高考数学 7.8 立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离课件.ppt

第八节立体几何中的向量方法 二 求空间角和距离 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 异面直线所成角的求法设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 2 直线和平面所成角的求法 如图所示 设直线l的方向向量为e 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 两向量e与n的夹角为 则有sin cos 3 二面角的求法 a 如图 AB CD是二面角 l 两个半平面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 b 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足cos 或 cos cos 2 必备结论教材提炼记一记 1 利用可以求空间中有向线段的长度 2 点面距离的求法 已知AB为平面 的一条斜线段 n为平面 的法向量 则B到平面 的距离为 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 利用向量求异面直线所成角 线面角 二面角及空间距离的方法 2 数学思想 转化与化归 数形结合 函数与方程 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 2 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角 3 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 4 两异面直线夹角的范围是 0 直线与平面所成角的范围是 0 二面角的范围是 0 解析 1 错误 两直线的方向向量所成的角应是两直线所成的角或其补角 2 错误 若直线的方向向量和平面的法向量所成的角为 直线与平面所成的角为 则sin cos 3 错误 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角 4 正确 由异面直线所成的角 线面角及二面角的定义可知 两异面直线夹角的范围是 0 直线与平面所成角的范围是 0 二面角的范围是 0 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 选修2 1P117T4改编 正三棱柱 底面是正三角形的直棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为2 侧棱长为2 则AC1与侧面ABB1A1所成的角为 解析 以C为原点建立坐标系 得下列坐标 A 2 0 0 C1 0 0 2 点C1在侧面ABB1A1内的射影为点所以 2 0 2 设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为 则又 0 所以 答案 2 选修2 1P105例1改编 已知一个平行六面体的各棱长都等于2 并且以顶点A为端点的各棱间的夹角都等于60 则该平行六面体中平面ABB1A1与平面ABCD夹角的余弦值为 解析 如图所示 在平面AB1内作A1E AB于E 在平面AC内 作CF AB 交AB延长线于点F 则 2sin60 2cos60 1 设两平面夹角为 则答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 广东高考 已知向量a 1 0 1 则下列向量中与a成60 夹角的是 A 1 1 0 B 1 1 0 C 0 1 1 D 1 0 1 解析 选B 1 0 1 1 1 0 1 夹角不可能为60 1 0 1 1 1 0 1 且 1 0 1 1 1 0 夹角恰好为60 2 2015 秦皇岛模拟 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB E为AA1的中点 则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为 解析 选C 如图 以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 设AA1 2AB 2 则B 1 1 0 E 1 0 1 C 0 1 0 D1 0 0 2 所以 0 1 1 0 1 2 所以 3 2015 金华模拟 在空间直角坐标系Oxyz中 平面OAB的一个法向量为n 2 2 1 已知点P 1 3 2 则点P到平面OAB的距离d等于 A 4B 2C 3D 1 解析 选B 由已知平面OAB的一条斜线的方向向量 1 3 2 所以点P到平面OAB的距离d 4 2015 济南模拟 过正方形ABCD的顶点A作线段PA 平面ABCD 若AB PA 则平面ABP与平面CDP所成的二面角为 A 30 B 45 C 60 D 90 解析 选B 建立如图所示空间直角坐标系 设AB PA 1 知A 0 0 0 B 1 0 0 D 0 1 0 C 1 1 0 P 0 0 1 由题意 AD 平面ABP 设E为PD的中点 连接AE 则AE PD 又因为CD 平面PAD 所以AE CD 又PD CD D 所以AE 平面CDP 所以 0 1 0 分别是平面ABP 平面CDP的法向量 且 45 所以平面ABP与平面CDP所成的二面角为45 考点1向量法求异面直线所成的角 典例1 1 2015 上饶模拟 如图所示 已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都相等 且AA1 面ABC M是侧棱CC1的中点 则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 2 2015 岳阳模拟 如图 已知两个正四棱锥P ABCD与Q ABCD的高分别为1 2 AB 4 证明 PQ 平面ABCD 求异面直线AQ与PB所成角的余弦值 解题提示 1 采用基向量法 选择 为基底 分别表示出 再求其夹角可解 2 设AC BD的交点为O 证明PO 平面ABCD QO 平面ABCD P O Q三点共线即可 分别以CA DB QP为x y z轴建立空间直角坐标系 转化为向量与向量的夹角问题 规范解答 1 不妨设棱长为2 选择基底则故异面直线AB1和BM所成的角的大小是90 答案 90 2 如图 连接AC BD 设AC BD O 连接OP OQ 因为P ABCD与Q ABCD都是正四棱锥 所以PO 平面ABCD QO 平面ABCD 从而P O Q三点在一条直线上 所以PQ 平面ABCD 由题设知 四边形ABCD是正方形 所以AC BD 由 知 PQ 平面ABCD 故可分别以CA DB QP为x y z轴建立空间直角坐标系Oxyz 由条件得P 0 0 1 A 2 0 0 Q 0 0 2 B 0 2 0 所以于是从而异面直线AQ与PB所成角的余弦值为 规律方法 1 向量法求异面直线所成角的思路及关注点 1 思路 选好基底或建立空间直角坐标系 求出两直线的方向向量v1 v2 代入公式 cos 求解 2 关注点 两异面直线所成角的范围是 0 两向量的夹角 的范围是 0 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时 就是该异面直线的夹角 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时 其补角才是异面直线的夹角 2 建立空间直角坐标系的策略 1 一般来说 如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时 就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系 2 如果不存在这样的三条直线 则应尽可能找两条垂直相交的直线 以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系 即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点 3 建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系 在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系 变式训练 2015 天津模拟 将正方形ABCD沿对角线AC折起 当以A B C D四点为顶点的三棱锥体积最大时 异面直线AD与BC所成的角为 解析 选C 不妨以 ABC为底面 则由题意当以A B C D为顶点的三棱锥体积最大 即点D到底面 ABC的距离最大时 平面ADC 平面ABC 取AC的中点O 连接BO DO 则易知DO BO CO两两互相垂直 所以分别以所在直线为z x y轴建立空间直角坐标系 令BO DO CO 1 则有O 0 0 0 A 0 1 0 D 0 0 1 B 1 0 0 C 0 1 0 0 1 1 1 1 0 所以cos 所以异面直线AD与BC所成的角为 加固训练 1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是棱CD CC1的中点 则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 解析 方法一 如图 取CN的中点K 连接MK A1K 则MK为 CDN的中位线 所以MK DN 所以 A1MK 或其补角 为异面直线A1M与DN所成的角 连接A1C1 AM 设正方体棱长为4 则A1K MK A1M 6 所以A1M2 MK2 A1K2 所以 A1MK 90 方法二 以D为原点 DA DC DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 设AB 1 则D 0 0 0 A1 1 0 1 所以所以所以 所以A1M与DN所成的角的大小是90 答案 90 2 2015 成都模拟 如图1 四棱锥P ABCD中 PD 底面ABCD ABCD是直角梯形 M为侧棱PD上一点 该四棱锥的俯视图和侧视图如图2所示 1 证明 BC 平面PBD 2 证明 AM 平面PBC 3 线段CD上是否存在点N 使AM与BN所成角的余弦值为 若存在 找到所有符合要求的点N 并求CN的长 若不存在 说明理由 解析 1 由俯视图可得 BD2 BC2 CD2 所以BC BD 又因为PD 平面ABCD 所以BC PD 因为BD PD D 所以BC 平面PBD 2 取PC上一点Q 使PQ PC 1 4 连接MQ BQ 由侧视图知PM PD 1 4 所以MQ CD MQ CD 在 BCD中 易得 CDB 60 所以 ADB 30 又BD 2 所以AB 1 AD 又因为AB CD AB CD 所以AB MQ AB MQ 所以四边形ABQM为平行四边形 所以AM BQ 因为AM 平面PBC BQ 平面PBC 所以直线AM 平面PBC 3 线段CD上存在点N 使AM与BN所成角的余弦值为 理由如下 因为PD 平面ABCD DA DC 以所在直线为x y z轴 建立空间直角坐标系Dxyz 所以D 0 0 0 A 0 0 B 1 0 C 0 4 0 M 0 0 3 设N 0 t 0 其中0 t 4 所以要使AM与BN所成角的余弦值为 则有所以解得t 0或2 均适合0 t 4 故点N位于D点处 此时CN 4 或点N位于CD中点处 此时CN 2 有AM与BN所成角的余弦值为 考点2向量法求直线与平面所成的角 典例2 2014 福建高考 在平面四边形ABCD中 AB BD CD 1 AB BD CD BD 将 ABD沿BD折起 使得平面ABD 平面BCD 如图 1 求证 AB CD 2 若M为AD中点 求直线AD与平面MBC所成角的正弦值 解题提示 1 由平面ABD 平面BCD 推得AB 平面BCD 进而证明AB CD 2 以B为坐标原点建立空间直角坐标系 求相关点的坐标 相关向量的坐标 由向量的线面角公式求得 规范解答 1 因为平面ABD 平面BCD 平面ABD 平面BCD BD AB 平面ABD AB BD 所以AB 平面BCD 又CD 平面BCD 所以AB CD 2 过点B在平面BCD内作BE BD 如图 由 1 知AB 平面BCD BE 平面BCD BD 平面BCD 所以AB BE AB BD 以B为坐标原点 分别以的方向为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 依题意 得B 0 0 0 C 1 1 0 D 0 1 0 A 0 0 1 则设平面MBC的法向量n x0 y0 z0 则即 取z0 1 得平面MBC的一个法向量n 1 1 1 设直线AD与平面MBC所成角为 则即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为 易错警示 解答本题有三点容易出错 1 在第 1 问证明AB CD时 易忽视交待面面垂直性质定理的条件及CD 平面BCD 2 将相关点 相关向量的坐标及平面的法向量计算错 3 将直线的方向向量与平面的法向量的夹角误认为直线与平面所成的角 互动探究 在本例 2 的条件下 求直线CM与平面ABD所成角的正切值 解析 方法一 向量法 由本例 2 解析知而平面ABD的一个法向量 1 0 0 设CM与平面ABD所成的角为 则sin cos 所以所以方法二 几何法 由 1 知CD 平面ABD 所以 CMD为直线CM与平面ABD所成角 在Rt CDM中 CD 1 DM 所以 规律方法 1 平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标 一般要建立空间直角坐标系 然后用待定系数法求解 一般步骤如下 设平面的法向量为n x y z 1 找出 求出 平面内的两个不共线的向量a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 2 根据法向量的定义建立关于x y z的方程组 3 解方程组 取其中的一组解 即得法向量 2 向量法求线面角的两大途径 1 分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 提醒 在求平面的法向量时 若能找出平面的垂线 则垂线上取两个点可构成一个法向量 变式训练 2015 成都模拟 已知某几何体的直观图和三视图如图所示 其正视图为矩形 侧视图为等腰直角三角形 俯视图为直角梯形 1 证明 BN 平面C1B1N 2 设直线C1N与平面CNB1所成的角为 求cos 的值 解析 1 该几何体的正视图为矩形 侧视图为等腰直角三角形 俯视图为直角梯形 则BA BC BB1两两垂直 以BA BB1 BC分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则N 4 4 0 B1 0 8 0 C1 0 8 4 C 0 0 4 因为所以BN NB1 且BN B1C1 又因为B1N B1C1 B1 所以BN 平面B1NC1 2 设n x0 y0 z0 为平面CNB1的一个法向量 则即令x0 1 则n 1 1 2 又 4 4 4 则sin cos 从而cos 加固训练 1 2013 新课标全国卷 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 证明AB A1C 2 若平面ABC 平面AA1B1B AB CB 求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值 解析 1 取AB的中点O 连接OC OA1 A1B 因为CA CB 所以OC AB 由于AB AA1 BAA1 60 故 AA1B为等边三角形 所以OA1 AB 因为OC OA1 O 所以AB 平面OA1C 又A1C 平面OA1C 故AB A1C 2 由 1 知 OC AB OA1 AB 又平面ABC 平面AA1B1B 交线为AB 所以OC 平面AA1B1B 故OA OA1 OC两两相互垂直 以O为坐标原点 的方向为x轴的正方向 为单位长度 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 由题设知A 1 0 0 A1 0 0 C 0 0 B 1 0 0 则 设平面BB1C1C的法向量为n x y z 则有即可取n 1 1 故所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为 2 2013 湖南高考 如图 在直棱柱ABCD A1B1C1D1中 AD BC BAD 90 AC BD BC 1 AD AA1 3 1 证明 AC B1D 2 求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值 解析 方法一 1 如图 因为BB1 平面ABCD AC 平面ABCD 所以AC BB1 又AC BD BB1 BD B 所以AC 平面BB1D 而B1D 平面BB1D 所以AC B1D 2 因为B1C1 AD 所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角 记为 如图 连接A1D 因为棱柱ABCD A1B1C1D1是直棱柱 且 B1A1D1 BAD 90 所以A1B1 平面ADD1A1 从而A1B1 AD1 又AD AA1 3 所以四边形ADD1A1是正方形 于是A1D AD1 A1B1 A1D A1 故AD1 平面A1B1D 于是AD1 B1D 由 1 知 AC B1D AC AD1 A 所以B1D 平面ACD1 故 ADB1 90 在直角梯形ABCD中 因为AC BD 所以 BAC ADB 从而Rt ABC Rt DAB 故即AB 连接AB1 易知 AB1D是直角三角形 且B1D2 BB12 BD2 BB12 AB2 AD2 21 即B1D 在Rt AB1D中 即cos 90 从而sin 即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为 方法二 1 易知 AB AD AA1两两垂直 如图 以A为坐标原点 AB AD AA1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设AB t 则相关各点的坐标为 A 0 0 0 B t 0 0 B1 t 0 3 C t 1 0 C1 t 1 3 D 0 3 0 D1 0 3 3 从而 t 3 3 t 1 0 t 3 0 因为AC BD 所以 t2 3 0 0 解得t 或t 舍去 于是因为 3 3 0 0 所以即AC B1D 2 由 1 知 0 3 3 设n x y z 是平面ACD1的一个法向量 则即令x 1 则n 1 设直线B1C1与平面ACD1所成角为 则即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为 3 如图 四棱锥S ABCD中 AB CD BC CD 侧面SAB为等边三角形 AB BC 2 CD SD 1 1 证明 SD 平面SAB 2 求AB与平面SBC所成角的正弦值 解析 以C为坐标原点 的方向为x轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 则D 1 0 0 A 2 2 0 B 0 2 0 又设S x y z 则x 0 y 0 z 0 1 x 2 y 2 z x y 2 z x 1 y z 由得故x 1 由 1得y2 z2 1 又由 2得x2 y 2 2 z2 4 即y2 z2 4y 1 0 故y 于是故DS AS DS BS 又AS BS S 所以SD 平面SAB 2 设平面SBC的法向量为a m n p 则又故取p 2得cos a 故AB与平面SBC所成角的正弦值为 考点3向量法计算与应用二面角的大小知 考情利用空间向量计算与应用二面角大小 是高考考查空间角的一个热点考向 常与线线 线面 面面位置关系等知识综合以解答题第 2 或 3 问的形式出现 明 角度命题角度1 计算二面角的大小 典例3 2014 山东高考 如图 在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD是等腰梯形 DAB 60 AB 2CD 2 M是线段AB的中点 1 求证 C1M 平面A1ADD1 2 若CD1垂直于平面ABCD且CD1 求平面C1D1M和平面ABCD所成的角 锐角 的余弦值 解题提示 1 本题考查了线面平行的证法 可利用线线平行来证明线面平行 2 本题可利用空间几何知识求解二面角 也可以利用向量法来求解 规范解答 1 连接AD1 因为ABCD A1B1C1D1为四棱柱 所以CD C1D1 CD C1D1 又因为M为AB的中点 AB 2CD 2 所以AM 1 所以CD AM CD AM 所以AM C1D1 AM C1D1 所以四边形AMC1D1为平行四边形 所以AD1 MC1 又因为C1M 平面A1ADD1 AD1 平面A1ADD1 所以C1M 平面A1ADD1 2 方法一 因为AB A1B1 A1B1 C1D1 所以平面D1C1M与ABC1D1共面 作CN AB 连接D1N 则 D1NC即为所求二面角的平面角 在四边形ABCD中 DC 1 AB 2 DAB 60 所以CN 在Rt D1CN中 所以D1N 所以cos D1NC 方法二 作CP AB于P点 以C为原点 CD为x轴 CP为y轴 CD1为z轴建立空间直角坐标系 所以所以设平面C1D1M的法向量为n1 x1 y1 z1 所以 令y1 2 所以n1 0 2 1 显然平面ABCD的法向量为n2 0 0 1 所以显然二面角为锐二面角 所以平面C1D1M和平面ABCD所成角的余弦值为 命题角度2 应用二面角的大小或范围 典例4 2014 新课标全国卷 如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD E为PD的中点 1 证明 PB 平面AEC 2 设二面角D AE C为60 AP 1 AD 求三棱锥E ACD的体积 解题提示 1 连接底面的对角线 利用三角形的中位线找到线线平行 从而证得线面平行 2 以A为坐标原点 建立空间直角坐标系 分别找到二面角D AE C的两个半平面的法向量 利用两向量的夹角公式 求得底面矩形的另一条边长 进而求得三棱锥的体积 规范解答 1 连接BD 设AC与BD的交点为G 则G为AC BD的中点 连接EG 在三角形PBD中 中位线EG PB 且EG在平面AEC内 所以PB 平面AEC 2 设CD m 分别以AB AD AP所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系 则A 0 0 0 D 0 0 所以 设平面ADE的法向量为n1 x1 y1 z1 则解得一个n1 1 0 0 同理设平面ACE的法向量为n2 x2 y2 z2 则解得一个 因为 解得m 设F为AD的中点 连接EF 则PA EF 且EF EF 平面ACD 所以EF为三棱锥E ACD的高 所以所以三棱锥E ACD的体积为 悟 技法1 利用向量法计算二面角大小的常用方法 1 找法向量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角的大小 2 找与棱垂直的方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 2 向量法应用二面角大小 范围 的技巧建立恰当的空间直角坐标系 将两平面的法向量用与待求相关的参数 字母 表示 利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数 进而求解 通 一类1 2014 广东高考 四边形ABCD为正方形 PD 平面ABCD DPC 30 AF PC于点F FE CD 交PD于点E 1 证明 CF 平面ADF 2 求二面角D AF E的余弦值 解析 1 因为四边形ABCD为正方形 所以AD DC 又PD 平面ABCD AD 平面ABCD 所以PD AD DC PD D 所以AD 平面PCD 又CF 平面PCD 所以CF AD 而AF PC 即AF FC 又AD AF A 所以CF 平面ADF 2 以D为原点 DP DC DA分别为x y z轴建立空间直角坐标系 设DC 2 由 1 知PC DF 即 CDF DPC 30 有FC DC 1 DF FC 则D 0 0 0 A 0 0 2 C 0 2 0 设平面AEF的法向量为n x y z 由得取x 4 有y 0 z 则n 4 0 又平面ADF的一个法向量为所以所以二面角D AF E的余弦值为 2 2014 四川高考 三棱锥A BCD及其侧视图 俯视图如图所示 设M N分别为线段AD AB的中点 P为线段BC上的点 且MN NP 1 证明 P为线段BC的中点 2 求二面角A NP M的余弦值 解析 1 由三棱锥A BCD及其侧视图 俯视图可知 在三棱锥A BCD中 平面ABD 平面CBD AB AD BD CD CB 2 设O为BD的中点 连接OA OC 于是OA BD OC BD OA OC O 所以BD 平面OAC 所以BD AC 因为M N分别为线段AD AB的中点 所以MN BD 又MN NP 故BD NP 假设P不是线段BC的中点 则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线 从而BD 平面ABC 这与 DBC 60 矛盾 所以P为线段BC的中点 2 方法一 作NQ AC于Q 连接MQ 由 1 知 NP AC 所以NQ NP 因为MN NP 所以 MNQ为二面角A NP M的一个平面角 由 1 知 ABD BCD为边长为2的正三角形 所以OA OC 由俯视图知 AO 平面CBD 因为OC 平面CBD 所以AO OC 因此在等腰直角 AOC中 AC 作BR AC于R 在 ABC中 AB BC 所以BR 因为在平面ABC内 NQ AC BR AC 所以NQ BR 又因为N为AB的中点 所以Q为AR的中点 因此NQ 同理可得 MQ 所以在等腰 MNQ中 cos MNQ 故二面角A NP M的余弦值是 方法二 以O为坐标原点 OB OC OA分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则于是 设平面ANP和平面NPM的法向量分别为m x1 y1 z1 和n x2 y2 z2 由设z1 1 则由 设z2 1 则n 0 1 1 所以二面角A NP M的余弦值为 考点4向量法计算空间距离 典例5 1 2013 北京高考 如图 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 E为BC的中点 点P在线段D1E上 点P到直线CC1的距离的最小值为 2 已知ABCD A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱 O1是A1C1和B1D1的交点 若点C到平面AB1D1的距离为 求正四棱柱ABCD A1B1C1D1的高 解题提示 1 可以选择两种途径 一是建立空间直角坐标系 利用向量法确定点P到直线CC1的距离的最小值 二是将点到直线的距离转化为线面之间的距离求解 2 以A1为原点建立空间直角坐标系 设AA1 h 求出相关点 相关向量的坐标 代入点到平面的距离公式构建关于h的方程求解 规范解答 1 方法一 如图 建立空间直角坐标系Dxyz 则D1 0 0 2 E 1 2 0 1 2 2 设P x y z 0 1 则 x 1 y 2 z 所以 x 1 y 2 z 1 2 2 解得x 1 y 2 2 z 2 P 1 2 2 2 设点P在直线CC1上的垂足为Q 得Q 0 2 2 当 时 答案 方法二 取B1C1的中点E1 连接D1E1 E1E 则CC1 平面D1EE1 所以点P到直线CC1的距离的最小值即为CC1与平面D1EE1的距离 过点C1作C1F D1E1于F 线段C1F的长即为所求 在直角 C1D1E1中 C1F 答案 2 建立如图空间直角坐标系 设AA1 h 有A 0 0 h B1 1 0 0 D1 0 1 0 C 1 1 h 1 0 h 0 1 h 1 1 0 设平面AB1D1的一个法向量为n x y z 因为所以所以取z 1 得n h h 1 所以点C到平面AB1D1的距离为 规律方法 1 空间中两点间的距离的求法两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模 因此 要求两点间的距离除了使用距离公式外 还可转化为求向量的模 2 求点P到平面 的距离的三个步骤 1 在平面 内取一点A 确定向量的坐标 2 确定平面 的法向量n 3 代入公式d 求解 变式训练 2015 孝感模拟 如图 BCD与 MCD都是边长为2的正三角形 平面MCD 平面BCD AB 平面BCD AB 2 则点A到平面MBC的距离为 解析 取CD中点O 连接OB OM 则OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 则MO 平面BCD 取O为原点 直线OC BO OM为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 OB OM 则各点坐标分别为C 1 0 0 M 0 0 B 0 0 A 0 2 设n x y z 是平面MBC的法向量 由n 得x y 0 由n 得取n 1 1 0 0 2 则答案 则 加固训练 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为棱AA1 BB1的中点 G为棱A1B1上的一点 且A1G 0 1 则点G到平面D1EF的距离为 解析 选D 如图所示 以射线DA DC DD1分别为x y z轴的正方向建立空间直角坐标系 则G 1 1 过点G向平面D1EF作垂线 垂足为H 由于点H在平面D1EF内 故存在实数x y 使 由于GH EF GH ED1 所以解得所以即点G到平面D1EF的距离是 规范解答14利用空间向量解决立体几何综合问题 典例 12分 2014 天津高考 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AD AB AB DC AD DC AP 2 AB 1 点E为棱PC的中点 1 证明BE DC 2 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值 3 若F为棱PC上一点 满足BF AC 求二面角F AB P的余弦值 解题导思研读信息快速破题 规范解答阅卷标准体会规范依题意 以点A为原点建立空间直角坐标系 如图 可得 B 1 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 由E为棱PC的中点 得E 1 1 1 2分 1 向量故 0 所以 BE DC 4分 2 向量设n x y z 为平面PBD的法向量 则即 不妨令y 1 可得n 2 1 1 为平面PBD的一个法向量 6分于是有所以 直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 8分 3 向量由点F在棱PC上 设 0 1 故 1 2 2 2 2 由BF AC 得 0 因此 2 1 2 2 2 2 0 解得 即 9分 设n1 x1 y1 z1 为平面FAB的法向量 则即不妨令z1 1 可得n1 0 3 1 为平面FAB的一个法向量 10分取平面ABP的法向量n2 0 1 0 则 易知 二面角F AB P是锐二面角 所以其余弦值为 12分 高考状元满分心得把握规则争取满分1 恰当建系 准确确定相关点的坐标在解题过程中 要充分利用题设中的垂直关系 尽量使相关点在轴上 建立空间直角坐标系 看清题目中给出的各线段的长度 根据图形的性质 准确求出相关点的坐标 2 准确求出直线的方向向量或平面的法向量在解题过程中 应熟练运用求方向向量及法向量的方法 准确计算 如本例中 n n1 n2的坐标 确定一定要准 否则前功尽弃 3 关注所求为空间的什么角及范围解题过程中 要随时关注是二面角还是线面角 特别求cos后应结合实际验证二面角的具体取值如何 如本例 3