高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法课件 理.ppt

第六章数列 6 1数列的概念与简单表示法 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 高频小考点 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 数列的定义按照排列的一列数称为数列 数列中的每个数都叫做这个数列的 一定次序 项 2 数列的分类 有限 无限 知识梳理 1 答案 答案 3 数列的表示法数列有三种表示法 它们分别是 和 4 数列的通项公式如果数列 an 的第n项与之间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 5 已知数列 an 的前n项和Sn 则an 列表法 图象法 解析法 序号n 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 所有数列的第n项都能使用公式表达 2 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 3 1 1 1 1 不能构成一个数列 4 任何一个数列不是递增数列 就是递减数列 5 如果数列 an 的前n项和为Sn 则对 n N 都有an 1 Sn 1 Sn 6 在数列 an 中 对于任意正整数m n am n amn 1 若a1 1 则a2 2 思考辨析 答案 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 把1 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形 如图 则第7个三角形数是 解析根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1 2 3 4 5 6 7 28 28 解析答案 1 2 3 4 5 3 数列 an 的前n项和记为Sn a1 1 an 1 2Sn 1 n 1 n N 则数列 an 的通项公式是 解析由an 1 2Sn 1可得an 2Sn 1 1 n 2 两式相减得an 1 an 2an 即an 1 3an n 2 又a2 2S1 1 3 a3 3 a2 32 a1 32 a4 3a3 33 an 3an 1 3n 1 an 3n 1 解析答案 1 2 3 4 5 4 根据下面的图形及相应的点数 写出点数构成的数列的一个通项公式an 5n 4 1 2 3 4 5 答案 5 已知数列 an 的前n项和Sn n2 1 则an 解析当n 1时 a1 S1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 n2 1 n 1 2 1 2n 1 解析答案 返回 1 2 3 4 5 题型分类深度剖析 解析注意到分母0 2 4 6都是偶数 对照所给项排除即可 题型一由数列的前几项求数列的通项公式 解析答案 解析答案 思维升华 思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时 需仔细观察分析 抓住其几方面的特征 分式中分子 分母的各自特征 相邻项的联系特征 拆项后的各部分特征 符号特征 应多进行对比 分析 从整体到局部多角度观察 归纳 联想 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 解数列中各项的符号可通过 1 n表示 从第2项起 每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 跟踪训练1 解析答案 2 0 8 0 88 0 888 解析答案 解各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4项的分子分别比分母小3 解析答案 例2设数列 an 的前n项和为Sn 数列 Sn 的前n项和为Tn 满足Tn 2Sn n2 n N 1 求a1的值 解令n 1时 T1 2S1 1 因为T1 S1 a1 所以a1 2a1 1 所以a1 1 题型二由数列的前n项和求数列的通项公式 解析答案 2 求数列 an 的通项公式 解析答案 思维升华 解n 2时 Tn 1 2Sn 1 n 1 2 则Sn Tn Tn 1 2Sn n2 2Sn 1 n 1 2 2 Sn Sn 1 2n 1 2an 2n 1 因为当n 1时 a1 S1 1也满足上式 所以Sn 2an 2n 1 n 1 当n 2时 Sn 1 2an 1 2 n 1 1 两式相减得an 2an 2an 1 2 所以an 2an 1 2 n 2 所以an 2 2 an 1 2 解析答案 思维升华 因为a1 2 3 0 所以数列 an 2 是以3为首项 公比为2的等比数列 所以an 2 3 2n 1 所以an 3 2n 1 2 当n 1时也成立 所以an 3 2n 1 2 思维升华 思维升华 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an 当n 1时 a1若适合Sn Sn 1 则n 1的情况可并入n 2时的通项an 当n 1时 a1若不适合Sn Sn 1 则用分段函数的形式表示 解析a4 S4 S3 跟踪训练2 解析答案 2 已知数列 an 的前n项和Sn 3n2 2n 1 则其通项公式为 解析当n 1时 a1 S1 3 12 2 1 1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 3n2 2n 1 3 n 1 2 2 n 1 1 6n 5 显然当n 1时 不满足上式 解析答案 例3 1 设数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 则通项an 解析由题意得 当n 2时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 题型三由数列的递推关系求通项公式 解析答案 2 数列 an 中 a1 1 an 1 3an 2 则它的一个通项公式为an 解析答案 思维升华 解析方法一 累乘法 an 1 3an 2 即an 1 1 3 an 1 解析答案 思维升华 即an 1 2 3n 1 n 1 所以an 2 3n 1 1 n 2 又a1 1也满足上式 故数列 an 的一个通项公式为an 2 3n 1 1 解析答案 思维升华 方法二 迭代法 an 1 3an 2 即an 1 1 3 an 1 32 an 1 1 33 an 2 1 3n a1 1 2 3n n 1 所以an 2 3n 1 1 n 2 又a1 1也满足上式 故数列 an 的一个通项公式为an 2 3n 1 1 答案2 3n 1 1 思维升华 思维升华 已知数列的递推关系 求数列的通项时 通常用累加 累乘 构造法求解 当出现an an 1 m时 构造等差数列 当出现an xan 1 y时 构造等比数列 当出现an an 1 f n 时 用累加法求解 跟踪训练3 解析答案 2 已知数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 2an 1 n N 则a5 解析当n 1时 S1 2a1 1 a1 1 当n 2时 Sn 1 2an 1 1 an 2an 2an 1 an 2an 1 an 是等比数列且a1 1 q 2 故a5 a1 q4 24 16 16 解析答案 命题点1数列的单调性 1 求数列 bn 的通项公式 解a1 2 an Sn Sn 1 2n 1 n 2 题型四数列的性质 解析答案 2 判断数列 cn 的增减性 解 cn bn 1 bn 2 b2n 1 cn 1 cn 数列 cn 为递减数列 解析答案 命题点2数列的周期性 解析答案 解析答案 周期T n 1 n 2 3 a8 a3 2 2 a2 2 命题点3数列的最值 解析答案 思维升华 思维升华 1 解决数列的单调性问题可用以下三种方法 1 用作差比较法 根据an 1 an的符号判断数列 an 是递增数列 递减数列或是常数列 2 用作商比较法 根据 an 0或an 0 与1的大小关系进行判断 3 结合相应函数的图象直观判断 2 解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项 确定数列的周期 再根据周期性求值 3 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解 an 为周期数列且T 4 跟踪训练4 解析答案 2 设an 3n2 15n 18 则数列 an 中的最大项的值是 由二次函数性质 得当n 2或3时 an最大 最大值为0 0 解析答案 返回 高频小考点 典例 1 将石子摆成如图所示的梯形形状 称数列5 9 14 20 为 梯形数 根据图形的构成 此数列的第2014项与5的差 即a2014 5 用式子表示 高频小考点 5 数列中的新定义问题 思维点拨观察图形 易得an an 1 n 2 n 2 可利用累加法求解 解析答案 思维点拨 解析因为an an 1 n 2 n 2 a1 5 所以a2014 a2014 a2013 a2013 a2012 a2 a1 a1 2016 2015 4 5 所以a2014 5 1010 2013 答案1010 2013 思维点拨由 减差数列 的定义 可得关于bn的不等式 把bn的通项公式代入 化归为不等式恒成立问题求解 温馨提醒 解析答案 返回 思维点拨 解析由数列b3 b4 b5 是 减差数列 温馨提醒 解析答案 化简得t n 2 1 则t的取值范围是 1 答案 1 温馨提醒 解决数列的新定义问题要做到 1 准确转化 解决数列新定义问题时 一定要读懂新定义的本质含义 将题目所给定义转化成题目要求的形式 切忌同已有概念或定义相混淆 2 方法选取 对于数列新定义问题 搞清定义是关键 仔细认真地从前几项 特殊处 简单处 体会题意 从而找到恰当的解决方法 温馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 求数列通项或指定项 通常用观察法 对于交错数列一般用 1 n或 1 n 1来区分奇偶项的符号 已知数列中的递推关系 一般只要求写出数列的前几项 若求通项可用归纳 猜想和转化的方法 2 强调an与Sn的关系 an 3 已知递推关系求通项 对这类问题的要求不高 但试题难度较难把握 一般有两种常见思路 1 算出前几项 再归纳 猜想 2 利用累加法或累乘法可求数列的通项公式 4 数列的性质可利用函数思想进行研究 方法与技巧 1 数列an f n 和函数y f x 定义域不同 其单调性也有区别 y f x 是增函数是an f n 是递增数列的充分不必要条件 2 数列的通项公式可能不存在 也可能有多个 3 由an Sn Sn 1求得的an是从n 2开始的 要对n 1时的情况进行验证 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析所给数列呈现分数形式 且正负相间 求通项公式时 我们可以把每一部分进行分解 符号 分母 分子 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若数列 an 的通项公式是an 1 n 3n 2 则a1 a2 a10 解析由题意知 a1 a2 a10 1 4 7 10 1 10 3 10 2 1 4 7 10 1 9 3 9 2 1 10 3 10 2 3 5 15 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 若数列 an 满足 a1 19 an 1 an 3 n N 则数列 an 的前n项和数值最大时 n的值为 解析 an 1 an 3 数列 an 是以19为首项 3为公差的等差数列 an 19 n 1 3 22 3n a7 22 21 1 0 a8 22 24 2 0 n 7时 数列 an 的前n项和最大 7 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 已知数列 an 的通项公式为an n2 2 n n N 则 1 是 数列 an 为递增数列 的 条件 解析若数列 an 为递增数列 则有an 1 an 0 即2n 1 2 对任意的n N 都成立 因此 1 是 数列 an 为递增数列 的充分不必要条件 充分不必要 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 已知数列 an 的前n项和Sn n2 2n 1 n N 则an 解析当n 2时 an Sn Sn 1 2n 1 当n 1时 a1 S1 4 2 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 数列 an 中 已知a1 1 a2 2 an 1 an an 2 n N 则a7 解析由已知an 1 an an 2 a1 1 a2 2 能够计算出a3 1 a4 1 a5 2 a6 1 a7 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 已知数列 an 的前n项和为Sn Sn 2an n 则an 解析当n 1时 S1 a1 2a1 1 得a1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2an n 2an 1 n 1 即an 2an 1 1 an 1 2 an 1 1 数列 an 1 是首项为a1 1 2 公比为2的等比数列 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 数列 an 的通项公式是an n2 7n 6 1 这个数列的第4项是多少 解当n 4时 a4 42 4 7 6 6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 150是不是这个数列的项 若是这个数列的项 它是第几项 解令an 150 即n2 7n 6 150 解得n 16或n 9 舍去 即150是这个数列的第16项 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 该数列从第几项开始各项都是正数 解令an n2 7n 6 0 解得n 6或n 1 舍去 所以从第7项起各项都是正数 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 求a2 a3 解得a2 3a1 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求 an 的通项公式 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由题设知a1 1 于是a1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 将以上n个等式两端分别相乘 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 显然 当n 1时也满足上式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5或6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a1 a2 an 1 2n 3 n 1 n 2 当n 2时 an 2n 1 n 2n 3 n 1 4n 3 a1 1也适合此等式 an 4n 3 答案an 4n 3 a1 a2 an 2n 1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 若a 7 求数列 an 中的最大项和最小项的值 可知1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 an 1 n N 数列 an 中的最大项为a5 2 最小项为a4 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若对任意的n N 都有an a6成立 求a的取值范围 已知对任意的n N 都有an a6成立 解析答案 返回