高考数学二轮复习 专题4.3 立体几何中的向量方法课件 理.ppt

第3讲立体几何中的向量方法 高考定位高考对本讲知识的考查以解答题的形式为主 主要从以下两个方面命题 1 以多面体 特别是棱柱 棱锥或其组合体 为载体 考查空间中平行与垂直的证明 常出现在解答题的第 1 问中 考查空间想象能力 推理论证能力及计算能力 属低中档问题 2 以多面体 特别是棱柱 棱锥或其组合体 为载体 考查空间角 主要是线面角和二面角 的计算 是高考的必考内容 属中档题 1 直线与平面 平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量分别为 a2 b2 c2 v a3 b3 c3 则 1 线面平行l a a 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 线面垂直l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 3 二面角如图所示 二面角 l 平面 的法向量为n1 平面 的法向量为n2 n1 n2 则二面有 l 的大小为 或 3 用向量法证明平行 垂直问题的步骤 1 建立空间图形与空间向量的关系 可以建立空间直角坐标系 也可以不建系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 2 通过向量运算研究平行 垂直问题 3 根据运算结果解释相关问题 热点一向量法证明平行与垂直 例1 如图 在直三棱柱ADE BCF中 面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直 M为AB的中点 O为DF的中点 求证 1 OM 平面BCF 2 平面MDF 平面EFCD 证明由题意 AB AD AE两两垂直 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系 规律方法证明平行 垂直关系时 若用传统的几何法 难以找出问题与条件的关系时 可采用向量法 但向量法要求计算必须准确无误 利用向量法的关键是正确求平面的法向量 训练1 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 且AB AA1 D E F分别为B1A C1C BC的中点 求证 1 DE 平面ABC 2 B1F 平面AEF 热点二利用向量求空间角 例2 2015 浙江卷 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC 2 A1A 4 A1在底面ABC的射影为BC的中点 D是B1C1的中点 1 证明 A1D 平面A1BC 2 求二面角A1 BD B1的平面角的余弦值 1 证明设E为BC的中点 由题意得A1E 平面ABC 所以A1E AE 因为AB AC 所以AE BC 故AE 平面A1BC 由D E分别为B1C1 BC的中点 得DE B1B且DE B1B 从而DE A1A且DE A1A 所以A1AED为平行四边形 故A1D AE 又因为AE 平面A1BC 所以A1D 平面A1BC 规律方法二面角平面角的余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等 其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定 异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值 线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值 热点三利用空间向量解决探索性问题 例3 2014 湖北卷 如图 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F M N分别是棱AB AD A1B1 A1D1的中点 点P Q分别在棱DD1 BB1上移动 且DP BQ 0 2 1 当 1时 证明 直线BC1 平面EFPQ 2 是否存在 使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 规律方法空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 解题时 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围内的解 等 所以为使问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法解题 训练3 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AA1 AD 1 E为CD的中点 1 求证 B1E AD1 2 在棱AA1上是否存在一点P 使得DP 平面B1AE 若存在 求AP的长 若不存在 说明理由 3 若二面角A B1E A1的大小为30 求AB的长 1 空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性 能把 非运算 问题 运算 化 即通过直线的方向向量和平面的法向量 把立体几何中的平行 垂直关系 各类角 距离以向量的方式表达出来 把立体几何问题转化为空间向量的运算问题 应用的核心是充分认识形体特征 进而建立空间直角坐标系 通过向量的运算解答问题 达到几何问题代数化的目的 同时注意运算的准确性 2 提醒三点 1 直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值是线面角的正弦值 而不是余弦值 2 求二面角除利用法向量外 还可以按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量的知识 我们只要是在二面角的两个半平面内分别作和二面角的棱垂直的向量 并且两个向量的方向均指向棱或者都从棱指向外 那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小 如图所示