高考数学复习 第八章 第五节 空间垂直的判定与性质课件 理.ppt

第五节空间垂直的判定与性质 知识点一直线与平面垂直1 直线与平面垂直的定义条件 直线l与平面 内的任一条直线都垂直 结论 直线l与平面 垂直 2 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 相交 知识点二平面与平面垂直1 定义一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 平面与平面垂直的判定定理 直二面角 一条垂线 3 平面与平面垂直的性质定理 交线 名师助学 1 本部分知识可以归纳为 1 一个关系 转化思想 垂直关系的转化 2 五种方法 证明线面垂直的方法 线面垂直的定义 a与 内任何直线都垂直 a 判定定理1 判定定理2 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 l a a l a 2 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 如有平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 故熟练掌握 线线垂直 面面垂直 间的转化条件是解决这类问题的关键 3 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据 我们要作一个平面的一条垂线 通常是先找这个平面的一个垂面 在这个垂面中 作交线的垂线即可 方法1直线与平面垂直的判定与性质1 证明直线与平面垂直的具体步骤 1 找与作 在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直 2 证 证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直 3 用 利用线面垂直的判定定理 得出结论 2 判定线面垂直的四种方法 1 利用线面垂直的判定定理 2 利用 两平行线中的一条与已知平面垂直 则另一条也与这个平面垂直 3 利用 一条直线垂直于两平行平面中的一个 则与另一个也垂直 4 利用面面垂直的性质定理 例1 2012 山东 在如图所示的几何体中 四边形ABCD是等腰梯形 AB CD DAB 60 FC 平面ABCD AE BD CB CD CF 1 求证 BD 平面AED 2 求二面角F BD C的余弦值 解题指导 1 已知 AB CD DAB 60 FC 平面ABCD AE BD CB CD CF 2 分析 由已知可得BD AE 分析已知条件可得须证BD AD 从而得BD 平面AED 通过建系利用向量求二面角的余弦值 点评 无论是线面垂直还是面面垂直 都源自于线与线的垂直 这种转化为 降维 垂直的思想方法 在解题时非常重要 在处理实际问题的过程中 可以先从题设条件入手 分析已有的垂直关系 再从结论入手分析所要证明的垂直关系 从而架起已知与未知之间的 桥梁 方法2面面垂直的判定与性质面面垂直的证明方法 1 利用面面垂直的定义 2 利用面面垂直的判定定理 一般方法是 先从现有的直线中寻找平面的垂线 若图中存在这样的直线 则可通过线面垂直来证明面面垂直 若图中不存在这样的直线 则可通过作辅助线来解决 而作辅助线应有理论根据并有利于证明 不能随意添加 证明两个平面垂直 通常是通过证明线线垂直 线面垂直 面面垂直来实现 解题指导 分析 在 1 问中 证明两个面垂直 只需证明一个面内的一条直线垂直于另一个面即可 观察图形 分析已知条件 可证平面PAB中的直线AB 面PAD 从而可推得面PAB 面PAD 解决 2 中的问题 可以以A为坐标原点 建立空间直角坐标系A xyz 写出相关点的坐标 然后用空间向量法进行求解探究 1 证明因为PA 平面ABCD AB 平面ABCD 所以PA AB 又AB AD PA AD A 所以AB 平面PAD 又AB 平面PAB 所以平面PAB 平面PAD 点评 解 1 的关键是利用线面垂直的判定定理再结合线在面PAB内证明 解 2 的关键是建立空间直角坐标系求出点的坐标利用法向量求解线段长度 方法3求解立体几何中的折叠问题在处理空间折叠问题中 要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等 关键是点 线 面位置关系的转化与平面几何知识的应用 注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同 盲目套用容易导致错误 例3 2012 北京卷 如图1 在Rt ABC中 C 90 D E分别为AC AB的中点 点F为线段CD上的一点 将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置 使A1F CD 如图2 1 求证 DE 平面A1CB 2 求证 A1F BE 3 线段A1B上是否存在点Q 使A1C 平面DEQ 说明理由 解题指导 突破1 弄清翻折前后的线面关系和几何量的度量值 翻折前 DE BC DE AC 翻折后 DE BC DE A1D DE CD 突破2 要证A1F BE 转化为证A1F 平面BCDE 突破3 由A1D CD 可想到取A1C的中点P 则DP A1C 进而可得A1B的中点Q为所求点 1 证明因为D E分别为AC AB的中点 所以DE BC 又因为DE 平面A1CB BC 平面A1CB 所以DE 平面A1CB 2 证明由已知得AC BC且DE BC 所以DE AC 所以DE A1D DE CD 又A1D DE D 所以DE 平面A1DC 而A1F A1DC 所以DE A1F 又因为A1F CD 所以A1F 平面BCDE 所以A1F BE 3 解线段A1B上存在点Q 使A1C 平面DEQ 理由如下 如图 分别取A1C A1B的中点P Q 则PQ BC 又因为DE BC 所以DE PQ 所以平面DEQ即为平面DEP 由 2 知 DE 平面A1DC 所以DE A1C 又因为P是等腰 DA1C底边A1C的中点 所以A1C DP 又DE DP D 所以A1C 平面DEP 从而A1C 平面DEQ 故线段A1B上存在点Q 使得A1C 平面DEQ 点评 1 解决探索性问题一般先假设其存在 把这个假设作已知条件 和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算 在推理论证和计算无误的前提下 如果得到了一个合理的结论 则说明存在 如果得到了一个不合理的结论 则说明不存在