用待定系数法求二次函数的解析式(作课).ppt

22 1 4用待定系数法求二次函数的解析式 学习目标 1 通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究 掌握求解析式的方法 2 能灵活地根据条件恰当地选取解析式 体会二次函数解析式之间的转化 学习重点 用待定系数法求二次函数解析式 学习难点 灵活地根据条件恰当地选取解析式 回顾 用待定系数法求解析式 已知一次函数经过点 1 3 和 2 12 求这个一次函数的解析式 解 设这个一次函数的解析式为y kx b k 0 因为一次函数经过点 1 3 和 2 12 所以 k b 3 2k b 12 解得k 3 b 6 一次函数的解析式为y 3x 6 设出函数的解析式 根据所给条件 将已知点坐标代入函数解析式中 得到关于解析式中待定系数的方程 组 解此方程或方程组 求待定系数 将求出的待定系数还原到解析式中 思考 二次函数解析式有哪几种表达式 一般式 y ax2 bx c 顶点式 y a x h 2 k 交点式 y a x x1 x x2 求二次函数y ax2 bx c的解析式 关键是求出待定系数a b c的值 由已知条件 如二次函数图像上三个点的坐标 列出关于a b c的方程组 并求出a b c 就可以写出二次函数的解析式 一般式y ax2 bx c a b c为常数 a 0 思考 二次函数y ax2 bx c的解析式中有几个待定系数 需要图象上的几个点才能求出来 例1已知一个二次函数的图象过点 1 10 1 4 2 7 三点 求这个函数的解析式 解 设所求的二次函数为y ax2 bx c a 0 由条件得 a b c 10a b c 44a 2b c 7 解方程组得 a 2 b 3 c 5 因此 所求二次函数是 y 2x2 3x 5 变式1 已知关于x的二次函数 当x 1时 函数值为10 当x 1时 函数值为4 当x 2时 函数值为7 求这个二次函数的解析试 设 代 解 还原 顶点式y a x h 2 k a h k为常数 a 0 若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时 通过设函数的解析式为顶点式y a x h 2 k 特别地 当抛物线的顶点为原点时 h 0 k 0 可设函数的解析式为当抛物线的对称轴为y轴时 h 0 可设函数的解析式为当抛物线的顶点在x轴上时 k 0 可设函数的解析式为 思考 二次函数y a x h 2 k的解析式中有几个待定系数 需要知道图象上的几个点才能求出来 如果知道图象上的顶点坐标为A 1 1 和点B 2 1 两个点能求出它的解析式吗 y ax2 y ax2 k y a x h 2 例2 已知抛物线的顶点是 1 2 且过点 2 3 求出对应的二次函数解析式 变式2 已知二次函数的图象经过点 4 3 并且当x 3时有最大值4 求出对应的二次函数解析式 又过点 2 3 a 2 1 2 2 3 a 1 解 设所求的二次函数为y a x h 2 k a 0 顶点是 1 2 y a x 1 2 2 y x 1 2 2 即y x2 2x 3 已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时 通常设为顶点式 已知条件中的当x 3时有最大值4也就是抛物线的顶点坐标为 3 4 所以设为顶点式较方便 y 7 x 3 2 4即y 7x2 42x 59 解 设所求的二次函数为 已知一个二次函数的图象过点 0 3 4 5 对称轴为直线x 1 求这个函数的解析式 变式 3 y a x 1 2 k 思考 怎样设二次函数关系式 交点式y a x x1 x x2 a x1 x2为常数a 0 当抛物线与x轴有两个交点为 x1 0 x2 0 时 二次函数y ax2 bx c可以转化为交点式y a x x1 x x2 因此当抛物线与x轴有两个交点为 x1 0 x2 0 时 可设函数的解析式为y a x x1 x x2 再把另一个点的坐标代入其中 即可解得a 求出抛物线的解析式 例3 已知抛物线与x轴两交点横坐标为1 3且图像过 0 3 求出对应的二次函数解析式 解 设所求的二次函数为y a x x1 x x2 已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时 通常设为交点式 两根式 由抛物线与x轴两交点横坐标为1 3 y a x 1 x 3 又过 0 3 a 0 1 0 3 3 a 1 y x 1 x 3 即y x2 4x 3 练习 已知二次函数y ax2 bx c的图象过A 0 5 B 5 0 两点 它的对称轴为直线x 2 那么这个二次函数的解析式是 分析 因为抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称 又B 5 0 关于直线x 2的对称点坐标为 1 0 所以可以设为交点式 类似例3求解 当然也可以按一般式求解 y x 5 x 1 即y x2 4x 5 课堂小结 求二次函数解析式的一般方法 已知图象上三点或三组对应值 通常选择 已知图象的顶点坐标或对称轴或最值通常选择 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1 x2 或与X轴的一交点坐标与对称轴通常选择 y x 确定二次函数的解析式时 应该根据条件的特点 恰当地选用一种函数表达式 一般式y ax2 bx c 顶点式y a x h 2 k 交点式 两根式 y a x x1 x x2 1 求经过有三点A 2 3 B 1 0 C 2 5 的二次函数的解析式 2 已知抛物线的顶点为D 1 4 又经过点C 2 5 求其解析式 顶点式 交点式 3 已知抛物线与x轴的两个交点为A 3 0 B 1 0 又经过点C 2 5 求其解析式 一般式 二次函数图象如图所示 直接写出点的坐标 2 求这个二次函数的解析式 变式4 C A B 4 已知抛物线对称轴为x 2 且经过点 1 4 和 5 0 求该二次函数解析式 5 已知抛物线的顶点为A 1 4 又知它与x轴的两个交点B C间的距离为4 求其解析式 充分利用条件合理选用以上三式 6 抛物线与x轴的一个交点坐标是 1 0 且当x 1时 函数有最大值为4 求此函数解析式 7 抛物线与x轴的一个交点坐标是 1 0 对称轴为直线x 1 抛物线顶点到x轴的距离为4 求此函数解析式 02 20 一 一般式1 已知一个二次函数图象经过 1 10 2 7 和 1 4 三点 那么这个函数的解析式是 2 已知一个二次函数的图象经过 1 8 1 2 2 5 三点 求这个函数的解析式 二 顶点式1 已知抛物线y ax2 bx c的顶点是A 1 4 且经过点 1 2 求其解析式 2 已知抛物线的顶点为 2 3 且过点 1 4 求这个函数的解析式 应用 例4有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 解 设抛物线的解析式为y ax2 bx c 根据题意可知抛物线经过 0 0 20 16 和 40 0 三点 可得方程组 通过利用给定的条件列出a b c的三元一次方程组 求出a b c的值 从而确定函数的解析式 过程较繁杂 评价 设抛物线为y a x 20 2 16 解 根据题意可知 点 0 0 在抛物线上 通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解 方法比较灵活 评价 所求抛物线解析式为 例4有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 应用 设抛物线为y ax x 40 解 根据题意可知 点 20 16 在抛物线上 选用两根式求解 方法灵活巧妙 过程也较简捷 评价 例4有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 应用 课堂练习 课堂小结 求二次函数解析式的一般方法 已知图象上三点或三组对应值 通常选择一般式 已知图象的顶点坐标 对称轴 最值和另一个点的坐标通常选择顶点式 已知图象与x轴的两个交点的横x1 x2和另一个点的坐标通常选择交点式 确定二次函数的解析式时 应该根据条件的特点 恰当地选用一种函数表达式 作业 课本P15习题26 1第9题 1 第10题