从一点出发的两条射线 构成平面角 同样 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 m 记为 二面角 m 记作 AOB A B O 二面角的图示 二面角的记号 1 以直线为棱 以为半平面的二面角记为 2 以直线AB为棱 以为半平面的二面角记为 A B 思考3 两个相交平面有几个二面角 如何用平面角来表示二面角的大小 探究 二面角 l 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角 AOB即为二面角 AB 的 注意 二面角的平面角必须满足 1 角的顶点在棱上 2 角的两边分别在两个面内 3 角的边都要垂直于二面角的棱 二面角的取值范围 0度角 180度角 00 1800 例1 在正方体中 找出二面角C1 AB C的平面角 并指出大小 端点 例2在正方体ABCD A1B1C1D1中 求二面角B1 AC B的正切值 例3如图所示 河堤斜面与水平面所成二面角为300 堤面上有一条直道CD 它与堤角的水平线AB的夹角为450 沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处 此时人升高了多少m 小结二面角的平面角的作法 1 定义法 根据定义作出来 2 作垂面 作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到 3 应用三垂线定理 应用三垂线定理或其逆定理作出来 o 平面与平面垂直的判定 第2课时 平面与平面垂直的判定 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 a A b 记为 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 a A 例1如图 O在平面 内 AB是 O的直径 PA C为圆周上不同于A B的任意一点 求证 平面PAC 平面PBC 证明 例2在四面体ABCD中 已知AC BD BAC CAD 45 BAD 60 求证 平面ABC 平面ACD 例3如图 四棱锥P ABCD的底面为矩形 PA 底面ABCD PA AD M为AB的中点 求证 平面PMC 平面PCD 请问哪些平面互相垂直的 为什么 探究 小结 1 知识小结1 二面角及其平面角2 两个平面互相垂直2 思想方法 面面垂直 线线垂直 线面垂直 作业 P69练习P73习题2 3A 1 2 3 4 直线与平面垂直的性质 2 3 3 直线与平面垂直的判定定理是什么 复习 直线与平面垂直的定义是什么 a a 思考1 如图 长方体ABCD A1B1C1D1中 棱AA1 BB1 CC1 DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何 它们彼此之间具有什么位置关系 思考2 如果直线a b都垂直于同一条直线l 那么直线a b的位置关系如何 相交 平行 异面 思考3 如果直线a b都垂直于平面 那么a与b一定平行吗 垂直于同一个平面的两条直线平行 直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直 c 性质定理的证明 反证法证明 例1如图 已知于点A 于点B 求证 小结 直线与平面垂直的性质定理可简述为 线面垂直 则线线平行 思想方法 线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行的方法 也提供了作平行线的一种方法 线面垂直 则线线垂直 作业 P71练习1 2P73习题2 3A组 5 6 B组1 2 平面与平面垂直的性质 2 3 4 复习1 l l 两个平面相互垂直 三个平面两两垂直 两个平面垂直的判定 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面互相垂直 复习2 1 黑板所在平面与地面所在平面垂直 在黑板上是否存在直线与地面垂直 若存在 怎样画线 思考 思考 2 如图 长方体ABCD A1B1C1D1中 平面A1ADD1与平面ABCD垂直 其交线为AD 直线A1A D1D都在平面A1ADD1内 且都与交线AD垂直 这两条直线与平面ABCD垂直吗 思考 两个平面垂直的性质 性质定理 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 面面垂直 线面垂直 a A l 若 过平面 内一点A作平面 的垂线a 那么垂线a与平面 具有什么样的位置关系 思考 反证法证明点B在两个平面的交线上 注意 过一点只能作一条直线垂直于已知平面 结论 如果两个平面互相垂直 那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线 必在这个平面内 例1 如图 已知 a a 试判断直线l与平面 的位置关系 并说明理由 A b a l 例2如图 四棱锥P ABCD的底面是矩形 AB 2 侧面PAB是等边三角形 且侧面PAB 底面ABCD 1 证明 侧面PAB 侧面PBC 2 求侧棱PC与底面ABCD所成的角 对于三个平面 如果 l 那么直线l与平面 的位置关系如何 为什么 探究 解答 在 内分别作平面的垂线a b 则a l b l a与b必相交 所以l 小结 知识小结几个结论和性质的应用思想方法 线面垂直或线线垂直 面面垂直 P73练习 1 2 P73习题2 3A组 7 8 9P74习题2 3B组 3 4 作业 第三章 3 1 3 3 3 2 3 1 直线的倾斜角和斜率 主要内容 3 1 2两条直线平行与垂直的判定 3 1 1倾斜角与斜率 3 1 1 倾斜角与斜率 倾斜角与斜率 思考 对于平面直角坐标系内的一条直线l 它的位置由哪些条件确定呢 两点确定一条直线 还有其他方法吗 或者说如果只给出一点 要确定这条直线还应增加什么条件 在直角坐标系中 图中的四条红色直线在位置上有什么联系和区别 经过同一点倾斜程度不同 倾斜角与斜率 直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时 我们取x轴作为基准 x轴正向与直线l向上方向所成的角 叫做直线l的倾斜角 l1 l2 l3 l4 l1的倾斜角为锐角 l2的倾斜角为直角 l3的倾斜角为钝角 规定 当直线与x轴平行或重合时 它的倾斜角为0o 0o 180o 平面直角坐标系内 任何一条直线都有倾斜角 倾斜角表示平面坐标系内一条直线的倾斜程度 事实 问 不同的直线其倾斜角一定不相同吗 在平面直角坐标系中 已知直线上一点不能确定一条直线的位置 同样已知直线的倾斜角 也不能确定一条直线的位置 已知直线上一点和其倾斜角可以惟一确定一条直线 一次函数的图象是直线 在坐标系中画出这两条直线 并求这两条直线的倾斜角分别是多少 取点A 1 1 B 1 0 取点C 1 D 1 0 AOB 450 COD 600 实践 取点A 1 2 B 1 0 C 1 0 ACB 450 下列各图中标出的角 是直线的倾斜角吗 一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率 斜率通常用k表示 即 直线的斜率 思考 日常生活中 还有没有表示倾斜程度的量呢 前进 升高 当时 k随增大而增大 且k 当时 k随增大而增大 且k 注意 关于直线的倾斜角和斜率 其中 说法是正确的 A 任一条直线都有倾斜角 也都有斜率 B 直线的倾斜角越大 它的斜率就越大 C 平行于x轴的直线的倾斜角是0或 D 两直线的斜率相等 它们的倾斜角相等E 直线斜率的范围是 F 一定点和一倾斜角可以唯一确定一条直线 DEF 1 当倾斜角 0o 30o 45o 60o时 这条直线的斜率分别等于多少 2 当倾斜角 120o 135o 150o时 这条直线的斜率分别等于多少 例子 3 当直线的倾斜角在什么范围时 其斜率k 0 当直线的倾斜角在什么范围时 其斜率k 0 倾斜角为锐角时 k 0 倾斜角为钝角时 k 0 倾斜角为0o时 k 0 问题 5 结合图形 观察倾斜角变化时 斜率的变化情况 经过两点 且的直线的斜率k 探究 当直线的方向向上时 x y o 1 斜率公式 公式的特点 1 与两点的顺序无关 2 公式表明 直线的斜率可以通过直线上任意两 3 当x1 x2时 公式不适用 此时 90o 点的坐标来表示 而不需要求出直线的倾斜角 经过两点的直线的斜率公式 1 当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时 用上述公式求斜率 2 当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时 上述公式还适用吗 为什么 特殊问题 由y1 y2 得k 0 由x1 x2 分母为零 斜率k不存在 例1 如图 已知A 4 2 B 8 2 C 0 2 求直线AB BC CA的斜率 并判断这些直线的倾斜角是什么角 直线AB的斜率 直线BC的斜率 直线CA的斜率 直线CA的倾斜角为锐角 直线BC的倾斜角为钝角 解 直线AB的倾斜角为零度角 例3在平面直角坐标系中 画出经过原点且斜率分别为1 1 2及 3的直线l1 l2 l3及l4 思考 斜率随倾斜角逐渐变大是怎样的变化 例2 已知点A 3 2 B 4 1 C 0 l 求直线AB BC CA的斜率 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角 2 过点C的直线与线段 有公共点 求的斜率k的取值范围 例5 已知点 1 求直线AB BC CA的斜率 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角 锐角 钝角 锐角 一半 舍 例6 已知直线 的斜率为 直线的倾斜角是直线 的倾斜角的两倍 求直线的斜率 错解 1直线倾斜角的概念 2直线的倾斜角与斜率的对应关系 3已知两点坐标 如何求直线的斜率 斜率公式中脚标1和2有顺序吗 小结 P86练习 1 2 3 4 P89习题3 1A组 1 2 3 4 5 作业 x y o 3 1 2 两条直线的平行与垂直的判定 在平面直角坐标系下 倾斜角可以表示直线的倾斜程度 斜率也可以表示直线相对于x轴的倾斜程度 我们能否通过直线斜率来判断两条直线的位置关系 思考 o y x l1 l2 设两条直线l1 l2的斜率分别为k1 k2 若l1 l2 则k1 k2满足什么关系 思考 k tan 反之 若k1 k2 则易得l1 l2 对于两条不重合的直线 平行的充要条件 两条直线平行的条件 如果两直线垂直 这两条直线的倾斜角有什么关系 斜率呢 思考 如图 设直线l1与l2的倾斜角分别为 1与 2 且 1 2 因为l1 l2 所以 2 90o 1 当k1 k2 1时 直线l1与l2一定垂直吗 探究 是 对于两条互相垂直的直线l1和l2 若一条直线的斜率不存在 那么另一条直线的斜率如何 对于直线l1和l2 其斜率分别为k1 k2 根据上述分析可得什么结论 两条直线的垂直判定 例1下列说法正确的是 若两条直线斜率相等 则两直线平行 若l1 l2 则k1 k2 若两条直线中有一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率存在 则两直线相交 若两条直线的斜率都不存在 则两直线平行 例2已知A B C D四点的坐标 试判断直线AB与CD的位置关系 1 A 2 3 B 4 0 C 3 l D l 2 2 A 6 0 B 3 6 C 0 3 D 6 6 3 A 6 0 B 3 6 C 0 3 D 6 6 4 A 3 4 B 3 100 C 10 40 D 10 40 例4 已知A 2 3 B 4 0 P 3 1 Q 1 2 试判断直线BA与PQ的位置关系 并证明你的结论 例3 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A 0 0 B 2 1 C 4 2 D 2 3 试判断四边形ABCD的形状 并给出证明 例5已知过A 2 m 和B m 4 的直线与斜率为 2的直线平行 则m的值是 A 8B 0C 2D 10 例6 已知A 6 0 B 3 6 P 0 3 Q 6 6 判断直线AB与PQ的位置关系 例7已知A 5 1 B 1 1 C 2 3 试判断 ABC的形状 例8已知点A m 1 B 3 4 C 1 m D 1 m 1 分别在下列条件下求实数m的值 1 直线AB与CD平行 2 直线AB与CD垂直 1 下列命题中正确命题的个数是 若两条直线的斜率相等 则这两条直线平行 若两条直线平行 则这两条直线的斜率相等 若两直线垂直 则这两条直线的斜率之积为 1 若两条直线平行 则这两条直线的倾斜角相等 若两直线的斜率不存在 则这两条直线平行 A 1 B 2 C 3 D 4 A B 3 直线l平行于经过两点A 4 1 B 0 3 的直线 则 直线的倾斜角为 D A 30 B 45 C 120 D 135 4 原点在直线l上的射影是P 2 1 则l的斜率为 2 练习 重难点2 两条直线垂直 1 当l1 l2时 它们的斜率之间的关系有两种情况 它们的斜率都存在且k1k2 1 一条直线的斜率不存在 而另一条直线的斜率为0 2 使用l1 l2 k1k2 1的前提是l1和l2都有斜率且不等于0 注意 在立体几何中 两直线的位置关系有平行 相交和异面 没有重合关系 而在本章中 在同一平面内 两直线有重合 平行 相交三种位置关系 两条直线平行的判定 例1 已知直线l1过点A 3 a B a 1 4 直线l2过点C 1 2 D 2 a 2 1 若l1 l2 求a的值 2 若l1 l2 求a的值 思维突破 由C D两点的横坐标可知l2的斜率一定存在 由A B两点的横坐标可知l1的斜率可能存在也可能不存在 因此应对a的取值进行讨论 判断两条直线平行 或垂直 并寻求平行 或垂直 的条件时 特别注意结论成立的前提条件 对特殊情形要数形结合作出判断 变式训练 试确定m的值 使过点A m 1 0 和点B 5 m 的直线与过点C 4 3 和点D 0 5 的直线平行 两条直线垂直的判定例2 已知A 1 1 B 2 2 C 4 1 求点D 使直线AB CD且直线AD BC 变式训练 已知三点A m 1 2 B 1 1 C 3 m2 m 1 若AB BC 求m的值 断四边形ABCD是否为梯形 如果是梯形 是否是直角梯形 平行和垂直关系的综合应用 从而直线BC与DA不平行 四边形ABCD是梯形 1 判断一个四边形为梯形 需要两个条件 有一对相互平行的边 另有一对不平行的边 2 判断一个四边形为直角梯形 首先需要判断它是一个梯形 然后证明它有一个角为直角 注意陷阱 在直角 ABC中 C是直角 A 1 3 B 4 2 点C在坐标轴上 求点C的坐标 错因剖析 没有分类讨论 主观认为点C在x轴上导致漏解 变式训练 已知点A 2 5 B 6 6 点P在y轴上 且 APB 90 试求点P的坐标 1 两条直线平行的判定 2 两条直线垂直的判定 3 思想方法 倾斜角 平行是几何概念 坐标 斜率是代数概念 解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题