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0 第四章因素模型与套利定价理论 谭松涛中国人民大学财政金融学院 2017年6月 回顾 CAPM模型从经济含义角度的推导Beta的含义证券市场线 与CAL CML的比较 Zero BetaCAPM与多要素CAPM 了解 1 第一节 因素模型 2 单因素模型的提出 在估算中计算量最大的部分是协方差的计算经验表明 股票收益之间的协方差一般是正的 这是因为 相同的经济力量会影响着许多公司的命运 例如 经济周期利率技术进步劳动力成本原材料 如果这些变量发生了非预期的变化 则整个股票市场的收益率也会相应地发生非预期变化 3 单因素模型的提出 如果我们能够把所有公司外部的因素组成一个宏观经济指示器 假定它影响整个证券市场 同时 我们进一步假定除了这个通常的影响之外 股票收益的所有剩余的不确定性都是公司特有的 这就意味着 证券之间的相关性除了通常的经济因素之外 没有其他来源了 4 单因素模型的提出 而内部特有的因素对公司股价的影响的期望值是零 即随着投资的分散化 这类因素的影响是逐渐减少的 在上述假设下 Sharpe提出了单因素模型在这一模型中 是证券持有期期初的期望收益 是在证券持有期间非预期的宏观事件对证券收益的影响 是非预期的公司特有事件的影响 其中 和的期望值都为零 原因就在于他们都是非预期事件的影响 根据定义其平均值必然为零 这样以来 我们就简要地将宏观经济因素与公司特有因素区分开来 5 单因素模型的提出 我们还可以得出进一步的结论 即不同企业对宏观经济事件有不同的敏感度 因此 如果我们记宏观因素的不可预测成分为F 记证券i对宏观经济事件的敏感度为 则证券i受宏观因素的影响为 这样以来 1 式就变为 该式被称为股票收益的单因素模型 6 单指数模型的提出 然而 上述模型中存在一个问题 那就是影响股票价格的宏观因素是不确定的 而且各宏观因素的权重也无法确定 为了解决这一问题 Sharpe采用一个股票指数代替单因素模型中的宏观影响因素 这就有了单指数模型 股票收益公式为 7 单指数模型的意义 减少了估算工作量 股票i的收益率的方差为 非系统风险独立于系统风险 因此和的协方差为0 是每个公司特有的 它们之间不相关 而两个股票超额收益率与的协方差 都与市场因素有关 所以 与的协方差为 8 单指数模型的意义 现在需要的估算量为 n个期望超额收益的估计 n个公司的估计 n个公司特有方差的估计和1个宏观经济因素的方差的估计 现在的估算量是3n 1 再看沪深1400种股票的例子 现在只需要估算4201个数据了 9 单指数模型的几何表达 证券特征线 单指数模型可以表达为一条截距为 斜率为的斜线 坐标系的横轴为市场超额收益 纵轴为股票i的超额收益 实际中 这条斜线要利用具体数据回归得出 称作证券特征线 10 单指数模型与CAPM模型的关系 按单指数模型 股票i的收益与市场指数收益之间的协方差公式为上式所以成立 是因为由于是常数 它与所有变量的协方差都是零 且由于公司特有的非系统风险独立于系统风险 因此由此可推导出 11 单指数模型与CAPM模型的关系 在CAPM模型中 我们同样有成立 因此 单指数模型与CAPM模型的贝塔含义是相同的 CAPM模型是单指数模型的一个特例 我们对两边取期望 有与CAPM模型相比较 可以发现 CAPM模型是所有股票阿尔法的期望值为零的取期望的单指数模型 12 单指数模型的局限性 这一模型将股票收益的不确定性简单地分为系统风险与非系统风险两部分 这与真实世界的不确定性来源是有距离的 譬如 它没有考虑行业事件 而行业事件是影响行业内许多公司 但又不会影响整个宏观经济的一些事件 13 多因素模型 多因素模型的提出系统风险包括多种因素不同的因素对不同的股票的影响力是不同的两因素分析模型假定两个系统风险是经济周期 GDP 和利率 IR 的不确定性 单指数模型扩展成了两因素模型 例如 假定经济中有两个公司 一个是由政府定价的天燃气供应公司 一个是五星级酒店 前者对GDP较不敏感 但是对利率很敏感 后者对GDP很敏感 对利率较不敏感 这时只有两因素模型才可能较好地作出恰当的分析 单指数模型会显得较无力 14 多因素模型 实际上影响股票收益的因素还不止两个 Fama 3 高市场比率股票比低市场比率股票多的资产组合收益 即 15 多因素模型 Chen RollandRoss 1986 JB 的5因素模型提出的影响股票收益的5因素为行业生产增长率IP 预期的通货膨胀率EI 非预期的通货膨胀率UI 长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG长期政府债券对短期国库券的超额收益GB 16 第二节 套利 17 套利 套利粗略地讲就是指投资者以零投资 在不承担任何风险的情况下 获取正收益的投资行为 套利机会可以分为两类 第一类套利是指投资组合在期初有严格负的价格 但是却能在未来提供非负的收益 第二类套利是指投资组合在期初的价格为零 但是在未来却能获得非负且不等于零的收益 18 套利 套利的一个简单例子假设IBM的股票既在纽约证券交易所交易 又在纳斯达克交易 如果 在纽约交易所IBM的股票卖60美元 在纳斯达克卖58美元 那么 你就可以同时在纳斯达克买进股票 在纽约卖出股票 这样 在没有资金投入的情况下 你就可以获得每股2美元的收益 19 不同证券之间的套利机会 例 设有A B C D四支股票 它们所面临的宏观经济形势有四种可能 各股票在四种宏观经济形势下的收益率状况及各种宏观经济形势出现的概率如下表所示 20 不同证券之间的套利机会 不同证券的价格如下 21 不同证券之间的套利机会 不同证券之间的套利机会将股票A B C按等权重构成投资组合T 将投资组合T的可能未来收益率与股票D的可能未来收益率对比 22 在任何一种宏观环境出现时 投资组合T的收益率都高于股票D 不同证券之间的套利机会 零投资组合的收益状态 23 卖空D 无论投资者多厌恶风险 都会利用这种优势进行套利 套利的几何意义 以两个证券的市场为例 从几何形态上对套利进行解释 假设市场中存在两个证券1和2 它们在期初的价格分别为p1和p2 在两个证券构成的平面内 该价格就对应着平面内的一点 24 如果该平面同时表示投资者在两个证券的投资金额 那么 很容易就可以得知 在通过原点并与价格向量OP相垂直 正交 的直线OQ上的点代表的都是价格等于零的投资组合 该直线右侧的点代表都是价格水平大于零的投资组合 该直线左侧的点代表都是价格水平小于零的投资组合 套利的几何意义 另一方面 我们假设期末时可能发生的经济状况有三种 在每种经济状况下 两个证券的收益组合如图 25 如果该平面同时表示投资者在两个证券上的投资金额 那么 过原点与向量垂直的直线OA的右侧对应的点代表所有在第一种状态下获得正收益的投资组合 套利的几何意义 对应着每个状态我们都能画出一条垂线 所有垂线右侧区域相交的部分就对应着在三种状态下收益均大于零的投资组合 折线AOB上的点则对应着在某些状态下收益为零 某些状态下收益为正的投资组合 AOB之外区域上的点所对应的投资组合总会在某些状态下出现负的收益 将以上两个图合并成一张图 给定每个证券在未来不同状态下的收益 当价格向量的方向发生变化时 阴影区域与扇形区域的相对位置就可能出现三种可能 26 套利的几何意义 一是OQ的阴影部分与AOB的扇形部分除原点之外没有重合的区域 这意味着如果一个投资组合在未来每种状态下的收益都是严格大于零的 那么该投资组合的价格水平也必然大于零 换句话说 此时市场不存在套利机会 27 套利的几何意义 第二种情况是阴影区域的边界OQ与扇形区域在OA或者OB上重合 而且 除了这部分之外 二者之间没有其他交点 在这种情况下 射线OA上的点对应的投资组合价格等于零 而且在第一种状态收益等于零 在其他两种状态下收益大于零 这意味着在这种定价水平下 市场中存在第二类套利机会 28 套利的几何意义 第三种情况是阴影区域与扇形区域有重叠的情形 此时在重叠区域内的任意一点所对应的投资组合都有严格负的价格 而且在未来三种状态下都能获得正的收益 这说明市场在此时存在强套利机会 29 一价定律 价格的正定性与无套利 一价定律 LawofOnePrice 是指对于任意两个投资组合 如果它们在未来每种状态下的收益都是相同的 那么这两个投资组合在当前的价格也应该相等 一价定律意味着零收益的证券其价格也必定等于零 如果这一条件不成立 那么市场中零收益的证券就可以具有任意的价格 如果我们将价格函数q 定义在资产的未来收益z上价格函数是严格正定的 StrictlyPositive 就是说任给一个严格大于零的收益 该收益对应的证券组合的价格都要大于零 30 一价定律 价格的正定性与无套利 定理当价格函数同时满足一价定律和严格正定性的时候 市场是无套利的 反之亦然 证明 略 31 套利与均衡 套利与均衡的关系通过前面的分析可以看出 当套利机会出现时 投资者就会通过低买高卖赚取差价收益 这时 使套利机会存在的那些证券的定价是不合理的 因此市场上对这些证券的需求与供给就处于非均衡状态 其价格就为非均衡价格 随着套利的进行 这些证券的价格会随供需的变化而发生上升或下跌 当达到某种水平使套利机会不再存在时 套利者的套利行为就会终止 市场将处于均衡状态 各种证券的定价就处于合理水平 此时 市场不存在任何套利机会 这就是套利与均衡的关系 它是资本市场理论的一个基本论点 32 第三节 长期资本管理公司案例 33 长期资本管理公司 债券交易当期债券与非当期债券房屋抵押证券欧洲货币一体化意大利国债收益率曲线公司债信用利差股权交易沽空隐含波动率员工认股权证标普500备选股 34 当期债券与非当期债券 30年政府债券风险小 收益高 投资人喜欢持有财政部每半年发行一次30年期政府债券新债发行后 前一期30年债券 剩余期限29 5年 被称为非当期债券 off the run 新发行债券被称为当期债券 on the run 非当期债券放入保险箱 当期债券才具有流动性非当期债券流动性差 市场给予流动性补偿 35 当期债券与非当期债券 1994年发行半年的30年期非当期政府债券收益率为7 36 30年期当期政府债券收益率为7 24 LTCM认为 政府不可能为非当期债券多付利息LTCM交易策略 买入10亿美元非当期债券把非当期债券借给金融机构取得现金 回购融资用取得的现金对借来的当期债券进行担保 杠杆 不需要30年 新的债券发行 利差就会缩小 36 房屋抵押债券 银行将房主偿还的抵押贷款进行剥离仅付利息证券 Interest onlysecurities IOs 仅付本金证券 Principal onlysecurities POs 如果市场利率下降 比较多的人转贷 还贷款的钱中主要是还本金而不是还利息 如此 IOs的现金流下降 价格下跌 POs的现金流上升 价格上升 如果市场利率上涨 比较少的人转贷 还贷的钱主要是还利息 IOs价格上升 POs价格下降 37 房屋抵押债券 1993年 LTCM尚在募集 贷款利率跌破7 IOs暴跌LTCM成立后 他们认为 当时的IOs价格相对过低 相当于100 房主全部转贷才会出现这种价格 而当时只有40 的房主转贷 LTCM交易策略 1994年买入20亿美元的仅付利息证券IOs如果利率上升 转贷减少 IOs上升如果利率下降 转贷增加 IOs下降不猜测利率方向 买进国库券进行对冲 38 欧洲货币一体化 欧元推出之前 欧洲各国国债利率不一 意大利 西班牙等国国债价格低 收益率高 德国国债价格高 收益率低 如果这些国家加入欧元区 货币统一 即便债券发行人的信用不同 货币相同也将大幅消除货币风险 这样的话 欧洲各国国债利差将缩小 交易 持有意大利 希腊等国政府债券沽空德国政府债券 39 意大利国债 在LTCM成立的时候 意大利政局不稳 执政党政权岌岌可危 而如果反对党上台 似乎要推翻大部分的经济政策 受此影响 意大利国债利率高出德国国债8个百分点意大利国债利率甚至比互换合约的固定利率还高这意味着 政府的债信比民间机构还高 LTCM交易策略买进意大利国债买进固定利率互换合约卖出浮动利率 40 意大利国债 现金流 买进固定利率互换合约 以固定利率付现 以浮动利率收现 卖出浮动利率 以浮动利率付现 买进意大利国债 以固定利率收现 比互换合约的固定利率高 公司获得绝对收益 收益来自市场错误地给国债过高的收益率 当然 公司承担的风险是意大利国债的信用风险 41 收益率曲线 根据历史数据 归纳收益率曲线的经验值 如果市场偏离经验值很多 就进行套利 如 如果现在长期收益率偏高 短期收益率偏低 就买入短期债券 沽空长期债券 42 公司债信用利差 前面的交易都是LTCM成立之初大获成功的交易 但是 到了后期 随着资产规模扩大 交易对手模仿 获利空间减少 后期的交易主要是一些利润比较小的 例如 公司债信用利差交易 公司债的收益率一般高于国债 公司就买进公司债 沽空国债 从中获利 以承担公司债违约风险获利 1998年4月 公司破产前夕 A级公司债利差从年初的75个基点缩小到60个基点 这让LTCM单月获利3 但是 8月 俄罗斯金融风暴发生 资金全部涌向安全的美国国债市场 A级公司债利差从60bp大幅飙升到120bp 公司损失惨重 43 公司基于股票波动率的交易 沽空隐含波动率员工认股权证标普500备选股 44 隐含波动率与历史波动率 在期权定价公式中 波动率指标是唯一不能观测到的东西 但是 给定期权的交易价格 我们能够算出一个隐含波动率 如果隐含波动率过高 则期权价格就过高1998年初 市场刚刚经历亚洲金融风暴 隐含波动率过高 见VIX指数 1998年初 LTCM认为隐含波动率过高市场担忧股票下跌 买进看跌期权避险 45 隐含波动率与历史波动率 美国股市隐含波动率代表 VIX 标普500看涨和看跌期权 46 隐含波动率与历史波动率 LTCM交易策略抛售股票期权波动度透过投资银行卖出5年期股票期权同时卖出看涨期权和看跌期权 不看方向 只赌隐含波动率下降风险 隐含波动率 IV 大于历史波动率 HV 并不等于IV大于未来真实的波动率 RV 每日结算制度不光赌波动率最后结果 还要赌每天的变化头寸太大 IV上升1 损失4亿美元 47 员工认股权证 1990 s 美国许多高科技公司配送认股权证作为员工激励计划员工希望提早套现 把认股权证便宜卖出LTCM的交易策略买进认股权证 卖出标普500看涨期权 48 标普500备选股 方法 买进标普500的备选股时机 指数调整之前赚钱的依据 一旦股票入选 基金配置增加 带来短线超额收益制胜关键 行情的发动是公告日 不是调整日 49 第四节 套利定价理论 50 套利定价理论 ArbitragePricingTheory RossS A 1976 TheArbitrageTheoryofCapitalAssetsPricing JournalofEconomicTheory Dec pp 343 362 StephenRoss于1976年提出了套利定价理论 他利用套利原理推导出市场均衡状态下资本资产定价关系 即APT 由于APT与CAPM有着一样的解释功能 而且涉及较少的假设条件 与现实更贴近 因此受到很多的关注 51 APT的基本假设 证券收益率的变动是由单因素或多因素模型的变化所决定 市场中所有参与者对资产收益率有相同的信念 且都能用同一个因素模型来表示 市场中风险资产的个数远远大于系统性风险的种类数 市场中不存在套利机会 52 套利定价模型 在以上假定下 对于任意一个初始投资为零的投资组合 如果我们用wi表示投资在第i种资产上的资金在总财富中的比例 那么wi就满足 而该投资组合的收益则可以写成 53 套利定价模型 我们通过对wi的选择可以使投资组合满足 1 每个资产上的投资金额在总财富中的比例都很小 即 2 投资组合中包含足够多的资产 即n足够大 3 wi的取值能够使投资组合对所有系统性风险的敏感度都等于零 这样以来 由于不同资产特有风险之间是相互独立的 因此 由大数定理可以保证 当n足够大的时候 的加权平均值趋近于零 54 套利定价模型 另一方面 由于wi的选择使投资组合对所有系统性风险的敏感度都等于零 即对于任意的k 因此 资产的收益率就可以写为换句话说 按照上述方法构造出的投资组合的收益就是一个确定的值 而不再是一个随机变量 由于该投资组合的初始投资为零 按照无套利的假设条件 该投资组合的收益必须等于零 即 55 套利定价模型 当 同时成立时 期望收益必然能写成的线性表达式 即其中 是一些待定常数 下面我们看看这些参数的含义首先注意到是资产对第k种系统性风险的敏感度 因此 对于无风险资产而言这样以来 56 套利定价模型 接下来 我们构造一个 纯因素 的投资组合 该投资组合对第k种系统性风险的敏感度等于1 对其他风险的敏感度等于零 这样以来 的期望收益就等于由此我们得到令 我们可以得到这就是套利定价模型的基本形式 57 套利定价模型 套利定价方程的图形说明 以单因素模型为例 58 APT S B 纯因素 组合的构造 在ATP的证明中 我们构造了一个特殊的投资组合 它对因素的敏感性 而对其它因素的敏感性均为0 这种投资组合被称为 纯因素 组合 那么 如何构造这种组合呢 59 纯因素 组合的构造 例 假设有两个因素影响证券的收益 影响程度 也就是证券A B对它的敏感性 分别为 60 纯因素 组合的构造 假设投资者共有资金1元 他卖空价值2元的股票A 并将所得收入和自有资金投资于证券B 这样 此时 该组合受两个共同因素的影响程度分别为 61 纯因素 组合的构造 此时 投资组合的收益为如果有大量的证券与A相似 投资者可以卖空 同时有大量的证券与A相似 投资者可以买入 这样就构造出了风险充分分散的组合 这时 组合收益就可以写为这样 该组合的收益就只与风险因素1有关 而且 敏感性等于1 62 纯因素 组合的构造 当然 我们也可以构建一个只与风险因素2有关的组合 例如 投资者卖空2元的证券B 然后用卖空的收入与自有资金一起购买证券A 即 此时投资组合为 总结 构建纯因素组合可以分为两个步骤 一是先使组合中其他因素的影响系数为零 二是通过适当的借入借出资金使组合受单一因素的影响系数为1 63 APT与CAPM的比较 相同点 二者在理念上相似 都主张在市场达到均衡时 个别证券的预期报酬率可由无风险报酬率加上风险溢价来决定 二者都说明了风险与报酬之间的理性原则 更多的系统性风险 更高的预期报酬 当只有一个共同因素 如市场收益率 能影响证券的收益时 两者一致 64 APT与CAPM的比较 区别 CAPM纯粹从市场投资组合的观点来探讨风险与报酬的关系 认为经济体系中的全面性变动 即市场风险 才是影响个别证券预期报酬率的主要且惟一因素 而APT则认为不止一个经济因素会对个别证券的报酬产生影响 CAPM所借用的市场组合实际上是不存的 因此只能借用单一股价指数来评估市场风险与报酬 而APT则不需要市场组合 只要设定若干个 因素 加入模型即可用于预测 CAPM假定了投资者的风险偏好类型 即风险规避 而ATP并没有对这一点进行规定 因此 ATP的适用性增大了 APT没有说明哪些因素关系着证券的预期报酬率 因此APT似乎不如CAPM的单因素模式 只要配合足够多的假设 以 来解释仍相对容易理解 65 谢谢